고등학교 · 고교 수학 정기고사 랩
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△ABC 에서 AB=6, AC=4, BC=5 이다. ∠A 의 이등분선이 변 BC 와 만나는 점을 D 라 할 때, BD 의 길이를 구하여라.
각의 이등분선의 성질에 의해 BD:DC=AB:AC=6:4=3:2 이다. 따라서 BD=BC×3/5=5×3/5=3 이다. 비를 뒤바꾸어 BD:DC=4:6 으로 하면 BD=2(이것은 DC 의 길이)가 된다. B 에 가까운 선분 BD 는 B 를 낀 변 AB 와 대응한다.
△ABC 의 변 BC 의 중점을 M, 무게중심을 G 라 한다. 중선 AM 의 길이가 9 일 때, AG 의 길이를 구하여라.
무게중심은 중선을 꼭짓점 쪽에서 2:1 로 내분하므로 AG:GM=2:1 이다. 따라서 AG=9×2/3=6 이다. 3 은 GM 의 길이이다. 9/2 은 중점과 혼동하여 절반으로 한 실수이다.
삼각형의 세 변 각각의 수직이등분선은 한 점에서 만난다. 이 점을 무엇이라 하는가.
세 변의 수직이등분선의 교점은 외심이다. 수직이등분선 위의 점은 선분의 양 끝에서 같은 거리에 있으므로, 외심은 세 꼭짓점에서 같은 거리에 있고 외접원의 중심이 된다. 내심은 내각의 이등분선, 무게중심은 중선, 수심은 꼭짓점에서 대변에 내린 수선의 교점이다.
삼각형의 세 내각의 이등분선은 한 점에서 만나고, 그 점은 세 변에서 같은 거리에 있다. 이 점을 무엇이라 하는가.
내각의 이등분선의 교점은 내심이다. 각의 이등분선 위의 점은 각의 두 변에서 같은 거리에 있으므로, 내심은 세 변에서 같은 거리에 있고 내접원의 중심이 된다. 세 꼭짓점에서 같은 거리에 있는 것은 외심이므로, 혼동하기 쉬운 만큼 '내심=내접원=변에서 같은 거리'로 묶어 외운다.
△ABC 에서 AB=7, AC=5, BC=8 이다. 변 BC 의 중점을 M 이라 할 때, 중선 AM 의 길이를 구하여라.
중선정리에 의해 AB²+AC²=2(AM²+BM²) 이다. BM=4 이므로 49+25=2(AM²+16), 74=2AM²+32, AM²=21, 따라서 AM=√21 이다. 우변의 2 를 곱하지 않으면(나누지 않으면) 74−16=58 에서 √58 이 되어 버린다. BM 은 BC 의 절반인 4 를 쓴다.
△ABC 에서 AB=8, AC=6, BC=7 이다. ∠A 의 이등분선이 변 BC 와 만나는 점을 D 라 할 때, DC 의 길이를 구하여라.
BD:DC=AB:AC=8:6=4:3 이다. 따라서 DC=BC×3/7=7×3/7=3 이다. 4 는 BD 의 길이이므로 어느 선분을 묻고 있는지 주의한다. 7/2 은 중점과 혼동한 실수이다.
△ABC 에서 AB=7, BC=5, CA=3 이다. 이 삼각형에서 가장 큰 내각은 어느 것인가.
삼각형에서는 큰 변의 맞은편 각일수록 크다. 최대 변은 AB=7 이고 그 맞은편 각은 ∠C 이다. 따라서 ∠C 가 가장 크다(실제로 코사인법칙으로 계산하면 ∠C=120° 이다). 최대 변 자체의 양 끝 각과 혼동하여 ∠A 나 ∠B 를 고르지 않도록 '변의 맞은편'을 확인한다.
△ABC 의 내부의 점 P 를 지나는 세 직선 AP, BP, CP 가 대변 BC, CA, AB 와 각각 점 D, E, F 에서 만난다. BD:DC=2:3, CE:EA=1:2 일 때, AF:FB 를 구하여라.
체바의 정리에 의해 (AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1 이다. (AF/FB)×(2/3)×(1/2)=1 이므로 AF/FB=3 이다. 따라서 AF:FB=3:1 이다. 비의 방향(꼭짓점→분점→꼭짓점의 한붓그리기 순서)을 반대로 하면 1:3 이 되어 버리므로, A 에서 시작해 한 바퀴 도는 순서로 쓴다.
△ABC 에서 ∠A=70° 라 하고 내심을 I 라 한다. ∠BIC 의 크기를 구하여라.
∠IBC+∠ICB=(∠B+∠C)/2=(180°−70°)/2=55° 이다. 따라서 ∠BIC=180°−55°=125° 이다. 공식으로는 ∠BIC=90°+∠A/2=90°+35°=125° 이다. 140° 는 2∠A 로 외심의 공식 ∠BOC=2∠A 와 혼동한 실수이다.
예각삼각형 ABC 에서 ∠A=50° 라 하고 외심을 O 라 한다. ∠BOC 의 크기를 구하여라.
외심 O 는 외접원의 중심이므로 ∠BOC 는 호 BC 에 대한 중심각이고, ∠A 는 같은 호에 대한 원주각이다. 따라서 ∠BOC=2∠A=100° 이다. 115° 는 내심의 공식 90°+∠A/2 와 혼동한 실수이다. 25° 는 절반으로 하는 방향을 반대로 한 실수이다.
원 O 에서 어떤 호에 대한 중심각이 120° 일 때, 같은 호에 대한 원주각의 크기를 구하여라.
원주각은 중심각의 절반이므로 120°÷2=60° 이다. 240° 는 반대로 2 배 한 실수이다. 중심각과 원주각의 관계 '원주각×2=중심각'의 방향을 그림으로 확인한다.
선분 AB 를 지름으로 하는 원의 둘레 위에 A, B 와 다른 점 C 를 잡는다. ∠ACB 의 크기를 구하여라.
지름 AB 에 대한 중심각은 180° 이므로 원주각 ∠ACB 는 그 절반인 90° 이다(탈레스의 정리). C 의 위치와 관계없이 일정하다. 180° 는 중심각을 그대로 답한 실수이다.
사각형 ABCD 가 원에 내접하고 ∠A=95° 이다. ∠C 의 크기를 구하여라.
원에 내접하는 사각형에서는 마주 보는 내각의 합이 180° 이다. ∠C=180°−95°=85° 이다. 95° 는 '마주 보는 각은 같다'고 오해한 실수이며, 같은 것이 아니라 합이 180° 가 된다.
원 O 의 둘레 위의 점 A 에서의 접선을 AT 라 하고, 원주 위에 두 점 B, C 를 잡는다. ∠TAB=65° 일 때, 호 AB 에 대한 원주각 ∠ACB 의 크기를 구하여라. 단, C 는 ∠TAB 가 바라보는 호의 반대쪽 호 위에 있다고 한다.
접현정리에 의해 접선과 현 AB 가 이루는 각 ∠TAB 는 그 현에 대한 원주각 ∠ACB 와 같으므로 65° 이다. 130° 는 원주각과 중심각을 혼동하여 2 배 한 실수이고, 115° 는 180° 에서 뺀 실수이다.
원의 두 현 AB 와 CD 가 원의 내부의 점 P 에서 만난다. PA=3, PB=4, PC=2 일 때, PD 의 길이를 구하여라.
방멱의 정리에 의해 PA×PB=PC×PD 이다. 3×4=2×PD 이므로 PD=6 이다. 5 는 3+4−2 처럼 합이나 차로 처리한 실수이다. 방멱은 반드시 '거리의 곱'이 같다.
원 밖의 점 P 에서 원에 접선 PT 를 긋고, 또 P 를 지나는 직선이 이 원과 두 점 A, B 에서 만난다. PA=4, PB=9 일 때, 접선 PT 의 길이를 구하여라.
접선 유형의 방멱의 정리에 의해 PT²=PA×PB=4×9=36 이다. 따라서 PT=6 이다. 36 그대로 답하는 것은 제곱근을 취하지 않은 실수이다. 13/2 은 (4+9)/2 로, 곱이 아니라 평균을 취해 버린 실수이다.
원 밖의 점 P 에서 두 직선을 그어, 한쪽은 원과 두 점 A, B(PA=3, AB=5)에서, 다른 쪽은 두 점 C, D(PC=4, PC<PD)에서 만난다. PD 의 길이를 구하여라.
PB=PA+AB=3+5=8 이다. 방멱의 정리에 의해 PA×PB=PC×PD 이므로 3×8=4×PD 에서 PD=6 이다. AB 의 5 를 그대로 PB 로 보아 3×5=4×PD 로 하면 15/4 이 된다. 외부의 할선에서는 P 에서 먼 교점까지의 길이를 쓴다.
△ABC 에서 BC=10, CA=7, AB=9 이다. △ABC 의 내접원이 변 AB 와 접하는 점을 P 라 할 때, AP 의 길이를 구하여라.
원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 같으므로, A, B, C 에서의 접선의 길이를 x, y, z 라 하면 x+y=9, y+z=10, z+x=7 이다. 모두 더하면 x+y+z=13(반둘레 s)이므로 AP=x=s−BC=13−10=3 이다. 6 은 BP(s−CA), 4 는 C 에서의 접선의 길이(s−AB)이므로 어느 꼭짓점의 접선인지 주의한다.
반지름 4 인 원 O 와 반지름 2 인 원 O' 가 있고 중심 사이의 거리는 10 이다. 이 두 원의 공통외접선의 길이를 구하여라.
공통외접선의 길이는 √(d²−(r₁−r₂)²)=√(100−(4−2)²)=√96=4√6 이다. 8=√(100−36) 은 반지름의 합 (4+2)² 을 쓴 값이며 그것은 공통내접선의 길이이다. 외접선은 차, 내접선은 합으로 구분해서 쓴다.
원주 위의 세 점 A, B, C 가 원주를 호 AB:호 BC:호 CA=3:4:5 로 나눈다. △ABC 의 가장 큰 내각의 크기를 구하여라.
원주각은 호의 길이에 비례하므로, 세 내각은 180° 를 3:4:5 로 나눈 45°, 60°, 75° 이다. 가장 큰 내각은 가장 큰 호 CA 에 대한 원주각 ∠B 로 75° 이다. 90° 는 3:4:5 인 직각삼각형의 변의 비와 혼동한 실수이다.
540 을 소인수분해하여라.
540=2×270=2×2×135=2²×135 이고, 135=27×5=3³×5 이다. 따라서 540=2²×3³×5 이다. 검산하면 4×27×5=540 이다. 2³×3²×5=360, 2²×3²×5=180 으로 일치하지 않는다. 지수를 잘못 붙이면 다시 곱해 확인한다.
12 와 18 의 최소공배수를 구하여라.
12=2²×3, 18=2×3² 이다. 최소공배수는 각 소인수의 지수 중 큰 쪽을 취해 2²×3²=36 이다. 6 은 최대공약수이다. 216=12×18÷1 처럼 곱을 그대로 쓰는 것은 잘못이며, G×L=a×b 에서 L=12×18÷6=36 으로 구할 수도 있다.
두 자연수의 최대공약수가 6, 최소공배수가 180 이고 한쪽 수가 30 일 때, 다른 한쪽의 수를 구하여라.
두 수 a, b 에 대하여 G×L=a×b 가 성립하므로 6×180=30×b 에서 b=1080÷30=36 이다. 검산하면 gcd(30,36)=6, lcm(30,36)=180 으로 조건에 맞는다. 60 이나 90 은 약수와 배수의 관계에서 어림짐작으로 고르기 쉬운 값이지만, G×L=ab 로 확인하면 하나로 정해진다.
유클리드 호제법을 이용하여 273 과 63 의 최대공약수를 구하여라.
273=63×4+21, 63=21×3+0 이다. 나머지가 0 이 되었으므로 마지막에 나눈 수 21 이 최대공약수이다. 273=3×7×13, 63=3²×7 에서도 gcd=3×7=21 임을 확인할 수 있다. 7 이나 3 은 공약수이기는 하지만 최대는 아니다.
유클리드 호제법을 이용하여 319 와 143 의 최대공약수를 구하여라.
319=143×2+33, 143=33×4+11, 33=11×3+0 이다. 따라서 최대공약수는 11 이다. 33 은 도중의 나머지이며, 호제법은 나머지가 0 이 될 때까지 계속한다. 319=11×29, 143=11×13 에서도 확인할 수 있다.
2진수 110101₂ 를 10진수로 나타내어라.
110101₂=1×32+1×16+0×8+1×4+0×2+1×1=32+16+4+1=53 이다. 43 은 자릿값을 거꾸로(101011₂ 와 같게) 곱해 버린 실수이다. 왼쪽 끝이 최고 자리(2⁵=32 의 자리)임에 주의한다.
10진수 123 을 5진법으로 나타내어라.
123÷5=24 나머지 3, 24÷5=4 나머지 4, 4÷5=0 나머지 4 이다. 나머지를 아래에서부터 차례로 읽어 443₅ 이다. 검산하면 4×25+4×5+3=123 이다. 나머지를 위에서부터 읽으면 344₅ 가 되는 것이 전형적인 실수이다.
2진수의 계산 1011₂+110₂ 의 결과를 2진수로 나타내어라.
10진수로 고치면 1011₂=11, 110₂=6 이고 합은 17=16+1=10001₂ 이다. 2진수 그대로 세로셈을 해도 1+1=10 의 받아올림을 따라가면 10001₂ 이다. 받아올림을 한 군데 놓치면 1111₂(15)이나 10011₂(19) 같은 값이 된다.
방정식 3x+5y=1 의 정수해 중 하나는 x=2, y=−1 이다. 모든 정수해를 나타내는 식은 어느 것인가. 단, k 는 정수로 한다.
3(x−2)+5(y+1)=0 에서 3(x−2)=−5(y+1) 이다. 3 과 5 는 서로소이므로 x−2 는 5 의 배수가 되어 x=2+5k, y=−1−3k 이다. x 에는 상대의 계수 5, y 에는 상대의 계수 3 이 붙고 부호는 반대가 된다. x=2+3k, y=−1−5k 는 k=0 에서는 성립하지만 k=1 에서 3×5+5×(−6)=−15≠1 이 되어 틀리다. x=2−5k, y=−1−3k 도 k=1 일 때 3×(−3)+5×(−4)=−29≠1 이 되어 틀리다. 대입해서 확인하는 것이 확실하다.
7 로 나누면 3 이 남고 13 으로 나누면 5 가 남는 자연수 중에서 가장 작은 것을 구하여라.
구하는 수를 N 이라 하면 N=7x+3=13y+5 이다. 따라서 7x−13y=2 이다. x=4, y=2 가 한 조의 해이고 이때 N=7×4+3=31 이다. 검산하면 31=7×4+3, 31=13×2+5 로 조건을 만족한다. 해는 7×13=91 마다 나타나므로 다음은 122 이다(이것은 최소가 아니다). 18=13+5 는 7 로 나누면 4 가 남으므로 틀리다.
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