ہائی اسکول · ہائی اسکول ریاضی: باقاعدہ ٹیسٹ لیب
سوالات اور وضاحتیں اردو میں پڑھی جا سکتی ہیں۔ لیکچرز (وضاحتی مضامین) صرف جاپانی ورژن میں دستیاب ہیں۔
جاپانی ورژن (لیکچرز کے ساتھ) دیکھیں →
پہلا رکن 3 اور مشترک فرق 4 والی حسابی متوالیہ کا عمومی رکن aₙ کون سا ہے؟
فارمولا aₙ=a₁+(n−1)d=3+(n−1)·4=4n−1 دیتا ہے۔ یہ جانچ لینا مفید ہے کہ n=1 پر a₁=3 ملتا ہے۔ آپشن 4n+3 اس مخصوص غلطی سے آتا ہے کہ d کو (n−1) بار کے بجائے n بار جمع کیا جائے؛ n=1 پر یہ 7 دیتا ہے، جو پہلے رکن سے مطابقت نہیں رکھتا۔
پہلا رکن 100 اور مشترک فرق −7 والی حسابی متوالیہ کا 10واں رکن کون سا ہے؟
حساب a₁₀=100+(10−1)×(−7)=100−63=37۔ مشترک فرق کو 10 بار جمع کر کے 100−70=30 نکالنا مخصوص غلطی ہے؛ اسے (n−1)=9 بار جمع کیا جاتا ہے۔
مجموعہ 1+2+3+…+100 کی قیمت کون سی ہے؟
حسابی متوالیہ کا مجموعہ (پہلا رکن + آخری رکن) × ارکان کی تعداد ÷ 2 = (1+100)×100÷2=5050 ہے۔ 2 سے تقسیم کرنا بھول جائیں تو 10100 آتا ہے۔ قیمت 4950، 1 سے 99 تک کا مجموعہ ہے۔
پہلا رکن 2 اور مشترک فرق 3 والی حسابی متوالیہ کے پہلے 10 ارکان کا مجموعہ کون سا ہے؟
10واں رکن 2+9×3=29 ہے، اس لیے مجموعہ 10×(2+29)/2=155 ہے۔ آخری رکن کو غلطی سے 2+10×3=32 لینے سے 10×(2+32)/2=170 آتا ہے۔ فارمولا Sₙ=n{2a₁+(n−1)d}/2=5×(4+27)=155 بھی یہی دیتا ہے۔ 2 سے تقسیم کرنا بھول جائیں تو 310 آتا ہے، اور پہلا رکن جمع کیے بغیر آخری رکن کو 9×3=27 لینے سے 10×(2+27)/2=145 آتا ہے۔
حسابی متوالیہ {aₙ} میں a₃=10 اور a₇=22 ہیں۔ اس میں a₂₀ کی قیمت کون سی ہے؟
رشتہ a₇−a₃=4d=12 سے d=3 ملتا ہے، اور a₁=10−2×3=4، اس لیے a₂₀=4+19×3=61۔ درمیانی رکن سے بھی گنا جا سکتا ہے: a₂₀=a₇+13d=22+39=61۔ آپشن 64، (n−1) کے بجائے n استعمال کر کے a₂₀=a₁+20d=4+60 سے آتا ہے؛ 58 میں پہلے رکن کو غلطی سے 1 سمجھا گیا ہے؛ اور 67 میں a₃ کو پہلا رکن مان کر 10+19×3 نکالا گیا ہے۔
پہلا رکن 20 اور مشترک فرق −3 والی حسابی متوالیہ میں، پہلے n ارکان کا مجموعہ جب سب سے بڑا ہو تو وہ مجموعہ کون سا ہے؟
یہاں aₙ=20−3(n−1)=23−3n، اور aₙ≧0 اس کے مساوی ہے کہ n≦7.67، اس لیے ارکان 7ویں رکن تک مثبت رہتے ہیں، جہاں a₇=2۔ پھر S₇=7×(20+2)/2=77۔ منفی ارکان جمع ہونے لگیں تو مجموعہ گھٹتا ہے، اس لیے اعظم قیمت وہاں ہے جہاں تمام مثبت ارکان جمع ہو چکے ہوں۔ آپشن 70، 5ویں رکن پر رک جاتا ہے، 80 غلطی سے a₈=0 لے کر S₈=8(20+0)/2 نکالتا ہے، اور 76 دراصل S₈ ہے، جس میں منفی رکن a₈=−1 شامل ہے۔
اگر تین اعداد 5، x، 13 اسی ترتیب میں حسابی متوالیہ بناتے ہوں تو x کی قیمت کون سی ہے؟
حسابی اوسط کا رشتہ 2x=5+13 دیتا ہے کہ x=9۔ درمیانی رکن دونوں بیرونی ارکان کا اوسط (5+13)/2 ہوتا ہے۔ قیمت √65 اسے ہندسی اوسط سے گڈمڈ کرتی ہے، جہاں x²=65 ہوتا۔
100 تک کے قدرتی اعداد میں 3 کے تمام اضعاف کا مجموعہ کون سا ہے؟
3 کے اضعاف 3، 6، …، 99 ہیں، جو 33 ارکان ہیں۔ مجموعہ 33×(3+99)/2=33×51=1683 ہے۔ اسے 3×(1+2+…+33)=3×561=1683 سے بھی نکالا جا سکتا ہے۔ ارکان کی تعداد غلطی سے 32 یا 34 نہ گنیں، کیونکہ 99÷3=33۔
اگر متوالیہ {aₙ} کے پہلے n ارکان کا مجموعہ Sₙ=n²+2n ہو تو عمومی رکن aₙ کون سا ہے؟
جب n≧2 ہو تو aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁=(n²+2n)−{(n−1)²+2(n−1)}=2n+1۔ نیز a₁=S₁=3، جو 2×1+1=3 سے مطابقت رکھتا ہے، اس لیے ہر n کے لیے aₙ=2n+1۔ آپشن 2n−1 اسے Sₙ=n² والی صورت سے گڈمڈ کرتا ہے۔
پہلا رکن 3 اور مشترک نسبت 2 والی ہندسی متوالیہ کا 5واں رکن کون سا ہے؟
حساب a₅=3×2⁵⁻¹=3×2⁴=3×16=48۔ قوت نما 5 استعمال کر کے 3×2⁵=96 نکالنا مخصوص غلطی ہے؛ نسبت (n−1)=4 بار لگتی ہے۔
پہلا رکن 3 اور مشترک نسبت 2 والی ہندسی متوالیہ کا عمومی رکن aₙ کون سا ہے؟
فارمولا aₙ=a₁·rⁿ⁻¹=3·2ⁿ⁻¹ دیتا ہے۔ جانچ لیں کہ n=1 پر a₁=3 ملتا ہے۔ اظہار 3·2ⁿ قیمت n=1 پر 6 دیتا ہے، جو پہلے رکن سے مطابقت نہیں رکھتا۔ 2·3ⁿ⁻¹ سے بھی ہوشیار رہیں، جس میں پہلا رکن اور مشترک نسبت آپس میں بدل گئے ہیں۔
پہلا رکن 1 اور مشترک نسبت 2 والی ہندسی متوالیہ کے پہلے 10 ارکان کا مجموعہ 1+2+4+8+…+2⁹ کی قیمت کون سی ہے؟
حساب S₁₀=(2¹⁰−1)/(2−1)=1024−1=1023۔ مشترک نسبت 2 کے لیے اسے آخری رکن کا دُگنا منفی پہلا رکن، یعنی 2⁹×2−1، بھی سمجھا جا سکتا ہے۔ قیمت 1024 خود 2¹⁰ ہے، اور 511 پہلے 9 ارکان کا مجموعہ ہے۔
پہلا رکن 2 اور مشترک نسبت 3 والی ہندسی متوالیہ کے پہلے 5 ارکان کا مجموعہ کون سا ہے؟
حساب S₅=2×(3⁵−1)/(3−1)=2×242/2=242، اور واقعی 2+6+18+54+162=242۔ 3⁵−1 نکالتے وقت −1 نہ بھولیں، اور نسب نما (r−1) سے تقسیم کرنا بھی نہ بھولیں، ورنہ 484 آئے گا۔ قیمت 243 خود 3⁵ ہے، اور 80 صرف پہلے 4 ارکان کا مجموعہ ہے۔
اگر تین حقیقی اعداد 2، x، 8 اسی ترتیب میں ہندسی متوالیہ بناتے ہوں تو x کی قیمت کون سی ہے؟
ہندسی اوسط کا رشتہ x²=2×8=16 دیتا ہے کہ x=±4۔ مشترک نسبت 2، جس سے 2، 4، 8 بنتا ہے، اور مشترک نسبت −2، جس سے 2، −4، 8 بنتا ہے، دونوں درست ہیں، اس لیے صرف مثبت قیمت 4 کافی نہیں۔ قیمت 5 اسے حسابی اوسط (2+8)/2 سے گڈمڈ کرتی ہے۔
مجموعہ Σₖ₌₁¹⁰ k، یعنی k=1 سے 10 تک کا مجموعہ، کی قیمت کون سی ہے؟
فارمولا Σk=n(n+1)/2 میں n=10 رکھنے سے 10×11/2=55 ملتا ہے۔ 2 سے تقسیم کرنا بھول جائیں تو 110 آتا ہے۔ قیمت 45، 1 سے 9 تک کا مجموعہ ہے، اس لیے بالائی حد پر دھیان دیں، اور قیمت 100، 10×10 نکالنے سے آتی ہے۔
مجموعہ Σₖ₌₁⁶ k²، یعنی 1²+2²+…+6²، کی قیمت کون سی ہے؟
فارمولا Σk²=n(n+1)(2n+1)/6 میں n=6 رکھنے سے 6×7×13/6=91 ملتا ہے، اور واقعی 1+4+9+16+25+36=91۔ قیمت 55، n=5 والی صورت ہے، اور 441=21² اسے Σk³=(Σk)² سے گڈمڈ کرتی ہے۔ قیمت 90 فارمولے سے بالکل نہیں آتی؛ چھ مربعوں کو احتیاط سے جمع کرنے سے 91 ملتا ہے۔
کون سا اظہار Σₖ₌₁ⁿ (2k+1) کو n کی صورت میں ظاہر کرتا ہے؟
حساب 2Σk+Σ1=2×n(n+1)/2+n=n²+n+n=n²+2n۔ Σ1=n جمع کرنا بھول جائیں تو n²+n بچتا ہے۔ n=1 رکھ کر جانچنا کہ 3، یعنی 2×1+1، ملتا ہے یا نہیں، مفید ہے۔
مجموعہ Σₖ₌₁¹⁰ k(k+1) کی قیمت کون سی ہے؟
رکن k(k+1)=k²+k کو پھیلائیں، تو مجموعہ Σk²+Σk=385+55=440 ہے، جہاں n=10 پر Σk²=10×11×21/6=385 اور Σk=55۔ قیمت 385 صرف Σk² پر رک جاتی ہے، 495 دو بار Σk جمع کر کے 385+110 بنتی ہے، اور 430، n=9 کا Σk، یعنی 45، استعمال کر کے 385+45 بنتی ہے۔ معیاری طریقہ یہ ہے کہ پھیلا کر معلوم فارمولوں تک پہنچایا جائے۔
متوالیہ 2، 3، 5، 8، 12، … کا 6واں رکن کون سا ہے؟
فرق لینے سے 1، 2، 3، 4 ملتے ہیں، جو قدرتی اعداد ہیں، اس لیے اگلا فرق 5 ہے اور a₆=12+5=17۔ جب متوالیہ کا نمونہ نظر نہ آئے تو پہلا معیاری قدم ساتھ والے ارکان کے درمیان فرق جانچنا ہے۔
متوالیہ 2، 3، 5، 8، 12، … کا عمومی رکن aₙ کون سا ہے؟
فرق bₖ=k ہیں، اس لیے n≧2 کے لیے aₙ=2+Σₖ₌₁ⁿ⁻¹ k=2+(n−1)n/2=(n²−n+4)/2۔ یہ n=1 پر بھی درست ہے، کیونکہ 4/2=2۔ n=2 رکھ کر دیکھیں کہ 3 ملتا ہے یا نہیں؛ اظہار (n²+n+2)/2 قیمت n=2 پر 4 دیتا ہے، اس لیے غلط ہے۔
کون سا اظہار Σₖ₌₁ⁿ 1/(k(k+1)) کو n کی صورت میں ظاہر کرتا ہے؟
جزوی کسور 1/(k(k+1))=1/k−1/(k+1) میں توڑنے سے مجموعہ (1−1/2)+(1/2−1/3)+…+(1/n−1/(n+1))=1−1/(n+1)=n/(n+1) بن جاتا ہے۔ درمیانی ارکان ایک دوسرے کو ختم کر دیتے ہیں اور صرف پہلا اور آخری باقی رہتے ہیں۔
رشتوں a₁=1 اور aₙ₊₁=aₙ+3 سے متعین متوالیہ کا 10واں رکن کون سا ہے؟
ہر بار 3 جمع کرنے سے یہ مشترک فرق 3 والی حسابی متوالیہ بنتی ہے، اس لیے a₁₀=1+(10−1)×3=28، اور عمومی رکن aₙ=3n−2 ہے۔ 3 کو دس بار جمع کر کے 31 نکالنا (n−1) کے بجائے n استعمال کرنا ہے۔
رشتوں a₁=2 اور aₙ₊₁=3aₙ سے متعین متوالیہ کا چوتھا رکن کون سا ہے؟
ہر بار 3 سے ضرب دینے سے یہ مشترک نسبت 3 والی ہندسی متوالیہ بنتی ہے، اس لیے a₄=2×3³=54۔ ارکان لکھ کر دیکھیں تو بھی 2، پھر 6، پھر 18، پھر 54 ملتے ہیں۔ 3 سے چار بار ضرب دے کر 162 نکالنا قوت نما کو غلط گننا ہے۔
قدرتی اعداد n کے بارے میں کسی بیان کو ریاضیاتی استقرا سے ثابت کرنے کا درست طریقہ کون سا ہے؟
استقرا کے دو مرحلے ہیں: پہلا، یہ کہ بیان n=1 پر درست ہے، اور دوسرا، یہ کہ n=k پر اسے فرض کرنے سے n=k+1 پر اسے ثابت کیا جا سکتا ہے۔ تصور کریں کہ پہلا ڈومینو گرایا جاتا ہے اور دکھایا جاتا ہے کہ جو بھی گرے وہ اگلے کو گرا دیتا ہے؛ دونوں مرحلے ضروری ہیں۔
رشتوں a₁=1 اور aₙ₊₁=2aₙ+1 سے متعین متوالیہ کا عمومی رکن aₙ کون سا ہے؟
امتیازی مساوات α=2α+1 سے α=−1 ملتا ہے۔ اسے aₙ₊₁+1=2(aₙ+1) کی شکل میں لکھنے سے ظاہر ہوتا ہے کہ {aₙ+1} پہلا رکن 2 اور مشترک نسبت 2 والی ہندسی متوالیہ ہے، اس لیے aₙ+1=2ⁿ اور aₙ=2ⁿ−1۔ یہ ارکان 1، 3، 7، 15، 31، … سے مطابقت رکھتا ہے۔ آپشن 2ⁿ⁻¹ قیمت n=2 پر 2 دیتا ہے، جو a₂=3 سے مطابقت نہیں رکھتا۔
یہ بے ترتیب سوالات والا مشق کا ٹول ہے (JavaScript فعال ہونے پر کام کرتا ہے)۔ اوپر دیے گئے تمام سوالات اور وضاحتیں اس کے بغیر بھی پڑھی جا سکتی ہیں۔
* یہ ہائی اسکول کے تعلیمی مواد کی دہرائی کے لیے ہے۔ اگر علامات یا طریقۂ کار آپ کی درسی کتاب یا آپ کے اسکول کی تدریس سے مختلف ہو تو اپنی درسی کتاب اور اپنے استاد کی وضاحت پر عمل کریں۔
یہ صفحہ جاپانی اصل متن کا ترجمہ ہے۔ اگر ترجمے اور اصل متن میں فرق ہو تو جاپانی ورژن کو ترجیح دی جائے گی۔ یہ ترجمہ AI کی مدد سے کیا گیا ہے اور اس میں غلطیاں ہو سکتی ہیں۔ ترجمے کی غلطی کی اطلاع دیں جاپانی اصل متن دیکھیں