Șiruri (matematică B, programa japoneză)

Avem aₙ=a₁+(n−1)d=3+(n−1)·4=4n−1. Este util să se verifice că pentru n=1 se obține a₁=3. Varianta 4n+3 este greșeala tipică de a aduna rația de n ori în loc de (n−1) ori: pentru n=1 ea dă 7, ceea ce nu corespunde primului termen.

Avem a₁₀=100+(10−1)×(−7)=100−63=37. Greșeala tipică este adunarea rației de 10 ori, care dă 100−70=30. Rația se adună de (n−1)=9 ori.

Suma unei progresii aritmetice este primul termen plus ultimul, înmulțit cu numărul de termeni și împărțit la 2: (1+100)×100÷2=5050. Uitarea împărțirii la 2 dă 10100. Valoarea 4950 este suma numerelor de la 1 la 99.

Al 10-lea termen este 2+9×3=29, iar suma este 10×(2+29)/2=155. Dacă ultimul termen este luat greșit ca 2+10×3=32, se obține 10×(2+32)/2=170. Formula Sₙ=n{2a₁+(n−1)d}/2=5×(4+27)=155 dă același rezultat.

Din a₇−a₃=4d=12 rezultă d=3, iar a₁=10−2×3=4, deci a₂₀=4+19×3=61. Se poate porni și de la un termen intermediar: a₂₀=a₇+13d=22+39=61. Varianta 64 provine din folosirea lui a₁+20d=4+60, adică din înlocuirea lui (n−1) cu n, 58 din confuzia care ia primul termen egal cu 1, iar 67 din tratarea lui a₃ drept prim termen și calculul 10+19×3.

Avem aₙ=20−3(n−1)=23−3n, iar aₙ≧0 ⇔ n≦7.67, deci termenii pozitivi merg până la al 7-lea, unde a₇=2. Atunci S₇=7×(20+2)/2=77. Din momentul în care se adaugă termeni negativi suma scade, deci maximul se atinge după adunarea tuturor termenilor pozitivi. Valoarea 70 apare când se adună doar până la al 5-lea termen, 80 când se ia greșit a₈=0 și se calculează S₈=8(20+0)/2, iar 76 este S₈, obținut adunând și termenul negativ a₈=−1.

Din relația termenului mijlociu, 2x=5+13, rezultă x=9: termenul din mijloc este media capetelor, (5+13)/2. Valoarea √65 provine din confuzia cu media geometrică, unde s-ar scrie x²=65.

Multiplii lui 3 sunt 3, 6, …, 99, adică 33 de numere, iar suma este 33×(3+99)/2=33×51=1683. Se poate calcula și ca 3×(1+2+…+33)=3×561=1683. Numărul de termeni nu trebuie greșit ca 32 sau 34, fiindcă 99÷3=33.

Pentru n≧2 avem aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁=(n²+2n)−{(n−1)²+2(n−1)}=2n+1. Cum și a₁=S₁=3 coincide cu 2×1+1=3, formula aₙ=2n+1 este valabilă pentru toți n. Varianta 2n−1 provine din confuzia cu cazul Sₙ=n².

Avem a₅=3×2⁵⁻¹=3×2⁴=3×16=48. Greșeala tipică este folosirea exponentului 5 și calculul 3×2⁵=96. Înmulțirea se face de (n−1)=4 ori.

Avem aₙ=a₁·rⁿ⁻¹=3·2ⁿ⁻¹, iar pentru n=1 se verifică a₁=3. Expresia 3·2ⁿ dă 6 pentru n=1, ceea ce nu corespunde primului termen. Atenție și la varianta 2·3ⁿ⁻¹, în care primul termen și rația au fost inversate.

Avem S₁₀=(2¹⁰−1)/(2−1)=1024−1=1023. Pentru rația 2 se poate raționa și ca dublul ultimului termen minus primul termen, adică 2⁹×2−1. Valoarea 1024 este chiar 2¹⁰, iar 511 este suma primilor 9 termeni.

Avem S₅=2×(3⁵−1)/(3−1)=2×242/2=242, ceea ce se verifică și direct: 2+6+18+54+162=242. Nu trebuie uitat nici termenul −1 din 3⁵−1, nici împărțirea la (r−1) de la numitor, a cărei omitere duce la 484.

Din relația termenului mijlociu, x²=2×8=16, rezultă x=±4: funcționează atât rația 2, cu șirul 2, 4, 8, cât și rația −2, cu șirul 2, −4, 8, deci valoarea pozitivă 4 singură nu este suficientă. Valoarea 5 provine din confuzia cu media aritmetică, (2+8)/2.

Înlocuind n=10 în Σk=n(n+1)/2 obținem 10×11/2=55. Uitarea împărțirii la 2 dă 110. Valoarea 45 este suma de la 1 la 9, deci trebuie citită cu atenție limita superioară.

Înlocuind n=6 în Σk²=n(n+1)(2n+1)/6 obținem 6×7×13/6=91, ceea ce se verifică direct: 1+4+9+16+25+36=91. Valoarea 55 corespunde lui n=5, iar 441=21² provine din confuzia cu Σk³=(Σk)².

Avem 2Σk+Σ1=2×n(n+1)/2+n=n²+n+n=n²+2n. Dacă se uită termenul Σ1=n, se obține n²+n. Este util să se verifice pentru n=1, unde rezultatul trebuie să fie 3, adică 2×1+1.

Dezvoltând k(k+1)=k²+k obținem Σk²+Σk=385+55=440, folosind Σk²=10×11×21/6=385 și Σk=55 pentru n=10. Valoarea 385 apare când se calculează doar Σk². Procedeul standard este dezvoltarea și reducerea la formulele cunoscute.

Diferențele succesive sunt 1, 2, 3, 4, adică șirul numerelor naturale, deci următoarea diferență este 5 și a₆=12+5=17. Când regula șirului inițial nu se vede, primul pas este examinarea diferențelor dintre termenii consecutivi.

Diferențele fiind bₖ=k, pentru n≧2 avem aₙ=2+Σₖ₌₁ⁿ⁻¹ k=2+(n−1)n/2=(n²−n+4)/2, formulă valabilă și pentru n=1, unde dă 4/2=2. Verificarea se poate face cu n=2, unde trebuie să se obțină 3; expresia (n²+n+2)/2 dă 4 pentru n=2, deci este greșită.

Descompunând în fracții simple, 1/(k(k+1))=1/k−1/(k+1), suma devine (1−1/2)+(1/2−1/3)+…+(1/n−1/(n+1))=1−1/(n+1)=n/(n+1). Termenii intermediari se reduc între ei și rămân doar primul și ultimul.

La fiecare pas se adaugă 3, deci șirul este o progresie aritmetică de rație 3 și a₁₀=1+(10−1)×3=28, iar termenul general este aₙ=3n−2. Adunarea lui 3 de 10 ori dă 31 și provine din folosirea lui n în loc de (n−1).

La fiecare pas se înmulțește cu 3, deci șirul este o progresie geometrică de rație 3 și a₄=2×3³=54; scriind termenii pe rând obținem 2→6→18→54. Înmulțirea cu 3 de 4 ori dă 162 și provine dintr-o numărare greșită a exponentului.

Inducția are două etape: mai întâi se arată că propoziția este adevărată pentru n=1, iar apoi, presupunând-o adevărată pentru n=k, se arată că este adevărată și pentru n=k+1. Imaginea potrivită este cea a pieselor de domino: se răstoarnă prima piesă și se arată că, oricare ar fi piesa care cade, cade și următoarea, deci ambele etape sunt necesare.

Din ecuația caracteristică α=2α+1 rezultă α=−1. Scriind relația sub forma aₙ₊₁+1=2(aₙ+1), șirul {aₙ+1} este o progresie geometrică cu primul termen 2 și rația 2, deci aₙ+1=2ⁿ și aₙ=2ⁿ−1. Într-adevăr, termenii sunt 1, 3, 7, 15, 31, …. Expresia 2ⁿ⁻¹ dă 2 pentru n=2, ceea ce nu corespunde lui a₂=3.