数列

aₙ=a₁+(n−1)d=3+(n−1)·4=4n−1。可以验证 n=1 时 a₁=3。4n+3 是把公差加了 n 次（把 (n−1) 写成 n）的典型错误，它在 n=1 时为 7，与首项不符。

a₁₀=100+(10−1)×(−7)=100−63=37。把公差加了 10 次、写成 100−70=30 是典型错误。要加的是 (n−1)=9 次。

等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2=(1+100)×100÷2=5050。忘了除以 2 就会得到 10100。4950 是从 1 加到 99 的和。

第 10 项是 2+9×3=29。和=10×(2+29)/2=155。把末项误算成 2+10×3=32，就会得到 10×(2+32)/2=170。310 是忘了除以 2 的值，145 是漏掉首项、只算 10×29/2 的值。用公式 Sₙ=n{2a₁+(n−1)d}/2=5×(4+27)=155 也一样。

由 a₇−a₃=4d=12 得 d=3。a₁=10−2×3=4。a₂₀=4+19×3=61。也可以从中间的项数起：a₂₀=a₇+13d=22+39=61。64 是写成 a₂₀=a₁+20d=4+60、把 (n−1) 当成 n 的错误，58 是把首项弄成 1 的错误，67 是把 a₃ 直接当作首项、算成 10+19×3 的错误。

aₙ=20−3(n−1)=23−3n。aₙ≧0 ⇔ n≦7.67，所以正项到第 7 项（a₇=2）为止。S₇=7×(20+2)/2=77。一旦开始加负项，和就会减小，所以把正项全部加完的地方就是最大值。70 是只加到第 5 项的错误，80 是误以为 a₈=0、算成 S₈=8(20+0)/2 的错误，76 是把负项 a₈=−1 也加进去的 S₈。

由等差中项的关系 2x=5+13 得 x=9。中间项等于两端的平均 (5+13)/2。√65 是与等比中项（x²=65）混淆的结果。

3 的倍数是 3, 6, …, 99，共 33 个。和=33×(3+99)/2=33×51=1683。也可以算 3×(1+2+…+33)=3×561=1683。注意别把项数数成 32 个或 34 个（99÷3=33 个）。

当 n≧2 时 aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁=(n²+2n)−{(n−1)²+2(n−1)}=2n+1。而 a₁=S₁=3 也与 2×1+1=3 一致，所以对所有 n 都有 aₙ=2n+1。2n−1 是与 Sₙ=n² 的情形混淆的错误。

a₅=3×2⁵⁻¹=3×2⁴=3×16=48。把指数当成 5、写成 3×2⁵=96 是典型错误。要乘的是 (n−1)=4 次。

aₙ=a₁·rⁿ⁻¹=3·2ⁿ⁻¹。可以验证 n=1 时 a₁=3。3·2ⁿ 在 n=1 时为 6，与首项不符。也要注意把首项与公比弄反的 2·3ⁿ⁻¹。

S₁₀=(2¹⁰−1)/(2−1)=1024−1=1023。公比为 2 时也可以想成“末项的 2 倍−首项”，即 2⁹×2−1。1024 是 2¹⁰ 本身，511 是到第 9 项为止的和。

S₅=2×(3⁵−1)/(3−1)=2×242/2=242。实际上 2+6+18+54+162=242。注意别在算 3⁵−1 时忘了 −1，也别忘了除以分母 (r−1) 而得出 484。243 是 3⁵ 本身，80 是只加到第 4 项的 2+6+18+54。

由等比中项的关系 x²=2×8=16 得 x=±4。公比为 2（2, 4, 8）与公比为 −2（2, −4, 8）都成立，所以只取正的 4 是不够的。5 是与等差中项 (2+8)/2 混淆的结果。

把 n=10 代入 Σk=n(n+1)/2 得 10×11/2=55。忘了除以 2 就会得到 110，而 100 则是按 10×10 误算的值。45 是从 1 到 9 的和，要注意上限别弄错。

把 n=6 代入 Σk²=n(n+1)(2n+1)/6 得 6×7×13/6=91。实际上 1+4+9+16+25+36=91。55 是 n=5 时的值，441=21² 是与 Σk³=(Σk)² 混淆的结果，90 只比正确值 91 少 1，多半是某一项算错造成的。

2Σk+Σ1=2×n(n+1)/2+n=n²+n+n=n²+2n。忘了加上 Σ1=n 就会得到 n²+n。可以代入 n=1 验算是否为 3（=2×1+1）。

把 k(k+1) 展开成 k²+k，则 Σk²+Σk=385+55=440。这里用到 Σk²(n=10)=10×11×21/6=385、Σk(n=10)=55。385 是只算到 Σk² 就停下的错误，495 是把 Σk 误算成 110（忘了除以 2）后相加的值，430 是把 Σk 取成 1 到 9 的和 45 后相加的值。展开后化归到公式是常规做法。

相邻两项相减得 1, 2, 3, 4，正好是自然数列，所以下一个差是 5。a₆=12+5=17。看不出原数列规律时，先考察相邻两项之差是常规做法。

因为相邻两项之差为 bₖ=k，所以当 n≧2 时 aₙ=2+Σₖ₌₁ⁿ⁻¹ k=2+(n−1)n/2=(n²−n+4)/2。n=1 时也有 4/2=2，成立。可以代入 n=2 看是否得到 3 来验算（(n²+n+2)/2 在 n=2 时为 4，所以不对）。

把它裂项成 1/(k(k+1))=1/k−1/(k+1)，则和为 (1−1/2)+(1/2−1/3)+…+(1/n−1/(n+1))=1−1/(n+1)=n/(n+1)。中间的项互相抵消，只剩下最前与最后。

每次加 3，属于等差型，即公差为 3 的等差数列。a₁₀=1+(10−1)×3=28。通项是 aₙ=3n−2。把 3 加了 10 次得到 31，是把 (n−1) 次误当成 n 次。

每次乘 3，属于等比型，即公比为 3 的等比数列。a₄=2×3³=54。依次写出来也是 2→6→18→54。把 3 乘了 4 次得到 162，是指数数错了。

归纳法分两步：①证明 n=1 时成立；②假设 n=k 时成立，并由此证明 n=k+1 时也成立。可以想象成推倒多米诺骨牌：先推倒第 1 张，再说明任意一张倒下时下一张也会倒下，两步缺一不可。

由特征方程 α=2α+1 得 α=−1。变形为 aₙ₊₁+1=2(aₙ+1)，可见 {aₙ+1} 是首项为 2、公比为 2 的等比数列，即 aₙ+1=2ⁿ。所以 aₙ=2ⁿ−1。实际算出 1, 3, 7, 15, 31, …，与之相符。2ⁿ⁻¹ 在 n=2 时为 2，与 a₂=3 不符。