ہائی اسکول · ہائی اسکول ریاضی: باقاعدہ ٹیسٹ لیب
سوالات اور وضاحتیں اردو میں پڑھی جا سکتی ہیں۔ لیکچرز (وضاحتی مضامین) صرف جاپانی ورژن میں دستیاب ہیں۔
جاپانی ورژن (لیکچرز کے ساتھ) دیکھیں →
مثلث ABC میں AB=6، AC=4 اور BC=5 ہے۔ زاویہ A کا ناصف ضلع BC کو D پر ملتا ہے۔ BD کی لمبائی معلوم کریں۔
زاویے کے ناصف کی خاصیت سے BD:DC=AB:AC=6:4=3:2۔ اس لیے BD=BC×3/5=5×3/5=3۔ نسبت الٹی لے کر BD:DC=4:6 لکھنے سے BD=2 آتا ہے، جو دراصل DC کی لمبائی ہے۔ قطعہ BD، جو B کے قریب ہے، اس ضلع AB کے مطابق ہے جو B سے ملتا ہے۔
فرض کریں M مثلث ABC کے ضلع BC کا وسطی نقطہ ہے اور G مرکزِ ثقل ہے۔ اگر وسطانیہ AM کی لمبائی 9 ہو تو AG کی لمبائی معلوم کریں۔
مرکزِ ثقل وسطانیے کو راس کی طرف سے 2:1 کی نسبت میں تقسیم کرتا ہے، اس لیے AG:GM=2:1 اور AG=9×2/3=6۔ قیمت 3 دراصل GM کی لمبائی ہے، اور 9/2 مرکزِ ثقل کو وسطی نقطہ سمجھ کر نصف کرنے سے آتا ہے۔
مثلث کے تینوں اضلاع کے عمودی ناصف ایک ہی نقطے پر ملتے ہیں۔ اس نقطے کو کیا کہتے ہیں؟
تینوں عمودی ناصف جس نقطے پر ملتے ہیں وہ محیطی مرکز ہے۔ عمودی ناصف پر واقع نقطہ قطعے کے دونوں سروں سے مساوی فاصلے پر ہوتا ہے، اس لیے محیطی مرکز تینوں راسوں سے مساوی فاصلے پر ہوتا ہے اور محیطی دائرے کا مرکز ہوتا ہے۔ محصور مرکز اندرونی زاویوں کے ناصفوں سے، مرکزِ ثقل وسطانیوں سے، اور عمودی مرکز راسوں سے مقابل اضلاع پر گرائے گئے عمودوں سے بنتا ہے۔
مثلث کے تینوں اندرونی زاویوں کے ناصف ایک ہی نقطے پر ملتے ہیں، جو تینوں اضلاع سے مساوی فاصلے پر ہوتا ہے۔ اس نقطے کو کیا کہتے ہیں؟
اندرونی زاویوں کے ناصف جس نقطے پر ملتے ہیں وہ محصور مرکز ہے۔ زاویے کے ناصف پر واقع نقطہ زاویے کے دونوں بازوؤں سے مساوی فاصلے پر ہوتا ہے، اس لیے محصور مرکز تینوں اضلاع سے مساوی فاصلے پر ہوتا ہے اور محصور دائرے کا مرکز ہوتا ہے۔ تینوں راسوں سے مساوی فاصلے والا نقطہ محیطی مرکز ہے، جس سے گڈمڈ ہونا آسان ہے، اس لیے محصور مرکز، محصور دائرہ اور اضلاع سے مساوی فاصلہ، تینوں کو ایک ساتھ یاد کریں۔
مثلث ABC میں AB=7، AC=5 اور BC=8 ہے۔ فرض کریں M ضلع BC کا وسطی نقطہ ہے۔ وسطانیہ AM کی لمبائی معلوم کریں۔
وسطانیے کی لمبائی کا مسئلہ AB²+AC²=2(AM²+BM²) دیتا ہے۔ BM=4 کے ساتھ 49+25=2(AM²+16) ملتا ہے، یعنی 74=2AM²+32، AM²=21 اور AM=√21۔ دائیں طرف کا جزو 2 بھول جانے سے، اور اس طرح تقسیم نہ کرنے سے، 74−16=58 بن کر √58 آ جاتا ہے۔ BM=4 استعمال کریں، جو BC کا نصف ہے۔
مثلث ABC میں AB=8، AC=6 اور BC=7 ہے۔ زاویہ A کا ناصف ضلع BC کو D پر ملتا ہے۔ DC کی لمبائی معلوم کریں۔
یہاں BD:DC=AB:AC=8:6=4:3، اس لیے DC=BC×3/7=7×3/7=3۔ قیمت 4 دراصل BD کی لمبائی ہے، اس لیے دیکھ لیں کہ کون سا قطعہ پوچھا گیا ہے۔ قیمت 7/2، نقطہ D کو وسطی نقطہ سمجھ لینے سے آتی ہے۔
مثلث ABC میں AB=7، BC=5 اور CA=3 ہے۔ اس مثلث کا سب سے بڑا اندرونی زاویہ کون سا ہے؟
مثلث میں جتنا بڑا ضلع ہو، اس کے مقابل زاویہ اتنا ہی بڑا ہوتا ہے۔ سب سے لمبا ضلع AB=7 ہے اور اس کے مقابل زاویہ ∠C ہے، اس لیے ∠C سب سے بڑا ہے؛ دراصل قانونِ کوسائن سے ∠C=120° ملتا ہے۔ سب سے لمبے ضلع کے سروں پر واقع زاویوں ∠A یا ∠B کو چننے سے بچنے کے لیے ہمیشہ دیکھیں کہ کون سا زاویہ ضلع کے سامنے ہے۔
مثلث ABC کے اندر ایک نقطہ P سے گزرنے والے تین خطوط AP، BP اور CP مقابل اضلاع BC، CA اور AB کو بالترتیب D، E اور F پر ملتے ہیں۔ اگر BD:DC=2:3 اور CE:EA=1:2 ہو تو AF:FB معلوم کریں۔
سیوا کا مسئلہ (AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1 دیتا ہے۔ (AF/FB)×(2/3)×(1/2)=1 سے AF/FB=3 ملتا ہے، اس لیے AF:FB=3:1۔ نسبتوں کی سمت، جو راس سے تقسیم کرنے والے نقطے اور پھر راس تک ایک چکر کے مطابق ہونی چاہیے، الٹ دینے سے 1:3 آتا ہے، اس لیے انہیں A سے شروع کر کے ایک بار پورا چکر لگاتے ہوئے لکھیں۔
مثلث ABC میں ∠A=70° ہے اور I محصور مرکز ہے۔ ∠BIC کی مقدار معلوم کریں۔
یہاں ∠IBC+∠ICB=(∠B+∠C)/2=(180°−70°)/2=55°، اس لیے ∠BIC=180°−55°=125°۔ فارمولے سے ∠BIC=90°+∠A/2=90°+35°=125°۔ قیمت 140° دراصل 2∠A ہے، جو اسے محیطی مرکز کے فارمولے ∠BOC=2∠A سے گڈمڈ کرنے سے آتی ہے۔
حادہ الزاویہ مثلث ABC میں ∠A=50° ہے اور O محیطی مرکز ہے۔ ∠BOC کی مقدار معلوم کریں۔
چونکہ O محیطی دائرے کا مرکز ہے، اس لیے ∠BOC قوس BC پر مرکزی زاویہ ہے اور ∠A اسی قوس پر محیطی زاویہ ہے۔ اس لیے ∠BOC=2∠A=100°۔ قیمت 115° اسے محصور مرکز کے فارمولے 90°+∠A/2 سے گڈمڈ کرتی ہے، اور 25° دُگنا کرنے کے بجائے نصف کرتی ہے۔
دائرہ O میں ایک قوس 120° کا مرکزی زاویہ بناتی ہے۔ اسی قوس پر محیطی زاویہ معلوم کریں۔
محیطی زاویہ مرکزی زاویے کا نصف ہوتا ہے، اس لیے 120°÷2=60°۔ قیمت 240° الٹا دُگنا کر دیتی ہے۔ شکل بنا کر دیکھیں کہ رشتہ ’محیطی زاویہ × 2 = مرکزی زاویہ‘ کس سمت میں ہے۔
قطعہ AB کو قطر مان کر بنے دائرے پر A اور B سے مختلف ایک نقطہ C لیا جاتا ہے۔ ∠ACB کی مقدار معلوم کریں۔
قطر AB پر مرکزی زاویہ 180° ہے، اس لیے تھیلیز کے مسئلے کے مطابق محیطی زاویہ ∠ACB اس کا نصف، یعنی 90° ہے۔ C جہاں بھی ہو، یہی رہتا ہے۔ قیمت 180° صرف مرکزی زاویہ دہرا دیتی ہے۔
ایک چوکور ABCD دائرے میں محصور ہے اور ∠A=95° ہے۔ ∠C کی مقدار معلوم کریں۔
دائروی چوکور میں آمنے سامنے کے اندرونی زاویوں کا مجموعہ 180° ہوتا ہے، اس لیے ∠C=180°−95°=85°۔ قیمت 95° اس غلط فہمی سے آتی ہے کہ آمنے سامنے کے زاویے برابر ہوتے ہیں، جبکہ دراصل ان کا مجموعہ 180° ہوتا ہے۔
فرض کریں AT دائرہ O پر نقطہ A پر مماس ہے، اور دائرے پر دو نقاط B اور C لیے جاتے ہیں۔ اگر ∠TAB=65° ہو تو قوس AB پر محیطی زاویہ ∠ACB معلوم کریں، جبکہ C اس قوس پر ہو جو ∠TAB کی گھیری ہوئی قوس کے مخالف جانب ہے۔
مماس اور وتر کے زاویے کے مسئلے کے مطابق، مماس اور وتر AB کے درمیان زاویہ ∠TAB اس وتر پر محیطی زاویے ∠ACB کے برابر ہوتا ہے، اس لیے یہ 65° ہے۔ قیمت 130° محیطی اور مرکزی زاویے کو گڈمڈ کر کے اسے دُگنا کر دیتی ہے، اور 115° اسے 180° میں سے منفی کر دیتی ہے۔
دائرے کے دو وتر AB اور CD اس کے اندر ایک نقطہ P پر ملتے ہیں۔ اگر PA=3، PB=4 اور PC=2 ہو تو PD کی لمبائی معلوم کریں۔
نقطے کی قوت PA×PB=PC×PD دیتی ہے، اس لیے 3×4=2×PD اور PD=6۔ قیمت 5، 3+4−2 جیسی جمع اور تفریق سے حساب کرنے سے آتی ہے۔ نقطے کی قوت ہمیشہ فاصلوں کے حاصل ضرب کو برابر کرتی ہے۔
دائرے سے باہر ایک نقطہ P سے مماس PT کھینچا جاتا ہے، اور P سے گزرنے والا ایک خط دائرے کو دو نقاط A اور B پر ملتا ہے۔ اگر PA=4 اور PB=9 ہو تو مماس PT کی لمبائی معلوم کریں۔
نقطے کی قوت کی مماس والی صورت PT²=PA×PB=4×9=36 دیتی ہے، اس لیے PT=6۔ جواب 36 دینا جذرِ مربع لینا بھول جانا ہے۔ قیمت 13/2 دراصل (4+9)/2 ہے، جو حاصل ضرب کے بجائے اوسط لینے سے آتی ہے۔
دائرے سے باہر ایک نقطہ P سے دو خطوط کھینچے جاتے ہیں: ایک دائرے کو A اور B پر ملتا ہے جہاں PA=3 اور AB=5 ہے، اور دوسرا C اور D پر جہاں PC=4 اور PC<PD ہے۔ PD کی لمبائی معلوم کریں۔
یہاں PB=PA+AB=3+5=8۔ نقطے کی قوت PA×PB=PC×PD دیتی ہے، اس لیے 3×8=4×PD اور PD=6۔ AB کے 5 کو PB سمجھ کر 3×5=4×PD لکھنے سے 15/4 آتا ہے۔ بیرونی نقطے سے قاطع خط کے لیے دور والے نقطۂ تقاطع تک کا فاصلہ استعمال کریں۔
مثلث ABC میں BC=10، CA=7 اور AB=9 ہے۔ مثلث ABC کا محصور دائرہ ضلع AB کو P پر مس کرتا ہے۔ AP کی لمبائی معلوم کریں۔
بیرونی نقطے سے کھینچے گئے دونوں مماس برابر لمبائی کے ہوتے ہیں، اس لیے A، B اور C سے مماسوں کی لمبائیاں x، y اور z لکھیں تو x+y=9، y+z=10 اور z+x=7 ملتے ہیں۔ سب کو جمع کرنے سے x+y+z=13 ملتا ہے، جو نصف محیط s ہے، اس لیے AP=x=s−BC=13−10=3۔ قیمت 6 دراصل BP ہے، جو s−CA ہے، اور 4 نقطہ C سے مماس کی لمبائی ہے، جو s−AB ہے، اس لیے دھیان رکھیں کہ مماس کس راس سے نکلتا ہے۔
رداس 4 والے دائرہ O اور رداس 2 والے دائرہ O' کے مراکز کا درمیانی فاصلہ 10 ہے۔ ان کے مشترک بیرونی مماس کی لمبائی معلوم کریں۔
مشترک بیرونی مماس کی لمبائی √(d²−(r₁−r₂)²)=√(100−(4−2)²)=√96=4√6 ہے۔ قیمت 8=√(100−36) رداسوں کا مجموعہ (4+2)² استعمال کرتی ہے، جو اس کے بجائے مشترک اندرونی مماس دیتا ہے۔ بیرونی مماس کے لیے فرق اور اندرونی کے لیے مجموعہ استعمال کریں۔
دائرے پر تین نقاط A، B اور C محیط کو اس طرح قوسوں میں تقسیم کرتے ہیں کہ قوس AB : قوس BC : قوس CA = 3:4:5۔ مثلث ABC کا سب سے بڑا اندرونی زاویہ معلوم کریں۔
محیطی زاویے اپنی قوسوں کے متناسب ہوتے ہیں، اس لیے تینوں اندرونی زاویے 180° کو 3:4:5 کی نسبت میں تقسیم کرتے ہیں، جس سے 45°، 60° اور 75° ملتے ہیں۔ سب سے بڑا زاویہ سب سے بڑی قوس CA پر واقع زاویہ ∠B ہے، یعنی 75°۔ قیمت 90° اسے قائمہ الزاویہ مثلث کے اضلاع کی نسبت 3:4:5 سے گڈمڈ کرتی ہے۔
عدد 540 کو مفرد اجزائے ضربی میں تجزی کریں۔
حساب 540=2×270=2×2×135=2²×135، اور 135=27×5=3³×5، اس لیے 540=2²×3³×5۔ جانچ: 4×27×5=540۔ قیمتیں 2³×3²×5=360 اور 2²×3²×5=180 مطابقت نہیں رکھتیں۔ جب کوئی قوت نما غلط لگے تو واپس ضرب دے کر جانچ لیں۔
اعداد 12 اور 18 کا ذو اضعافِ اقل معلوم کریں۔
یہاں 12=2²×3 اور 18=2×3²۔ ذو اضعافِ اقل ہر مفرد عدد کی بڑی قوت نما لیتا ہے، جس سے 2²×3²=36 ملتا ہے۔ قیمت 6 عادِ اعظم (greatest common divisor) ہے۔ محض حاصل ضرب لینا، جیسے 216=12×18÷1، غلط ہے؛ G×L=a×b سے بھی L=12×18÷6=36 نکالا جا سکتا ہے۔ قیمت 72 دونوں اعداد کا مشترک ضعف ہے لیکن سب سے چھوٹا نہیں۔
دو قدرتی اعداد کا عادِ اعظم 6 اور ذو اضعافِ اقل 180 ہے، اور ان میں سے ایک 30 ہے۔ دوسرا عدد معلوم کریں۔
دو اعداد a اور b کے لیے G×L=a×b ہوتا ہے، اس لیے 6×180=30×b اور b=1080÷30=36۔ جانچ: gcd(30,36)=6 اور lcm(30,36)=180، جو درست بیٹھتا ہے۔ قیمتیں 60 اور 90 قاسم اور ضعف کے رشتوں سے اندازہ لگانے میں آسان ہیں، لیکن G×L=ab جواب کو ایک ہی قیمت تک محدود کر دیتا ہے۔
اقلیدسی الگورتھم استعمال کر کے 273 اور 63 کا عادِ اعظم معلوم کریں۔
یہاں 273=63×4+21 اور 63=21×3+0۔ باقی 0 ہو گیا، اس لیے آخری مقسوم علیہ 21 عادِ اعظم ہے۔ 273=3×7×13 اور 63=3²×7 سے بھی gcd=3×7=21 ملتا ہے۔ قیمتیں 7 اور 3 مشترک قاسم ہیں لیکن سب سے بڑے نہیں۔
اقلیدسی الگورتھم استعمال کر کے 319 اور 143 کا عادِ اعظم معلوم کریں۔
یہاں 319=143×2+33، 143=33×4+11، اور 33=11×3+0، اس لیے عادِ اعظم 11 ہے۔ قیمت 33 ایک درمیانی باقی ہے؛ الگورتھم اس وقت تک جاری رہتا ہے جب تک باقی 0 نہ ہو جائے۔ 319=11×29 اور 143=11×13 سے بھی اس کی تصدیق ہو سکتی ہے۔
ثنائی عدد 110101₂ کو اساس 10 میں ظاہر کریں۔
حساب 110101₂=1×32+1×16+0×8+1×4+0×2+1×1=32+16+4+1=53۔ قیمت 43 مقامی قیمتوں کو الٹی ترتیب میں لگانے سے آتی ہے، جو 101011₂ پڑھنے کے برابر ہے۔ دھیان رہے کہ سب سے بائیں ہندسہ سب سے بڑا مقام ہے، جس کی قیمت 2⁵=32 ہے۔
اساس 10 کے عدد 123 کو اساس پانچ میں ظاہر کریں۔
حساب 123÷5=24 باقی 3، 24÷5=4 باقی 4، اور 4÷5=0 باقی 4۔ باقیوں کو نیچے سے اوپر پڑھنے سے 443₅ ملتا ہے۔ جانچ: 4×25+4×5+3=123۔ باقیوں کو اوپر سے نیچے پڑھنے سے 344₅ آتا ہے، جو مخصوص غلطی ہے۔
ثنائی حساب 1011₂+110₂ کا نتیجہ ثنائی میں ظاہر کریں۔
اعشاری میں 1011₂=11 اور 110₂=6 ہیں، اور مجموعہ 17=16+1=10001₂ ہے۔ ثنائی میں کالم بہ کالم حساب کرتے ہوئے حاصل (carry) 1+1=10 کا خیال رکھنے سے بھی 10001₂ ملتا ہے۔ ایک حاصل چھوڑ دینے سے 1111₂، جو 15 ہے، یا 10011₂، جو 19 ہے، جیسی قیمتیں آتی ہیں۔
مساوات 3x+5y=1 کا ایک صحیح عددی حل x=2، y=−1 ہے۔ کون سا اظہار تمام صحیح عددی حل دیتا ہے، جبکہ k ایک صحیح عدد ہو؟
مساوات 3(x−2)+5(y+1)=0 سے 3(x−2)=−5(y+1) ملتا ہے۔ چونکہ 3 اور 5 باہم مفرد (coprime) ہیں، اس لیے x−2 کو 5 کا ضعف ہونا چاہیے، جس سے x=2+5k اور y=−1−3k ملتے ہیں۔ متغیر x دوسرا عددی سر 5 لیتا ہے اور y دوسرا عددی سر 3، مخالف علامتوں کے ساتھ۔ جوڑا x=2+3k، y=−1−5k قیمت k=0 پر درست ہے لیکن k=1 پر ناکام ہو جاتا ہے، جہاں 3×5+5×(−6)=−15≠1، اور x=2−5k، y=−1−3k بھی k=1 پر ناکام ہوتا ہے، جہاں 3×(−3)+5×(−4)=−29≠1۔ قیمتیں رکھ کر جانچنا یقینی طریقہ ہے۔
وہ سب سے چھوٹا قدرتی عدد معلوم کریں جو 7 سے تقسیم کرنے پر باقی 3 اور 13 سے تقسیم کرنے پر باقی 5 چھوڑتا ہے۔
عدد کو N لکھیں تو N=7x+3=13y+5 ملتا ہے، اس لیے 7x−13y=2۔ ایک حل x=4، y=2 ہے، اور پھر N=7×4+3=31۔ جانچ: 31=7×4+3 اور 31=13×2+5، جو دونوں شرائط پوری کرتا ہے۔ حل ہر 7×13=91 کے بعد دہراتے ہیں، اس لیے اگلا حل 122 ہے، جو سب سے چھوٹا نہیں۔ قیمت 18=13+5، 7 سے تقسیم کرنے پر باقی 4 چھوڑتی ہے، اس لیے غلط ہے۔
یہ بے ترتیب سوالات والا مشق کا ٹول ہے (JavaScript فعال ہونے پر کام کرتا ہے)۔ اوپر دیے گئے تمام سوالات اور وضاحتیں اس کے بغیر بھی پڑھی جا سکتی ہیں۔
* یہ ہائی اسکول کے تعلیمی مواد کی دہرائی کے لیے ہے۔ اگر علامات یا طریقۂ کار آپ کی درسی کتاب یا آپ کے اسکول کی تدریس سے مختلف ہو تو اپنی درسی کتاب اور اپنے استاد کی وضاحت پر عمل کریں۔
یہ صفحہ جاپانی اصل متن کا ترجمہ ہے۔ اگر ترجمے اور اصل متن میں فرق ہو تو جاپانی ورژن کو ترجیح دی جائے گی۔ یہ ترجمہ AI کی مدد سے کیا گیا ہے اور اس میں غلطیاں ہو سکتی ہیں۔ ترجمے کی غلطی کی اطلاع دیں جاپانی اصل متن دیکھیں