Sequências (Matemática B)

aₙ=a₁+(n−1)d=3+(n−1)·4=4n−1. Vale a pena verificar que n=1 dá a₁=3. A opção 4n+3 é o erro típico de somar d n vezes em vez de (n−1) vezes; para n=1, ela dá 7, que não coincide com o primeiro termo.

a₁₀=100+(10−1)×(−7)=100−63=37. Somar a razão 10 vezes e obter 100−70=30 é o erro típico; ela é somada (n−1)=9 vezes.

A soma de uma progressão aritmética é (primeiro termo + último termo) × número de termos ÷ 2 = (1+100)×100÷2=5050. Esquecer de dividir por 2 dá 10100. O valor 4950 é a soma de 1 a 99.

O 10º termo é 2+9×3=29, então a soma é 10×(2+29)/2=155. Tomar por engano o último termo como 2+10×3=32 dá 10×(2+32)/2=170. A fórmula Sₙ=n{2a₁+(n−1)d}/2=5×(4+27)=155 dá o mesmo resultado. Esquecer de dividir por 2 dá 310, e tomar o último termo como 9×3=27 sem somar o primeiro termo dá 10×(2+27)/2=145.

De a₇−a₃=4d=12, obtemos d=3, e a₁=10−2×3=4, então a₂₀=4+19×3=61. Também é possível contar a partir de um termo intermediário: a₂₀=a₇+13d=22+39=61. A opção 64 vem de a₂₀=a₁+20d=4+60, que usa n em vez de (n−1); 58 toma por engano o primeiro termo como 1; e 67 trata a₃ como primeiro termo e calcula 10+19×3.

aₙ=20−3(n−1)=23−3n, e aₙ≧0 equivale a n≦7.67, então os termos continuam positivos até o 7º, em que a₇=2. Então S₇=7×(20+2)/2=77. Quando se somam termos negativos, a soma diminui, então o máximo ocorre quando todos os termos positivos já foram somados. A opção 70 para no 5º termo, 80 toma por engano a₈=0 e calcula S₈=8(20+0)/2, e 76 é S₈, que inclui o termo negativo a₈=−1.

A relação da média aritmética 2x=5+13 dá x=9. O termo do meio é a média dos dois extremos, (5+13)/2. O valor √65 confunde com a média geométrica, em que x²=65.

Os múltiplos de 3 são 3, 6, …, 99, ou seja, 33 termos. A soma é 33×(3+99)/2=33×51=1683. Também é possível calcular 3×(1+2+…+33)=3×561=1683. Não conte errado o número de termos como 32 ou 34, já que 99÷3=33.

Para n≧2, temos aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁=(n²+2n)−{(n−1)²+2(n−1)}=2n+1. Além disso, a₁=S₁=3 coincide com 2×1+1=3, então aₙ=2n+1 para todo n. A opção 2n−1 confunde com o caso Sₙ=n².

a₅=3×2⁵⁻¹=3×2⁴=3×16=48. Usar o expoente 5 e obter 3×2⁵=96 é o erro típico; a razão é aplicada (n−1)=4 vezes.

aₙ=a₁·rⁿ⁻¹=3·2ⁿ⁻¹. Verifique que n=1 dá a₁=3. A expressão 3·2ⁿ dá 6 para n=1, que não coincide com o primeiro termo. Cuidado também com 2·3ⁿ⁻¹, que troca o primeiro termo pela razão.

S₁₀=(2¹⁰−1)/(2−1)=1024−1=1023. Para razão 2, também é possível pensar como o dobro do último termo menos o primeiro termo, 2⁹×2−1. O valor 1024 é o próprio 2¹⁰, e 511 é a soma dos 9 primeiros termos.

S₅=2×(3⁵−1)/(3−1)=2×242/2=242 e, de fato, 2+6+18+54+162=242. Não esqueça o −1 ao calcular 3⁵−1, e não esqueça de dividir pelo denominador (r−1), o que daria 484. O valor 243 é o próprio 3⁵, e 80 é a soma apenas dos 4 primeiros termos.

A relação da média geométrica x²=2×8=16 dá x=±4. Tanto a razão 2, que dá 2, 4, 8, quanto a razão −2, que dá 2, −4, 8, funcionam, então o valor positivo 4 sozinho não basta. O valor 5 confunde com a média aritmética (2+8)/2.

Substituindo n=10 em Σk=n(n+1)/2, obtém-se 10×11/2=55. Esquecer de dividir por 2 dá 110. O valor 45 é a soma de 1 a 9, então atenção ao limite superior, e o valor 100 vem de calcular 10×10.

Substituindo n=6 em Σk²=n(n+1)(2n+1)/6, obtém-se 6×7×13/6=91 e, de fato, 1+4+9+16+25+36=91. O valor 55 é o caso n=5, e 441=21² confunde com Σk³=(Σk)². O valor 90 não vem da fórmula; somando com cuidado os seis quadrados, obtém-se 91.

2Σk+Σ1=2×n(n+1)/2+n=n²+n+n=n²+2n. Esquecer de somar Σ1=n deixa n²+n. Vale a pena substituir n=1 para verificar que se obtém 3, que é 2×1+1.

Expanda k(k+1)=k²+k; assim, a soma é Σk²+Σk=385+55=440, usando Σk²=10×11×21/6=385 e Σk=55 para n=10. O valor 385 para apenas em Σk², 495 soma o dobro de Σk, como 385+110, e 430 usa Σk para n=9, que é 45, obtendo 385+45. A abordagem padrão é expandir e reduzir às fórmulas conhecidas.

Calculando as diferenças, obtém-se 1, 2, 3, 4, os números naturais, então a próxima diferença é 5 e a₆=12+5=17. Quando o padrão de uma sequência não é visível, o primeiro passo padrão é examinar as diferenças entre termos vizinhos.

As diferenças são bₖ=k, então, para n≧2, temos aₙ=2+Σₖ₌₁ⁿ⁻¹ k=2+(n−1)n/2=(n²−n+4)/2. A fórmula também vale para n=1, já que 4/2=2. É possível verificar substituindo n=2 e vendo se o resultado é 3; a expressão (n²+n+2)/2 dá 4 para n=2 e, portanto, está errada.

Decompondo em frações parciais como 1/(k(k+1))=1/k−1/(k+1), a soma fica (1−1/2)+(1/2−1/3)+…+(1/n−1/(n+1))=1−1/(n+1)=n/(n+1). Os termos intermediários se cancelam e só restam o primeiro e o último.

Somar 3 a cada vez a torna uma progressão aritmética de razão 3, então a₁₀=1+(10−1)×3=28, e o termo geral é aₙ=3n−2. Somar 3 dez vezes e obter 31 usa n em vez de (n−1).

Multiplicar por 3 a cada vez a torna uma progressão geométrica de razão 3, então a₄=2×3³=54. Escrevendo os termos, também se obtém 2, depois 6, depois 18, depois 54. Multiplicar por 3 quatro vezes e obter 162 é contar errado o expoente.

A indução tem duas etapas: primeiro, que a proposição vale para n=1; segundo, que, supondo que ela vale para n=k, é possível mostrar que vale para n=k+1. Imagine derrubar a primeira peça de dominó e mostrar que qualquer peça que cai derruba a seguinte; as duas etapas são necessárias.

A equação característica α=2α+1 dá α=−1. Reescrevendo como aₙ₊₁+1=2(aₙ+1), vê-se que {aₙ+1} é uma progressão geométrica de primeiro termo 2 e razão 2, então aₙ+1=2ⁿ e aₙ=2ⁿ−1. Isso coincide com os termos 1, 3, 7, 15, 31, …. A opção 2ⁿ⁻¹ dá 2 para n=2, o que não coincide com a₂=3.