수열 (수학B: 일본 고교 수학 B)

aₙ=a₁+(n−1)d=3+(n−1)·4=4n−1 이다. n=1 에서 a₁=3 이 되는지 확인하면 좋다. 4n+3 은 d 를 n 번 더한((n−1) 을 n 으로 한) 전형적인 오답으로, n=1 일 때 7 이 되어 첫째항과 맞지 않는다.

a₁₀=100+(10−1)×(−7)=100−63=37 이다. 공차를 10 번 더해 100−70=30 으로 하는 것이 전형적인 오답이다. 더하는 것은 (n−1)=9 번이다.

등차수열의 합=(첫째항+끝항)×항수÷2=(1+100)×100÷2=5050 이다. 2 로 나누는 것을 잊으면 10100 이 된다. 4950 은 1 부터 99 까지의 합이다.

제 10 항은 2+9×3=29 이다. 합=10×(2+29)/2=155 이다. 끝항을 2+10×3=32 로 잘못 보면 10×(2+32)/2=170 이 된다. 공식 Sₙ=n{2a₁+(n−1)d}/2=5×(4+27)=155 로도 같다.

a₇−a₃=4d=12 에서 d=3 이다. a₁=10−2×3=4 이다. a₂₀=4+19×3=61 이다. a₂₀=a₇+13d=22+39=61 처럼 도중의 항에서 세어도 좋다. 64 는 a₂₀=a₁+20d=4+60 으로 (n−1) 을 n 으로 한 실수, 58 은 첫째항을 1 로 뒤바꾼 실수, 67 은 a₃ 을 그대로 첫째항으로 보아 10+19×3 으로 한 실수이다.

aₙ=20−3(n−1)=23−3n 이다. aₙ≧0 ⇔ n≦7.67 이므로 양의 항은 제 7 항(a₇=2)까지이다. S₇=7×(20+2)/2=77 이다. 음의 항을 더하기 시작하면 합은 줄어들므로, 양의 항을 모두 더한 곳이 최대이다. 70 은 양의 항을 제 5 항까지만 더한 실수, 80 은 a₈=0 으로 잘못 보아 S₈=8(20+0)/2 로 한 실수, 76 은 음의 항 a₈=−1 까지 더해 버린 S₈ 이다.

등차중항의 관계 2x=5+13 에서 x=9 이다. 가운데 항은 양 끝의 평균 (5+13)/2 가 된다. √65 는 등비중항(x²=65)과의 혼동이다.

3 의 배수는 3, 6, …, 99 의 33 개이다. 합=33×(3+99)/2=33×51=1683 이다. 3×(1+2+…+33)=3×561=1683 으로 해도 좋다. 항수를 32 개나 34 개로 잘못 세지 않도록 한다(99÷3=33 개).

n≧2 에서 aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁=(n²+2n)−{(n−1)²+2(n−1)}=2n+1 이다. a₁=S₁=3 도 2×1+1=3 과 일치하므로 모든 n 에서 aₙ=2n+1 이다. 2n−1 은 Sₙ=n² 인 경우와 혼동한 오답이다.

a₅=3×2⁵⁻¹=3×2⁴=3×16=48 이다. 지수를 5 로 하여 3×2⁵=96 으로 하는 것이 전형적인 오답이다. 곱하는 것은 (n−1)=4 번이다.

aₙ=a₁·rⁿ⁻¹=3·2ⁿ⁻¹ 이다. n=1 에서 a₁=3 이 되는지 확인한다. 3·2ⁿ 은 n=1 에서 6 이 되어 첫째항과 맞지 않는다. 첫째항과 공비를 뒤바꾼 2·3ⁿ⁻¹ 에도 주의한다.

S₁₀=(2¹⁰−1)/(2−1)=1024−1=1023 이다. 공비 2 인 합은 '끝항의 2 배−첫째항'=2⁹×2−1 로 생각해도 좋다. 1024 는 2¹⁰ 그 자체이고, 511 은 제 9 항까지의 합이다.

S₅=2×(3⁵−1)/(3−1)=2×242/2=242 이다. 실제로 2+6+18+54+162=242 이다. 3⁵−1 의 계산에서 −1 을 잊거나, 분모의 (r−1) 로 나누지 않아 484 로 하지 않도록 한다.

등비중항의 관계 x²=2×8=16 에서 x=±4 이다. 공비 2(2, 4, 8)와 공비 −2(2, −4, 8) 가 모두 성립하므로 양수인 4 만으로는 충분하지 않다. 5 는 등차중항 (2+8)/2 과의 혼동이다.

Σk=n(n+1)/2 에 n=10 을 대입하여 10×11/2=55 이다. 2 로 나누는 것을 잊으면 110 이 된다. 45 는 1 부터 9 까지의 합이므로 위 끝을 뒤바꾸지 않도록 주의한다.

Σk²=n(n+1)(2n+1)/6 에 n=6 을 대입하여 6×7×13/6=91 이다. 실제로 1+4+9+16+25+36=91 이다. 55 는 n=5 인 경우이고, 441=21² 은 Σk³=(Σk)² 과의 혼동이다.

2Σk+Σ1=2×n(n+1)/2+n=n²+n+n=n²+2n 이다. Σ1=n 을 더하는 것을 잊으면 n²+n 이 된다. n=1 을 대입해 3(=2×1+1)이 되는지 검산하면 좋다.

k(k+1)=k²+k 로 전개하여 Σk²+Σk=385+55=440 이다. Σk²(n=10)=10×11×21/6=385, Σk(n=10)=55 를 쓴다. 385 는 Σk² 에서 멈춘 오답이다. 전개하여 공식으로 돌리는 것이 정석이다.

계차를 구하면 1, 2, 3, 4 로 자연수의 열이 되므로 다음 계차는 5 이다. a₆=12+5=17 이다. 원래 수열의 규칙이 보이지 않을 때는 먼저 이웃한 항끼리의 차를 살펴보는 것이 정석이다.

계차 bₖ=k 이므로 n≧2 에서 aₙ=2+Σₖ₌₁ⁿ⁻¹ k=2+(n−1)n/2=(n²−n+4)/2 이다. n=1 에서도 4/2=2 로 성립한다. n=2 를 대입해 3 이 되는지로 검산할 수 있다((n²+n+2)/2 는 n=2 에서 4 가 되어 틀리다).

1/(k(k+1))=1/k−1/(k+1) 로 부분분수 분해하면, 합은 (1−1/2)+(1/2−1/3)+…+(1/n−1/(n+1))=1−1/(n+1)=n/(n+1) 이다. 도중의 항이 서로 지워지고 처음과 마지막만 남는다.

매번 3 을 더하는 등차형이므로 공차 3 인 등차수열이다. a₁₀=1+(10−1)×3=28 이다. 일반항은 aₙ=3n−2 이다. 3 을 10 번 더해 31 로 하는 것은 (n−1) 번을 n 번으로 잘못 본 것이다.

매번 3 을 곱하는 등비형이므로 공비 3 인 등비수열이다. a₄=2×3³=54 이다. 차례로 써도 2→6→18→54 이다. 3 을 4 번 곱해 162 로 하는 것은 지수를 잘못 센 것이다.

귀납법은 '①n=1 에서 성립' '②n=k 에서의 성립을 가정하여 n=k+1 에서의 성립을 보인다'의 두 단계이다. 도미노의 첫 장을 넘어뜨리고, 어느 한 장이 넘어지면 다음 장이 넘어짐을 보이는 그림으로 생각하면 되며, ① 과 ② 가 모두 필요하다.

특성방정식 α=2α+1 에서 α=−1 이다. aₙ₊₁+1=2(aₙ+1) 로 변형하면 {aₙ+1} 은 첫째항 2, 공비 2 인 등비수열이므로 aₙ+1=2ⁿ 이다. 따라서 aₙ=2ⁿ−1 이다. 실제로 1, 3, 7, 15, 31, … 과 맞는다. 2ⁿ⁻¹ 은 n=2 에서 2 가 되어 a₂=3 과 맞지 않는다.