ลำดับและอนุกรม

aₙ=a₁+(n−1)d=3+(n−1)·4=4n−1 ควรตรวจว่าเมื่อ n=1 จะได้ a₁=3 ข้อ 4n+3 เป็นความผิดพลาดแบบฉบับที่บวก d ไป n ครั้ง คือเปลี่ยน (n−1) เป็น n ซึ่งเมื่อ n=1 จะได้ 7 อันไม่ตรงกับพจน์แรก

a₁₀=100+(10−1)×(−7)=100−63=37 ความผิดพลาดแบบฉบับคือบวกผลต่างร่วมไป 10 ครั้งจนได้ 100−70=30 ที่จริงต้องบวก (n−1)=9 ครั้ง

ผลบวกของลำดับเลขคณิตเท่ากับ ผลบวกของพจน์แรกกับพจน์สุดท้าย คูณด้วยจำนวนพจน์ แล้วหารด้วย 2 คือ (1+100)×100÷2=5050 ถ้าลืมหารด้วย 2 จะได้ 10100 ส่วน 4950 คือผลบวกตั้งแต่ 1 ถึง 99

พจน์ที่ 10 คือ 2+9×3=29 ผลบวกจึงเท่ากับ 10×(2+29)/2=155 ถ้าคิดพจน์สุดท้ายผิดเป็น 2+10×3=32 จะได้ 10×(2+32)/2=170 ใช้สูตร Sₙ=n{2a₁+(n−1)d}/2=5×(4+27)=155 ก็ได้ผลเดียวกัน ข้อ 310 เกิดจากลืมหารด้วย 2 และ 145 เกิดจากคูณครึ่งหนึ่งของจำนวนพจน์กับพจน์สุดท้ายเป็น 5×29 โดยลืมพจน์แรก

a₇−a₃=4d=12 จึงได้ d=3 และ a₁=10−2×3=4 ดังนั้น a₂₀=4+19×3=61 หรือจะนับจากพจน์กลางทางเป็น a₂₀=a₇+13d=22+39=61 ก็ได้ ข้อ 64 เกิดจากคิดเป็น a₂₀=a₁+20d=4+60 คือเปลี่ยน (n−1) เป็น n ข้อ 58 เกิดจากเข้าใจพจน์แรกผิดเป็น 1 และ 67 เกิดจากใช้ a₃ เป็นพจน์แรกแล้วคิดเป็น 10+19×3

aₙ=20−3(n−1)=23−3n เงื่อนไข aₙ≧0 เทียบเท่ากับ n≦7.67 พจน์ที่เป็นบวกจึงมีถึงพจน์ที่ 7 ซึ่ง a₇=2 ได้ S₇=7×(20+2)/2=77 เมื่อเริ่มบวกพจน์ที่ติดลบ ผลบวกจะลดลง จุดที่บวกพจน์บวกครบทั้งหมดจึงให้ค่ามากที่สุด ข้อ 70 เกิดจากบวกถึงพจน์ที่ 5 เท่านั้น ข้อ 80 เกิดจากเข้าใจผิดว่า a₈=0 แล้วคิด S₈=8(20+0)/2 และ 76 คือ S₈ ที่บวกพจน์ติดลบ a₈=−1 เข้าไปด้วย

จากความสัมพันธ์ของพจน์กลางเลขคณิต 2x=5+13 จึงได้ x=9 พจน์ตรงกลางคือค่าเฉลี่ยของสองข้าง นั่นคือ (5+13)/2 ส่วน √65 เกิดจากสับสนกับพจน์กลางเรขาคณิตซึ่งใช้ x²=65

พหุคูณของ 3 คือ 3, 6, …, 99 รวม 33 จำนวน ผลบวกเท่ากับ 33×(3+99)/2=33×51=1683 หรือคิดเป็น 3×(1+2+…+33)=3×561=1683 ก็ได้ ระวังอย่านับจำนวนพจน์ผิดเป็น 32 หรือ 34 เพราะ 99÷3=33 จำนวน

สำหรับ n≧2 จะได้ aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁=(n²+2n)−{(n−1)²+2(n−1)}=2n+1 และ a₁=S₁=3 ซึ่งตรงกับ 2×1+1=3 จึงใช้ aₙ=2n+1 ได้กับทุกค่าของ n ข้อ 2n−1 เกิดจากสับสนกับกรณี Sₙ=n²

a₅=3×2⁵⁻¹=3×2⁴=3×16=48 ความผิดพลาดแบบฉบับคือใช้เลขชี้กำลังเป็น 5 แล้วคิดเป็น 3×2⁵=96 ที่จริงต้องคูณ (n−1)=4 ครั้ง

aₙ=a₁·rⁿ⁻¹=3·2ⁿ⁻¹ ให้ตรวจว่าเมื่อ n=1 จะได้ a₁=3 ส่วน 3·2ⁿ เมื่อ n=1 จะได้ 6 ซึ่งไม่ตรงกับพจน์แรก และให้ระวัง 2·3ⁿ⁻¹ ซึ่งสลับพจน์แรกกับอัตราส่วนร่วม

S₁₀=(2¹⁰−1)/(2−1)=1024−1=1023 หรือจะคิดว่าผลบวกเมื่ออัตราส่วนร่วมเท่ากับ 2 คือ สองเท่าของพจน์สุดท้าย ลบด้วยพจน์แรก นั่นคือ 2⁹×2−1 ก็ได้ ข้อ 1024 คือ 2¹⁰ เอง ข้อ 511 คือผลบวกถึงพจน์ที่ 9 และ 512 คือ 2⁹ ซึ่งเป็นพจน์สุดท้ายเพียงพจน์เดียว

S₅=2×(3⁵−1)/(3−1)=2×242/2=242 ตรวจได้จริงว่า 2+6+18+54+162=242 อย่าลืมลบ 1 ในการคำนวณ 3⁵−1 ข้อ 243 คือ 3⁵ เอง ข้อ 484 เกิดจากลืมหารด้วยตัวส่วน (r−1) และ 80 เกิดจากบวกพจน์ผิดพลาด จึงควรตรวจด้วยการบวกจริง

จากความสัมพันธ์ของพจน์กลางเรขาคณิต x²=2×8=16 จึงได้ x=±4 เพราะเป็นจริงทั้งกรณีอัตราส่วนร่วมเท่ากับ 2 ซึ่งให้ 2, 4, 8 และกรณีอัตราส่วนร่วมเท่ากับ −2 ซึ่งให้ 2, −4, 8 การตอบเพียงค่าบวก 4 จึงยังไม่ครบ ส่วน 5 เกิดจากสับสนกับพจน์กลางเลขคณิตซึ่งเท่ากับ (2+8)/2

แทน n=10 ในสูตร Σk=n(n+1)/2 ได้ 10×11/2=55 ถ้าลืมหารด้วย 2 จะได้ 110 ข้อ 100 เกิดจากคิดผิดเป็น 10×10 ส่วน 45 คือผลบวกตั้งแต่ 1 ถึง 9 จึงต้องระวังการอ่านขอบบนผิด

แทน n=6 ในสูตร Σk²=n(n+1)(2n+1)/6 ได้ 6×7×13/6=91 ตรวจได้จริงว่า 1+4+9+16+25+36=91 ข้อ 90 เกิดจากบวกผิดพลาดระหว่างทาง ข้อ 55 คือกรณี n=5 และ 441 ซึ่งเท่ากับ 21² เกิดจากสับสนกับ Σk³=(Σk)²

2Σk+Σ1=2×n(n+1)/2+n=n²+n+n=n²+2n ถ้าลืมบวก Σ1=n จะได้ n²+n ควรแทน n=1 เพื่อตรวจว่าได้ 3 ซึ่งเท่ากับ 2×1+1 หรือไม่

กระจาย k(k+1)=k²+k แล้วได้ Σk²+Σk=385+55=440 โดยใช้ Σk² เมื่อ n=10 เท่ากับ 10×11×21/6=385 และ Σk เมื่อ n=10 เท่ากับ 55 ข้อ 385 เกิดจากหยุดที่ Σk² เพียงอย่างเดียว ส่วน 495 กับ 430 เกิดจากบวกค่าของ Σk² กับ Σk ผิดพลาด วิธีมาตรฐานคือกระจายแล้วย้อนกลับไปใช้สูตร

เมื่อหาผลต่างจะได้ 1, 2, 3, 4 ซึ่งเป็นลำดับของจำนวนนับ ผลต่างถัดไปจึงเป็น 5 ได้ a₆=12+5=17 เมื่อมองไม่เห็นกฎของลำดับเดิม วิธีมาตรฐานคือดูผลต่างของพจน์ที่อยู่ติดกันก่อน

ผลต่างคือ bₖ=k ดังนั้นสำหรับ n≧2 จะได้ aₙ=2+Σₖ₌₁ⁿ⁻¹ k=2+(n−1)n/2=(n²−n+4)/2 และเมื่อ n=1 ก็ได้ 4/2=2 ซึ่งใช้ได้ ตรวจได้ด้วยการแทน n=2 แล้วดูว่าได้ 3 หรือไม่ ส่วน (n²+n+2)/2 เมื่อ n=2 จะได้ 4 จึงผิด

แยกเศษส่วนย่อยได้ 1/(k(k+1))=1/k−1/(k+1) ผลบวกจึงเป็น (1−1/2)+(1/2−1/3)+…+(1/n−1/(n+1))=1−1/(n+1)=n/(n+1) พจน์ระหว่างทางหักล้างกันหมด เหลือเพียงพจน์แรกกับพจน์สุดท้าย

เพราะบวก 3 ทุกครั้ง จึงเป็นแบบเลขคณิตที่มีผลต่างร่วมเท่ากับ 3 ได้ a₁₀=1+(10−1)×3=28 พจน์ทั่วไปคือ aₙ=3n−2 การบวก 3 ไป 10 ครั้งจนได้ 31 เกิดจากใช้ n ครั้งแทนที่จะเป็น (n−1) ครั้ง

เพราะคูณ 3 ทุกครั้ง จึงเป็นแบบเรขาคณิตที่มีอัตราส่วนร่วมเท่ากับ 3 ได้ a₄=2×3³=54 เขียนไล่ไปทีละพจน์ก็ได้ 2 ไป 6 ไป 18 ไป 54 การคูณ 3 ไป 4 ครั้งจนได้ 162 เกิดจากนับเลขชี้กำลังผิด

การอุปนัยมีสองขั้นตอน คือขั้นที่หนึ่ง แสดงว่าเป็นจริงเมื่อ n=1 และขั้นที่สอง สมมติว่าเป็นจริงเมื่อ n=k แล้วแสดงว่าเป็นจริงเมื่อ n=k+1 ให้นึกภาพโดมิโนที่ต้องล้มแผ่นแรกก่อน แล้วแสดงว่าเมื่อแผ่นใดล้ม แผ่นถัดไปก็ล้มด้วย ทั้งสองขั้นตอนจำเป็นทั้งคู่

จากสมการลักษณะเฉพาะ α=2α+1 ได้ α=−1 จัดรูปเป็น aₙ₊₁+1=2(aₙ+1) จะเห็นว่า {aₙ+1} เป็นลำดับเรขาคณิตที่มีพจน์แรกเท่ากับ 2 และอัตราส่วนร่วมเท่ากับ 2 จึงมี aₙ+1=2ⁿ ดังนั้น aₙ=2ⁿ−1 ตรวจได้จริงว่าลำดับเป็น 1, 3, 7, 15, 31, … ส่วน 2ⁿ⁻¹ เมื่อ n=2 จะได้ 2 ซึ่งไม่ตรงกับ a₂=3