Suites (mathématiques B, programme japonais)

aₙ=a₁+(n−1)d=3+(n−1)·4=4n−1. Il est utile de vérifier que n=1 redonne a₁=3. La réponse 4n+3 correspond à l'erreur classique d'ajouter la raison n fois au lieu de (n−1) fois : pour n=1 elle donne 7, ce qui ne correspond pas au premier terme.

a₁₀=100+(10−1)×(−7)=100−63=37. L'erreur typique consiste à ajouter la raison 10 fois et à écrire 100−70=30. On l'ajoute (n−1)=9 fois.

La somme d'une suite arithmétique vaut premier terme plus dernier terme, multiplié par le nombre de termes et divisé par 2 : (1+100)×100÷2=5050. Oublier la division par 2 donne 10100. La valeur 4950 est la somme de 1 à 99.

Le dixième terme vaut 2+9×3=29, donc la somme vaut 10×(2+29)/2=155. Prendre à tort 2+10×3=32 comme dernier terme donne 10×(2+32)/2=170. La formule Sₙ=n{2a₁+(n−1)d}/2=5×(4+27)=155 donne le même résultat.

De a₇−a₃=4d=12 on tire d=3, puis a₁=10−2×3=4 et a₂₀=4+19×3=61. On peut aussi partir d'un terme intermédiaire : a₂₀=a₇+13d=22+39=61. La réponse 64 vient d'avoir écrit a₂₀=a₁+20d=4+60, en prenant n au lieu de (n−1) ; 58 vient d'une erreur sur le premier terme, pris égal à 1, et 67 d'avoir traité a₃ comme le premier terme en calculant 10+19×3.

aₙ=20−3(n−1)=23−3n, et aₙ≧0 équivaut à n≦7.67 : les termes positifs vont jusqu'au septième, avec a₇=2. Alors S₇=7×(20+2)/2=77. Dès que l'on ajoute des termes négatifs la somme diminue, donc le maximum est atteint après avoir ajouté tous les termes positifs. La réponse 70 s'arrête au cinquième terme, 80 suppose à tort a₈=0 et calcule S₈=8(20+0)/2, et 76 est S₈, obtenue en ajoutant le terme négatif a₈=−1.

La relation du terme central donne 2x=5+13, donc x=9 : le terme du milieu est la moyenne des deux autres, (5+13)/2. La réponse √65 vient d'une confusion avec le terme central d'une suite géométrique, qui vérifierait x²=65.

Les multiples de 3 sont 3, 6, …, 99, soit 33 termes. La somme vaut 33×(3+99)/2=33×51=1683. Le calcul 3×(1+2+…+33)=3×561=1683 donne le même résultat. Il ne faut pas se tromper sur le nombre de termes, ni 32 ni 34, puisque 99÷3=33.

Pour n≧2, aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁=(n²+2n)−{(n−1)²+2(n−1)}=2n+1. Comme a₁=S₁=3 coïncide avec 2×1+1=3, on a aₙ=2n+1 pour tout n. La réponse 2n−1 vient d'une confusion avec le cas Sₙ=n².

a₅=3×2⁵⁻¹=3×2⁴=3×16=48. L'erreur typique consiste à prendre l'exposant 5 et à écrire 3×2⁵=96. On multiplie (n−1)=4 fois.

aₙ=a₁·rⁿ⁻¹=3·2ⁿ⁻¹. On vérifie que n=1 redonne a₁=3. L'expression 3·2ⁿ donne 6 pour n=1 et ne correspond pas au premier terme. Attention aussi à 2·3ⁿ⁻¹, qui intervertit premier terme et raison.

S₁₀=(2¹⁰−1)/(2−1)=1024−1=1023. Pour une raison égale à 2, on peut aussi voir la somme comme le double du dernier terme moins le premier : 2⁹×2−1. La valeur 1024 est 2¹⁰ lui-même, et 511 est la somme des 9 premiers termes.

S₅=2×(3⁵−1)/(3−1)=2×242/2=242, ce que confirme le calcul direct 2+6+18+54+162=242. Il ne faut ni oublier le −1 dans 3⁵−1, ni omettre la division par (r−1), qui conduirait à 484.

La relation du terme central donne x²=2×8=16, donc x=±4. Les deux cas conviennent : la raison 2 donne 2, 4, 8 et la raison −2 donne 2, −4, 8 ; se limiter à la valeur positive 4 est insuffisant. La réponse 5 vient d'une confusion avec le terme central d'une suite arithmétique, égal à (2+8)/2.

En reportant n=10 dans Σk=n(n+1)/2, on obtient 10×11/2=55. Oublier la division par 2 donne 110. La valeur 45 est la somme de 1 à 9 : attention à la borne supérieure.

En reportant n=6 dans Σk²=n(n+1)(2n+1)/6, on obtient 6×7×13/6=91, ce que confirme le calcul 1+4+9+16+25+36=91. La valeur 55 correspond à n=5, et 441=21² vient d'une confusion avec la relation Σk³=(Σk)².

2Σk+Σ1=2×n(n+1)/2+n=n²+n+n=n²+2n. Oublier d'ajouter Σ1=n donne n²+n. On vérifie en prenant n=1, ce qui doit donner 3, soit 2×1+1.

En développant k(k+1)=k²+k, la somme vaut Σk²+Σk=385+55=440, avec Σk²=10×11×21/6=385 et Σk=55 pour n=10. La réponse 385 s'arrête à Σk². La méthode habituelle consiste à développer pour se ramener aux formules connues.

Les différences successives donnent 1, 2, 3, 4, la suite des entiers naturels : la différence suivante vaut donc 5 et a₆=12+5=17. Lorsque la règle d'une suite n'apparaît pas, la méthode habituelle est d'examiner d'abord les différences entre termes consécutifs.

La suite des différences est bₖ=k, donc pour n≧2 : aₙ=2+Σₖ₌₁ⁿ⁻¹ k=2+(n−1)n/2=(n²−n+4)/2. La formule vaut aussi pour n=1, puisqu'elle donne 4/2=2. On vérifie avec n=2, qui doit donner 3, alors que (n²+n+2)/2 donne 4 et ne convient pas.

La décomposition 1/(k(k+1))=1/k−1/(k+1) donne (1−1/2)+(1/2−1/3)+…+(1/n−1/(n+1))=1−1/(n+1)=n/(n+1). Les termes intermédiaires se compensent et seuls le premier et le dernier subsistent.

On ajoute 3 à chaque étape : c'est une suite arithmétique de raison 3. a₁₀=1+(10−1)×3=28, et le terme général est aₙ=3n−2. Ajouter 3 dix fois et répondre 31 revient à prendre n au lieu de (n−1).

On multiplie par 3 à chaque étape : c'est une suite géométrique de raison 3. a₄=2×3³=54, ce que confirme l'écriture des termes : 2, puis 6, puis 18, puis 54. Multiplier par 3 quatre fois et répondre 162 revient à se tromper dans le décompte des exposants.

Une démonstration par récurrence comporte deux étapes : d'abord établir la proposition pour n=1, puis, en supposant qu'elle est vraie pour n=k, la démontrer pour n=k+1. L'image est celle des dominos : on fait tomber le premier et l'on montre que chacun fait tomber le suivant ; les deux étapes sont nécessaires.

L'équation caractéristique α=2α+1 donne α=−1. La transformation aₙ₊₁+1=2(aₙ+1) montre que la suite {aₙ+1} est géométrique de premier terme 2 et de raison 2, donc aₙ+1=2ⁿ et aₙ=2ⁿ−1, ce qui correspond bien à 1, 3, 7, 15, 31, …. L'expression 2ⁿ⁻¹ donne 2 pour n=2 et ne correspond pas à a₂=3.