數列（數學B，日本高中與數學Ⅱ並行的選修領域）

aₙ=a₁+(n−1)d=3+(n−1)·4=4n−1。可以用 n=1 時 a₁=3 來確認。4n+3 是把 d 加了 n 次（把 (n−1) 寫成 n）的典型錯誤，n=1 時會得到 7，與首項不合。

a₁₀=100+(10−1)×(−7)=100−63=37。把公差加了 10 次、算成 100−70=30 是典型錯誤，要加的是 (n−1)=9 次。

等差數列的和＝（首項＋末項）×項數÷2＝(1+100)×100÷2=5050。忘了除以 2 就會得到 10100。4950 則是 1 到 99 的和。

第 10 項是 2+9×3=29，和＝10×(2+29)/2=155。若把末項誤成 2+10×3=32，就會得到 10×(2+32)/2=170。用公式 Sₙ=n{2a₁+(n−1)d}/2=5×(4+27)=155 也一樣。310 是忘了除以 2；145 則是把末項誤成 27、算成 10×(2+27)/2 的值。

a₇−a₃=4d=12，所以 d=3；a₁=10−2×3=4，故 a₂₀=4+19×3=61。也可以從中間的項算起：a₂₀=a₇+13d=22+39=61。64 是寫成 a₂₀=a₁+20d=4+60、把 (n−1) 誤成 n；58 是把首項弄錯成 1；67 則是把 a₃ 直接當首項、算成 10+19×3。

aₙ=20−3(n−1)=23−3n。aₙ≧0 等價於 n≦7.67，所以正項到第 7 項（a₇=2）為止。S₇=7×(20+2)/2=77。一旦開始加負項，和就會變小，所以把所有正項加完的地方就是最大。70 是只加到第 5 項；80 是誤以為 a₈=0、算成 S₈=8(20+0)/2；76 則是連負項 a₈=−1 也加進去的 S₈。

由等差中項的關係 2x=5+13 得 x=9。中間那一項就是兩端的平均 (5+13)/2。√65 是與等比中項（x²=65）混淆。

3 的倍數是 3, 6, …, 99 共 33 個，和＝33×(3+99)/2=33×51=1683。用 3×(1+2+…+33)=3×561=1683 也可以。項數別數錯成 32 個或 34 個（99÷3=33 個）。

當 n≧2 時 aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁=(n²+2n)−{(n−1)²+2(n−1)}=2n+1。而 a₁=S₁=3 也與 2×1+1=3 相符，所以對所有 n 都有 aₙ=2n+1。2n−1 是與 Sₙ=n² 的情形混淆。

a₅=3×2⁵⁻¹=3×2⁴=3×16=48。把指數寫成 5、算成 3×2⁵=96 是典型錯誤，要乘的是 (n−1)=4 次。

aₙ=a₁·rⁿ⁻¹=3·2ⁿ⁻¹。可以用 n=1 時 a₁=3 來確認。3·2ⁿ 在 n=1 時是 6，與首項不合。也要小心把首項與公比對調的 2·3ⁿ⁻¹。

S₁₀=(2¹⁰−1)/(2−1)=1024−1=1023。公比為 2 時，也可以想成「末項的 2 倍減首項」＝2⁹×2−1。1024 是 2¹⁰ 本身，511 則是到第 9 項為止的和。

S₅=2×(3⁵−1)/(3−1)=2×242/2=242。實際上 2+6+18+54+162=242。計算 3⁵−1 時別忘了 −1，也別忘了除以分母的 (r−1) 而得到 484。243 是 3⁵ 本身；80 則是只加到第 4 項的和 2+6+18+54。

由等比中項的關係 x²=2×8=16 得 x=±4。公比 2（2, 4, 8）與公比 −2（2, −4, 8）都成立，所以只寫正的 4 並不完整。5 是與等差中項 (2+8)/2 混淆。

把 n=10 代入 Σk=n(n+1)/2 得 10×11/2=55。忘了除以 2 就會得到 110。45 是 1 到 9 的和，要注意上限別看錯。100 是算成 10×10 的值。

把 n=6 代入 Σk²=n(n+1)(2n+1)/6 得 6×7×13/6=91。實際上 1+4+9+16+25+36=91。55 是 n=5 的情形；441=21² 則是與 Σk³=(Σk)² 混淆。90 並不是由公式得到的值，和正確的 91 只差 1，很容易看漏。

2Σk+Σ1=2×n(n+1)/2+n=n²+n+n=n²+2n。忘了加 Σ1=n 就會得到 n²+n。代入 n=1 檢查是否為 3（＝2×1+1）即可驗算。

把 k(k+1)=k²+k 展開，得 Σk²+Σk=385+55=440。用到 Σk²(n=10)=10×11×21/6=385 與 Σk(n=10)=55。385 是只算到 Σk² 就停下的錯誤。展開後化到公式，是標準做法。495 是把 Σk 多加了一次、算成 385+110；430 則是誤用 n=9 的 Σk=45、算成 385+45。

取相鄰兩項的差得 1, 2, 3, 4，正是自然數的排列，所以下一個差是 5，故 a₆=12+5=17。看不出原數列的規律時，先看相鄰兩項的差是標準做法。

相鄰兩項的差為 bₖ=k，所以當 n≧2 時 aₙ=2+Σₖ₌₁ⁿ⁻¹ k=2+(n−1)n/2=(n²−n+4)/2，而 n=1 時也有 4/2=2，同樣成立。代入 n=2 看是否為 3 即可驗算（(n²+n+2)/2 在 n=2 時是 4，所以不對）。

部分分式分解得 1/(k(k+1))=1/k−1/(k+1)，於是和為 (1−1/2)+(1/2−1/3)+…+(1/n−1/(n+1))=1−1/(n+1)=n/(n+1)。中間各項互相抵消，只剩下最前與最後。

每次都加 3，屬於等差型，是公差 3 的等差數列。a₁₀=1+(10−1)×3=28，一般項為 aₙ=3n−2。把 3 加了 10 次而得到 31，是把 (n−1) 次誤成 n 次。

每次都乘 3，屬於等比型，是公比 3 的等比數列。a₄=2×3³=54。依序寫出來也是 2→6→18→54。把 3 乘了 4 次而得到 162，是指數數錯了。

歸納法分兩個步驟：① 證明 n=1 時成立；② 假設 n=k 時成立，證明 n=k+1 時也成立。可以想成推倒骨牌的第一張，再說明任何一張倒下時下一張也會倒，① 與 ② 兩者缺一不可。

由特徵方程式 α=2α+1 得 α=−1。變形成 aₙ₊₁+1=2(aₙ+1)，可知 {aₙ+1} 是首項 2、公比 2 的等比數列，所以 aₙ+1=2ⁿ，即 aₙ=2ⁿ−1。實際上是 1, 3, 7, 15, 31, …，相符。2ⁿ⁻¹ 在 n=2 時是 2，與 a₂=3 不合。