Numere și expresii, mulțimi și raționament logic (matematică Ⅰ, programa japoneză)

Din formula produsului sumei cu diferența, (a+b)(a−b)=a²−b², rezultă x²−9. Varianta x²+9 provine dintr-o greșeală de semn, iar x²−6x+9 dintr-o confuzie cu (x−3)². Se poate verifica și termen cu termen: x²−3x+3x−9.

Din (a+b)²=a²+2ab+b² obținem x²+2·x·2+2² = x²+4x+4. Varianta x²+4 corespunde greșelii clasice de a uita termenul din mijloc, dublul produs 2ab. Dezvoltând (x+2)(x+2) cu distributivitatea se obține x²+2x+2x+4, ceea ce confirmă rezultatul.

Avem 2x·x=2x², 2x·(−4)+3·x=−8x+3x=−5x și 3·(−4)=−12, deci 2x²−5x−12. Termenul −11x apare când se calculează −8−3 în loc de a aduna −8x cu 3x, iar 2x²+5x−12 provine dintr-o greșeală de semn.

Cele două numere al căror produs este 6 și a căror sumă este 5 sunt 2 și 3, deci (x+2)(x+3). La (x+1)(x+6) produsul este 6, dar suma este 7, iar (x−2)(x−3) dezvoltat dă x²−5x+6, unde semnele nu corespund.

Prin înmulțire încrucișată scriem 2=2×1 și 3=1×3; suma produselor în cruce, 2×3+1×1=7, coincide cu coeficientul lui x, deci (2x+1)(x+3). Dezvoltând (2x+3)(x+1) se obține 2x²+5x+3, unde coeficientul lui x nu corespunde. Obiceiul de a verifica prin dezvoltare este esențial.

Scriem 3=3×1 și 8=(−4)×(−2); suma produselor în cruce, 3×(−2)+(−4)×1=−10, coincide, deci (3x−4)(x−2). Varianta (3x−2)(x−4) dezvoltată dă 3x²−14x+8, iar (3x+4)(x+2) dă 3x²+10x+8, cu semnul opus.

Scriem 6=2×3 și −2=(−1)×2; suma produselor în cruce, 2×2+(−1)×3=1, coincide, deci (2x−1)(3x+2). Dezvoltând (2x+1)(3x−2) se obține 6x²−x−2, unde coeficientul lui x are semnul opus.

Grupând ultimii trei termeni ca −(y²−4y+4)=−(y−2)² obținem x²−(y−2)². Cu A²−B²=(A+B)(A−B), luând A=x și B=y−2, rezultă (x+y−2)(x−y+2). Dacă semnul lui B este distribuit greșit se ajunge la celelalte forme. Este bine să se verifice prin dezvoltare că se revine la expresia inițială.

Notând x²=t avem t²−5t+4=(t−1)(t−4). Revenind la x² obținem (x²−1)(x²−4) și, descompunând fiecare paranteză cu A²−B², rezultă (x+1)(x−1)(x+2)(x−2). Descompunerea se duce până acolo unde nu mai poate fi continuată.

Notând x²+x=t avem t²−8t+12=(t−2)(t−6). Revenind, (x²+x−2)(x²+x−6)=(x+2)(x−1)(x+3)(x−2). Perechea cu produsul 12 și suma −8 este −2 și −6; cu −3 și −4 suma ar fi −7, deci nu corespunde.

√12=√(4×3)=√4×√3=2√3: factorul pătrat perfect 4 se scoate de sub radical. Varianta 3√2 provine dintr-o descompunere greșită de tipul 12=9×2, care este falsă, fiindcă 9×2=18. Numeric se confirmă: √12≒3.46 și 2√3≒3.46.

Scoatem factorii de sub radical: √27=3√3 și √12=2√3; apoi adunăm termenii asemenea, 3√3+2√3=5√3. Varianta √39 provine din greșeala de a aduna numerele de sub radical. Sub radical se poate opera direct doar la înmulțire și la împărțire.

Din (a+b)(a−b)=a²−b² rezultă (√5)²−(√2)²=5−2=3. Valoarea 7 apare când se adună 5+2, iar √3 apare când radicalul este păstrat inutil.

Înmulțim numărătorul și numitorul cu √3 și obținem √3/(√3×√3)=√3/3, fiindcă numitorul devine (√3)²=3. Varianta √3/9 apare când numitorul este calculat greșit ca 3².

Înmulțind numărătorul și numitorul cu conjugatul √5+√3, numitorul devine 5−3=2. Prin urmare 2(√5+√3)/2=√5+√3. Varianta 2(√5+√3) apare când se uită simplificarea finală cu 2, iar (√5+√3)/4 apare de obicei când numitorul este calculat greșit ca 5+3=8.

Din (a+b)²=a²+2ab+b² obținem 3+2√3·√2+2=5+2√6. Valoarea 5 apare când se uită termenul din mijloc 2ab, iar 5+√6 când se uită înmulțirea cu 2.

Deoarece π>3, expresia din interior, 3−π, este negativă. Pentru valori negative avem |a|=−a, deci |3−π|=−(3−π)=π−3. Dacă modulul s-ar elimina păstrând 3−π, rezultatul ar fi negativ, iar un modul, care măsoară o distanță, nu poate fi negativ.

Din 4<7<9 rezultă 2<√7<3, deci partea întreagă este a=2. Partea fracționară este numărul minus partea sa întreagă, b=√7−2, care verifică 0≦b<1. Expresia √7−3 este negativă, deci nu poate fi o parte fracționară.

După raționalizare x=2+√3 și 1/x=2−√3. Cum x+1/x=4, avem x²+1/x²=(x+1/x)²−2=16−2=14. Valoarea 16 apare când se uită scăderea lui 2 și se păstrează doar (x+1/x)². Într-adevăr, x²=7+4√3 și 1/x²=7−4√3, iar suma lor este 14.

Avem x³+1/x³=(x+1/x)³−3(x+1/x)=27−9=18. Valoarea 27 apare când se uită termenul de corecție −3(x+1/x), iar 24 când se scade doar 3. Valoarea 7 este a lui x²+1/x², adică o cu totul altă mărime.

Trecând termenii obținem 3x>9, iar împărțind la numărul pozitiv 3 rezultă x>3. La împărțirea cu un număr pozitiv sensul inegalității nu se schimbă. Varianta x>9 apare când se uită împărțirea la 3.

Trecând termenii obținem −2x≦6. Împărțind la numărul negativ −2, sensul inegalității se schimbă, deci x≧−3. Varianta x≦−3 este greșeala clasică de a uita schimbarea sensului. Înlocuind x=0 avem 3≦9, adevărat, deci soluția trebuie să conțină pe 0, ceea ce confirmă x≧−3.

Trecem 2x în stânga și −1 în dreapta: 2x<6, deci x<3. Varianta x<2 apare când se calculează greșit 5−1=4 și se scrie 2x<4. Verificând cu x=0 avem −1<5, adevărat, iar 0 aparține soluției, ceea ce este consecvent.

Înmulțind ambii membri cu 6 obținem 3x−6>2x, de unde x>6. Varianta x>1 apare când termenul liber −1 nu este înmulțit cu 6 și se scrie 3x−1>2x. La eliminarea numitorilor, același număr trebuie înmulțit și cu termenii liberi.

Prima inecuație dă x>2, unde 2 nu este inclus; a doua dă 2x≦8, adică x≦4, unde 4 este inclus. Intersecția este 2<x≦4. Includerea capetelor se moștenește direct din inegalitățile inițiale, > și ≦.

Pe axa numerelor există două puncte aflate la distanța 5 de origine, deci x=5 și x=−5, adică x=±5. Dacă se dă doar valoarea pozitivă, o soluție se pierde.

Inecuațiile de tipul |X|<c se scriu −c<X<c. Din −3<x−2<3, adunând 2 la fiecare membru, rezultă −1<x<5. Varianta −3<x<3 apare când se ignoră decalajul cu −2 din interior. Înlocuind x=0 avem |−2|=2<3, adevărat, ceea ce se potrivește cu faptul că 0 aparține intervalului.

Inecuațiile de tipul |X|≧c dau soluții în exterior: X≦−c sau X≧c. Din x+1≦−4 sau x+1≧4 rezultă x≦−5 sau x≧3. Soluția cuprinsă între capete apare la |X|≦c, iar confuzia dintre cele două cazuri este greșeala tipică. Pentru x=0 avem |1|=1, deci inecuația nu se verifică, ceea ce este consecvent cu faptul că răspunsul nu îl conține pe 0.

Ordonând obținem 3x<a+3, deci x<(a+3)/3. Condiția ca aceasta să coincidă cu x<4 este (a+3)/3=4, de unde a=9. Varianta a=12 apare când se scrie a/3=4, pierzând termenul liber 3, iar a=1 când se scrie a+3=4. Se poate verifica și că pentru a=9 cei doi membri sunt egali în x=4.

Avem x>−2 și x≦3, deci −2<x≦3. Numerele întregi din acest interval sunt −1, 0, 1, 2 și 3, adică 5 numere. Valoarea −2 nu este inclusă, fiindcă x>−2 nu conține egalitate, deci răspunsul 6 este greșit. Scrierea explicită a capetelor și numărarea lor este metoda sigură.

A∩B este mulțimea elementelor care aparțin ambelor mulțimi. Dintre elementele lui B, adică 2, 4, 6 și 8, aparțin și lui A doar 2, 4 și 6. Mulțimea {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8} este A∪B, adică reuniunea, iar confuzia dintre ∩ și ∪ este greșeala tipică.

A∪B cuprinde toate elementele care aparțin cel puțin uneia dintre mulțimi. La elementele lui A se adaugă 8, care se află doar în B, și se obține {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}. Un element care se repetă se scrie o singură dată. Mulțimea {2, 4, 6} este intersecția A∩B.

Complementara cuprinde elementele lui U care nu aparțin lui A. Eliminând numerele pare rămân numerele impare {1, 3, 5, 7, 9}, care sunt răspunsul. Complementara se determină întotdeauna numai după ce se fixează mulțimea totală U.

Prin legile lui De Morgan, la trecerea la complementară, ∪ și ∩ se schimbă între ele. Complementara lui A∪B este Ā∩B̄. Cu o diagramă Venn se verifică: a nu aparține nici lui A, nici lui B înseamnă a fi în afara lui A și în afara lui B. Expresia Ā∪B̄ este, dimpotrivă, complementara lui A∩B.

Implicația x=3 ⇒ x²=9 este adevărată. Implicația inversă, x²=9 ⇒ x=3, este falsă, având contraexemplul x=−3. Fiind ipoteza din care pleacă implicația adevărată, x=3 este condiție suficientă, dar nu necesară.

Implicația x>2 ⇒ x>0 este adevărată, deci x>0 este condiție necesară. În schimb x>0 ⇒ x>2 este falsă, cu contraexemplul x=1, deci nu este condiție suficientă. Regula ușor de reținut, prin incluziunea intervalelor, este că tocmai condiția mai largă, aici x>0, devine condiția necesară.

În reducerea la absurd se presupune negația concluziei pe care vrem să o demonstrăm. Negația lui este irațional este este rațional. Scriind √2 ca o fracție ireductibilă q/p și continuând raționamentul, se ajunge la faptul că p și q sunt ambele pare, ceea ce contrazice ireductibilitatea, deci presupunerea este falsă.

Reciproca se obține schimbând între ele ipoteza și concluzia: dacă x²=1, atunci x=1. Această reciprocă este falsă, având contraexemplul x=−1, ceea ce arată că o propoziție adevărată nu are neapărat reciproca adevărată. Negând ipoteza și concluzia se obține inversa, iar negându-le și schimbându-le se obține contrara reciprocei.

Contrara reciprocei este negația concluziei ⇒ negația ipotezei. Negația lui n este par este n este impar, iar negația lui n² este par este n² este impar, deci se obține dacă n este impar, atunci n² este impar. Aceasta se demonstrează ușor direct și poate fi folosită pentru a demonstra propoziția inițială.

Implicația a=b ⇒ |a|=|b| este adevărată, deci |a|=|b| este condiție necesară. Implicația inversă, |a|=|b| ⇒ a=b, este falsă, cu contraexemplul a=1 și b=−1, unde |1|=|−1|, dar 1≠−1, deci nu este condiție suficientă. Prin urmare este condiție necesară, dar nu suficientă.