数与式、集合与论证

由平方差公式 (a+b)(a−b)=a²−b² 得 x²−9。x²+9 是符号错误，x²−6x+9 是与 (x−3)² 混淆造成的错误。也可以展开成 x²−3x+3x−9 来验证。

由 (a+b)²=a²+2ab+b² 得 x²+2·x·2+2² = x²+4x+4。x²+4 是漏掉中间项 2ab 的常见错误。把 (x+2)(x+2) 用分配律展开可得 x²+2x+2x+4，据此可以验证。

2x·x=2x²，2x·(−4)+3·x=−8x+3x=−5x，3·(−4)=−12，所以是 2x²−5x−12。−11x 是把本应相加的 −8x 与 3x 误算成 −8−3 的错误，2x²+5x−12 是符号错误。

相乘得 6、相加得 5 的两个数是 2 和 3，所以是 (x+2)(x+3)。(x+1)(x+6) 相乘得6但相加得7，(x−2)(x−3) 展开后是 x²−5x+6，符号不符。

用十字相乘法把 2 拆成 2×1、3 拆成 1×3，交叉之和 2×3+1×1=7 相符，所以是 (2x+1)(x+3)。(2x+3)(x+1) 展开后是 2x²+5x+3，x 的系数不符。养成展开验算的习惯很重要。

3=3×1、8=(−4)×(−2)，交叉之和 3×(−2)+(−4)×1=−10 相符，得 (3x−4)(x−2)。(3x−2)(x−4) 展开后是 3x²−14x+8，(3x+4)(x+2) 是 3x²+10x+8，符号相反。

6=2×3、−2=(−1)×2，交叉之和 2×2+(−1)×3=1 相符，得 (2x−1)(3x+2)。(2x+1)(3x−2) 展开后是 6x²−x−2，x 的系数符号相反。

把后三项整理成 −(y²−4y+4)=−(y−2)²，于是原式为 x²−(y−2)²。用 A²−B²=(A+B)(A−B)，取 A=x、B=y−2，得 (x+y−2)(x−y+2)。B 的符号分配错了就会得到其他形式。展开后检验能否还原成原式即可。

令 x²=t，则 t²−5t+4=(t−1)(t−4)。换回 x² 得 (x²−1)(x²−4)，再分别用 A²−B² 分解，得 (x+1)(x−1)(x+2)(x−2)。因式分解要一直做到不能再分解为止。

令 x²+x=t，则 t²−8t+12=(t−2)(t−6)。换回后得 (x²+x−2)(x²+x−6)=(x+2)(x−1)(x+3)(x−2)。相乘得12、相加得−8 的一组是 −2 与 −6，取 −3 与 −4 时和为 −7，不符。

√12=√(4×3)=√4×√3=2√3。把平方因数 4 提到根号外面。3√2 是把 12 误分解成 9×2 的错误（9×2=18，所以不对）。用数值看，√12≒3.46，2√3≒3.46，两者一致。

先化成 √27=3√3、√12=2√3，再合并同类项得 3√3+2√3=5√3。√39 是把根号里的数直接相加的错误。根号里的数可以直接运算的只有乘法和除法。

由 (a+b)(a−b)=a²−b² 得 (√5)²−(√2)²=5−2=3。7 是误算成 5+2 的错误，√3 是把根号留下来的错误。

分子分母同乘 √3，得 √3/(√3×√3)=√3/3。分母变成 (√3)²=3。√3/9 是把分母误算成 3² 的错误。

分子分母同乘共轭式 √5+√3，分母变为 5−3=2。于是 2(√5+√3)/2=√5+√3。2(√5+√3) 是最后忘了约去 2 的错误，(√5+√3)/4 是把分母误算成 5+3=8 时容易出现的形式。

由 (a+b)²=a²+2ab+b² 得 3+2√3·√2+2=5+2√6。5 是漏掉中间项 2ab 的错误，5+√6 是忘记乘 2 的错误。

因为 π>3，所以里面的 3−π 是负数。为负时 |a|=−a，故 |3−π|=−(3−π)=π−3。若直接去掉绝对值写成 3−π 就会得到负值，而绝对值（距离）为负是不合理的，据此可以验证。

由 4<7<9 得 2<√7<3，所以整数部分 a=2。小数部分是原数减去整数部分，即 b=√7−2（满足 0≦b<1）。√7−3 是负数，不能作为小数部分。

有理化后 x=2+√3、1/x=2−√3。因为 x+1/x=4，所以 x²+1/x²=(x+1/x)²−2=16−2=14。16 是忘了 −2、直接用 (x+1/x)² 的错误。实际上 x²=7+4√3、1/x²=7−4√3，两者之和为 14。

x³+1/x³=(x+1/x)³−3(x+1/x)=27−9=18。27 是漏掉修正项 −3(x+1/x) 的错误，24 是只减去 3 的错误。7 是 x²+1/x² 的值，属于另一个量。

移项得 3x>9，两边除以正数 3 得 x>3。除以正数时不等号方向不变。x>9 是忘记除以 3 的错误。

移项得 −2x≦6。除以负数 −2 时不等号方向要反过来，所以 x≧−3。x≦−3 是忘记改变方向的常见错误。代入 x=0 得 3≦9 成立，所以包含 0 的 x≧−3 才正确。

把 2x 移到左边、−1 移到右边，得 2x<6，所以 x<3。x<2 是误算成 5−1=4、写成 2x<4 的错误。代入 x=0 得 −1<5 成立，0 在解集中，与结果一致。

两边同乘 6 得 3x−6>2x，移项得 x>6。x>1 是常数项 −1 忘了乘 6、写成 3x−1>2x 的错误。去分母时对常数项也要乘同一个数。

由前者得 x>2（不含 2），后者化为 2x≦8 得 x≦4（含 4）。公共部分是 2<x≦4。端点是否包含，要照搬原来的不等号（> 与 ≦）。

在数轴上与原点距离为 5 的点有 2 个，即 x=5 与 x=−5，合起来写成 x=±5。只答正的一边会漏掉 1 个解。

|X|<c 型对应 −c<X<c。由 −3<x−2<3，各边加 2 得 −1<x<5。−3<x<3 是忽略里面的平移量（−2）的错误。代入 x=0 得 |−2|=2<3 成立，与 0 在范围内一致。

|X|≧c 型的解在两侧，即 X≦−c 或 X≧c。由 x+1≦−4 或 x+1≧4 得 x≦−5 或 x≧3。夹在中间是 |X|≦c 的情形，两者混淆是常见错误。x=0 时 |1|=1 不成立，与答案不含 0 一致。

整理得 3x<a+3，即 x<(a+3)/3。它与 x<4 一致的条件是 (a+3)/3=4，所以 a=9。a=12 是误认为 a/3=4、漏掉常数 3 的错误，a=1 是把 a+3 当成 4 的错误。a=9 时两边在 x=4 处相等，也可据此确认。

由 x>−2 且 x≦3 得 −2<x≦3。此范围内的整数是 −1、0、1、2、3，共 5 个。−2 不包含在内（x>−2 不带等号），所以 6 个是错误的。把端点的处理写出来逐个数最稳妥。

A∩B 是同时属于两者的元素构成的集合。B 的元素 2、4、6、8 中同时属于 A 的是 2、4、6。{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8} 是 A∪B（并集），把 ∩ 与 ∪ 弄混是常见错误。

A∪B 是至少属于其中一方的全部元素。在 A 的元素上加入只属于 B 的 8，得 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}。相同的元素只写 1 次。{2, 4, 6} 是交集 A∩B。

补集是 U 的元素中不属于 A 的那些。去掉偶数后剩下的奇数 {1, 3, 5, 7, 9} 就是答案。求补集必须先确定全集 U。

根据德摩根定律，取补集时 ∪ 与 ∩ 互换。A∪B 的补集是 Ā∩B̄。用韦恩图可以确认，既不属于 A 也不属于 B，就是既在 A 之外又在 B 之外。Ā∪B̄ 则是 A∩B 的补集。

x=3 ⇒ x²=9 为真。反过来 x²=9 ⇒ x=3 有反例 x=−3，为假。成立的是从 x=3 出发推出的方向，所以 x=3 是充分条件但不是必要条件。

x>2 ⇒ x>0 为真，所以 x>0 是必要条件。另一方面 x>0 ⇒ x>2 有反例 x=1，为假，所以不是充分条件。范围较大的条件（x>0）是必要条件，用范围的包含关系来记比较好。

反证法要假设所证结论的否定。“是无理数”的否定是“是有理数”。设它等于既约分数 q/p 继续推导，会得出 p、q 都是偶数，与既约矛盾，从而说明假设是错误的。

逆命题是把条件与结论互换后的“若 x²=1 则 x=1”。顺便说，这个逆命题有反例 x=−1，因此为假，正是原命题为真而逆命题未必为真的例子。把条件与结论分别否定得到的是否命题，两者都做则得到逆否命题。

逆否命题是结论的否定 ⇒ 条件的否定。“n 是偶数”的否定是“n 是奇数”，“n² 是偶数”的否定是“n² 是奇数”，所以逆否命题是“若 n 是奇数则 n² 是奇数”。它容易直接证明，可以用来证明原命题。

a=b ⇒ |a|=|b| 为真，所以 |a|=|b| 是必要条件。反过来 |a|=|b| ⇒ a=b 有反例 a=1、b=−1（|1|=|−1| 但 1≠−1），为假，所以不是充分条件。因此是必要条件但不是充分条件。