Sucesiones (Matemáticas B)

aₙ=a₁+(n−1)d=3+(n−1)·4=4n−1. Conviene comprobar que n=1 da a₁=3. La opción 4n+3 es el error típico de sumar d n veces en lugar de (n−1) veces; con n=1 da 7, que no coincide con el primer término.

a₁₀=100+(10−1)×(−7)=100−63=37. Sumar la diferencia 10 veces para obtener 100−70=30 es el error típico; se suma (n−1)=9 veces.

La suma de una sucesión aritmética es (primer término + último término) × número de términos ÷ 2 = (1+100)×100÷2=5050. Olvidar dividir entre 2 da 10100. El valor 4950 es la suma de 1 a 99.

El 10.º término es 2+9×3=29, así que la suma es 10×(2+29)/2=155. Tomar por error el último término como 2+10×3=32 da 10×(2+32)/2=170. La fórmula Sₙ=n{2a₁+(n−1)d}/2=5×(4+27)=155 da lo mismo. Olvidar dividir entre 2 da 310, y tomar el último término como 9×3=27 sin sumar el primer término da 10×(2+27)/2=145.

De a₇−a₃=4d=12 se obtiene d=3, y a₁=10−2×3=4, así que a₂₀=4+19×3=61. También se puede contar desde un término intermedio: a₂₀=a₇+13d=22+39=61. La opción 64 sale de a₂₀=a₁+20d=4+60, que usa n en lugar de (n−1); 58 toma por error el primer término como 1; y 67 trata a₃ como primer término y calcula 10+19×3.

aₙ=20−3(n−1)=23−3n, y aₙ≧0 equivale a n≦7.67, así que los términos se mantienen positivos hasta el 7.º, donde a₇=2. Entonces S₇=7×(20+2)/2=77. Una vez que se suman términos negativos la suma disminuye, así que el máximo está donde se han sumado todos los términos positivos. La opción 70 se detiene tras el 5.º término, 80 toma por error a₈=0 y calcula S₈=8(20+0)/2, y 76 es S₈, que incluye el término negativo a₈=−1.

La relación del medio aritmético 2x=5+13 da x=9. El término central es la media de los dos extremos, (5+13)/2. El valor √65 lo confunde con el medio geométrico, donde x²=65.

Los múltiplos de 3 son 3, 6, …, 99, es decir, 33 términos. La suma es 33×(3+99)/2=33×51=1683. También puede calcularse 3×(1+2+…+33)=3×561=1683. No cuente mal el número de términos como 32 o 34, ya que 99÷3=33.

Para n≧2 se tiene aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁=(n²+2n)−{(n−1)²+2(n−1)}=2n+1. Además, a₁=S₁=3 coincide con 2×1+1=3, así que aₙ=2n+1 para todo n. La opción 2n−1 lo confunde con el caso Sₙ=n².

a₅=3×2⁵⁻¹=3×2⁴=3×16=48. Usar el exponente 5 para obtener 3×2⁵=96 es el error típico; la razón se aplica (n−1)=4 veces.

aₙ=a₁·rⁿ⁻¹=3·2ⁿ⁻¹. Compruebe que n=1 da a₁=3. La expresión 3·2ⁿ da 6 con n=1, que no coincide con el primer término. Cuidado también con 2·3ⁿ⁻¹, que intercambia el primer término y la razón.

S₁₀=(2¹⁰−1)/(2−1)=1024−1=1023. Con razón 2, también puede verse como el doble del último término menos el primer término, 2⁹×2−1. El valor 1024 es el propio 2¹⁰, y 511 es la suma de los 9 primeros términos.

S₅=2×(3⁵−1)/(3−1)=2×242/2=242, y en efecto 2+6+18+54+162=242. No olvide el −1 al calcular 3⁵−1, ni olvide dividir entre el denominador (r−1), lo que daría 484. El valor 243 es el propio 3⁵, y 80 es solo la suma de los 4 primeros términos.

La relación del medio geométrico x²=2×8=16 da x=±4. Tanto la razón 2, que da 2, 4, 8, como la razón −2, que da 2, −4, 8, son válidas, así que el valor positivo 4 por sí solo no basta. El valor 5 lo confunde con el medio aritmético (2+8)/2.

Al sustituir n=10 en Σk=n(n+1)/2 se obtiene 10×11/2=55. Olvidar dividir entre 2 da 110. El valor 45 es la suma de 1 a 9, así que fíjese en el límite superior, y el valor 100 sale de calcular 10×10.

Al sustituir n=6 en Σk²=n(n+1)(2n+1)/6 se obtiene 6×7×13/6=91, y en efecto 1+4+9+16+25+36=91. El valor 55 es el caso n=5, y 441=21² lo confunde con Σk³=(Σk)². El valor 90 no sale de la fórmula en absoluto; sumando con cuidado los seis cuadrados se obtiene 91.

2Σk+Σ1=2×n(n+1)/2+n=n²+n+n=n²+2n. Olvidar sumar Σ1=n deja n²+n. Vale la pena sustituir n=1 para comprobar que se obtiene 3, que es 2×1+1.

Desarrolle k(k+1)=k²+k, así que la suma es Σk²+Σk=385+55=440, usando Σk²=10×11×21/6=385 y Σk=55 con n=10. El valor 385 se queda solo en Σk², 495 suma dos veces Σk como 385+110, y 430 usa Σk para n=9, que es 45, lo que da 385+45. El enfoque habitual es desarrollar y reducir a las fórmulas conocidas.

Al tomar diferencias se obtiene 1, 2, 3, 4, los números naturales, así que la siguiente diferencia es 5 y a₆=12+5=17. Cuando no se ve la regla de una sucesión, el primer paso habitual es examinar las diferencias entre términos consecutivos.

Las diferencias son bₖ=k, así que para n≧2 se tiene aₙ=2+Σₖ₌₁ⁿ⁻¹ k=2+(n−1)n/2=(n²−n+4)/2. También se cumple con n=1, ya que 4/2=2. Puede comprobarlo sustituyendo n=2 y viendo si se obtiene 3; la expresión (n²+n+2)/2 da 4 con n=2 y, por tanto, es incorrecta.

Al descomponer en fracciones parciales como 1/(k(k+1))=1/k−1/(k+1), la suma queda (1−1/2)+(1/2−1/3)+…+(1/n−1/(n+1))=1−1/(n+1)=n/(n+1). Los términos intermedios se cancelan y solo quedan el primero y el último.

Sumar 3 cada vez la convierte en una sucesión aritmética de diferencia 3, así que a₁₀=1+(10−1)×3=28, y el término general es aₙ=3n−2. Sumar 3 diez veces para obtener 31 usa n en lugar de (n−1).

Multiplicar por 3 cada vez la convierte en una sucesión geométrica de razón 3, así que a₄=2×3³=54. Escribir los términos también da 2, luego 6, luego 18, luego 54. Multiplicar por 3 cuatro veces para obtener 162 cuenta mal el exponente.

La inducción tiene dos etapas: primero, que la proposición se cumple para n=1, y segundo, que suponerla para n=k permite demostrarla para n=k+1. Imagine que derriba la primera ficha de dominó y demuestra que cualquiera que caiga derriba la siguiente; ambas etapas son necesarias.

La ecuación característica α=2α+1 da α=−1. Al reescribir como aₙ₊₁+1=2(aₙ+1) se ve que {aₙ+1} es una sucesión geométrica con primer término 2 y razón 2, así que aₙ+1=2ⁿ y aₙ=2ⁿ−1. Esto coincide con los términos 1, 3, 7, 15, 31, …. La opción 2ⁿ⁻¹ da 2 con n=2, que no coincide con a₂=3.