Dãy số (数学B, tức Toán B bậc trung học phổ thông Nhật Bản)

Ta có aₙ=a₁+(n−1)d=3+(n−1)·4=4n−1. Nên kiểm tra bằng cách thay n=1 để thấy a₁=3. Biểu thức 4n+3 là lỗi điển hình do cộng công sai n lần thay vì (n−1) lần, và với n=1 nó cho 7, không khớp số hạng đầu.

Ta có a₁₀=100+(10−1)×(−7)=100−63=37. Lỗi điển hình là cộng công sai 10 lần và ra 100−70=30. Số lần cộng phải là (n−1)=9.

Tổng của cấp số cộng bằng tổng số hạng đầu và số hạng cuối, nhân số số hạng, rồi chia 2: (1+100)×100÷2=5050. Quên chia 2 sẽ ra 10100. Con số 4950 là tổng từ 1 đến 99.

Số hạng thứ 10 là 2+9×3=29, nên tổng bằng 10×(2+29)/2=155. Nếu lấy nhầm số hạng cuối là 2+10×3=32 thì ra 10×(2+32)/2=170. Dùng công thức Sₙ=n{2a₁+(n−1)d}/2=5×(4+27)=155 cũng cho kết quả đó.

Từ a₇−a₃=4d=12 ta có d=3, rồi a₁=10−2×3=4, nên a₂₀=4+19×3=61. Cũng có thể đếm từ số hạng giữa: a₂₀=a₇+13d=22+39=61. Con số 64 là lỗi viết a₂₀=a₁+20d=4+60, tức dùng n thay cho (n−1); 58 là lỗi lấy nhầm số hạng đầu bằng 1; còn 67 là lỗi coi a₃ là số hạng đầu và tính 10+19×3.

Ta có aₙ=20−3(n−1)=23−3n, và aₙ≧0 tương đương n≦7.67, nên các số hạng dương kéo dài tới số hạng thứ 7 với a₇=2. Do đó S₇=7×(20+2)/2=77. Khi bắt đầu cộng các số hạng âm thì tổng giảm, nên tổng lớn nhất đạt được khi đã cộng hết các số hạng dương. Con số 70 là lỗi chỉ cộng tới số hạng thứ 5, 80 là lỗi cho rằng a₈=0 rồi tính S₈=8(20+0)/2, còn 76 là S₈ khi cộng cả số hạng âm a₈=−1.

Theo tính chất số hạng giữa, 2x=5+13, nên x=9: số hạng ở giữa bằng trung bình cộng của hai số hai bên, tức (5+13)/2. Giá trị √65 là lỗi nhầm với số hạng giữa của cấp số nhân, ứng với x²=65.

Các bội của 3 là 3, 6, …, 99, tất cả 33 số, nên tổng bằng 33×(3+99)/2=33×51=1683. Cũng có thể tính 3×(1+2+…+33)=3×561=1683. Đừng đếm nhầm số số hạng thành 32 hay 34, vì 99÷3=33.

Với n≧2 ta có aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁=(n²+2n)−{(n−1)²+2(n−1)}=2n+1. Vì a₁=S₁=3 cũng bằng 2×1+1=3 nên công thức aₙ=2n+1 đúng với mọi n. Biểu thức 2n−1 là lỗi nhầm với trường hợp Sₙ=n².

Ta có a₅=3×2⁵⁻¹=3×2⁴=3×16=48. Lỗi điển hình là lấy số mũ bằng 5 và tính 3×2⁵=96. Số lần nhân phải là (n−1)=4.

Ta có aₙ=a₁·rⁿ⁻¹=3·2ⁿ⁻¹, và nên kiểm tra bằng n=1 để thấy a₁=3. Biểu thức 3·2ⁿ tại n=1 cho 6 nên không khớp số hạng đầu. Cũng cần chú ý biểu thức 2·3ⁿ⁻¹, đó là kết quả khi đảo ngược số hạng đầu với công bội.

Ta có S₁₀=(2¹⁰−1)/(2−1)=1024−1=1023. Với công bội 2, cũng có thể nhớ tổng bằng hai lần số hạng cuối trừ số hạng đầu, tức 2⁹×2−1. Con số 1024 chính là 2¹⁰, còn 511 là tổng của 9 số hạng đầu.

Ta có S₅=2×(3⁵−1)/(3−1)=2×242/2=242, và thật vậy 2+6+18+54+162=242. Đừng quên trừ 1 trong 3⁵−1, cũng đừng quên chia cho mẫu (r−1), vì bỏ quên sẽ ra 484.

Theo tính chất số hạng giữa của cấp số nhân, x²=2×8=16, nên x=±4. Cả công bội 2 với dãy 2, 4, 8 lẫn công bội −2 với dãy 2, −4, 8 đều thỏa mãn, nên chỉ lấy giá trị dương 4 là chưa đủ. Con số 5 là lỗi nhầm với số hạng giữa của cấp số cộng, tức (2+8)/2.

Thay n=10 vào Σk=n(n+1)/2 được 10×11/2=55. Quên chia 2 sẽ ra 110. Con số 45 là tổng từ 1 đến 9, nên chú ý cận trên.

Thay n=6 vào Σk²=n(n+1)(2n+1)/6 được 6×7×13/6=91, và thật vậy 1+4+9+16+25+36=91. Con số 55 ứng với n=5, còn 441=21² là do nhầm với hệ thức Σk³=(Σk)².

Ta có 2Σk+Σ1=2×n(n+1)/2+n=n²+n+n=n²+2n. Quên cộng Σ1=n sẽ ra n²+n. Nên thay n=1 để kiểm tra xem có ra 3, đúng bằng 2×1+1, hay không.

Khai triển k(k+1)=k²+k rồi cộng: Σk²+Σk=385+55=440, trong đó với n=10 thì Σk²=10×11×21/6=385 và Σk=55. Con số 385 là lỗi dừng lại ở Σk². Cách làm chuẩn là khai triển để đưa về các công thức đã biết.

Lấy hiệu các số hạng liên tiếp được 1, 2, 3, 4, tức dãy các số tự nhiên, nên hiệu tiếp theo là 5 và a₆=12+5=17. Khi chưa nhìn ra quy luật của dãy ban đầu thì cách làm chuẩn là xét hiệu của hai số hạng kề nhau.

Vì hiệu là bₖ=k nên với n≧2 ta có aₙ=2+Σₖ₌₁ⁿ⁻¹ k=2+(n−1)n/2=(n²−n+4)/2. Với n=1 cũng đúng vì 4/2=2. Có thể kiểm tra bằng n=2 để xem có ra 3 hay không, trong khi (n²+n+2)/2 tại n=2 cho 4 nên sai.

Tách thành 1/(k(k+1))=1/k−1/(k+1) thì tổng bằng (1−1/2)+(1/2−1/3)+…+(1/n−1/(n+1))=1−1/(n+1)=n/(n+1). Các số hạng ở giữa triệt tiêu nhau, chỉ còn lại phần đầu và phần cuối.

Mỗi bước cộng thêm 3 nên đây là cấp số cộng với công sai 3, do đó a₁₀=1+(10−1)×3=28 và số hạng tổng quát là aₙ=3n−2. Cộng 3 mười lần rồi ra 31 chính là lỗi lấy n lần thay cho (n−1) lần.

Mỗi bước nhân với 3 nên đây là cấp số nhân với công bội 3, do đó a₄=2×3³=54. Viết lần lượt cũng thấy 2, rồi 6, rồi 18, rồi 54. Nhân 3 bốn lần rồi ra 162 là do đếm sai số mũ.

Quy nạp gồm hai bước: thứ nhất là chứng minh mệnh đề đúng với n=1, thứ hai là giả sử đúng với n=k rồi chứng minh đúng với n=k+1. Hãy hình dung như hàng đô-mi-nô: ta đẩy đổ quân đầu tiên và chứng tỏ quân nào đổ cũng làm đổ quân kế tiếp, nên cả hai bước đều cần thiết.

Phương trình đặc trưng α=2α+1 cho α=−1. Biến đổi thành aₙ₊₁+1=2(aₙ+1) thì {aₙ+1} là cấp số nhân với số hạng đầu 2 và công bội 2, nên aₙ+1=2ⁿ và aₙ=2ⁿ−1. Thật vậy dãy là 1, 3, 7, 15, 31, …, đúng như vậy. Biểu thức 2ⁿ⁻¹ tại n=2 cho 2, không khớp với a₂=3.