Trung học phổ thông · Toán THPT: phòng luyện kiểm tra định kỳ
Bạn có thể đọc câu hỏi và lời giải bằng Tiếng Việt. Bài giảng (bài viết giải thích) chỉ có bản tiếng Nhật.
Xem bản tiếng Nhật (có bài giảng) →
Tam giác ABC có AB=6, AC=4, BC=5. Đường phân giác của góc A cắt cạnh BC tại D. Hãy tính độ dài BD.
Theo tính chất đường phân giác, BD:DC=AB:AC=6:4=3:2, nên BD=BC×3/5=5×3/5=3. Nếu lấy nhầm tỉ số thành BD:DC=4:6 thì ra BD=2, mà đó chính là độ dài DC. Đoạn BD nằm gần B nên tương ứng với cạnh AB kề với B.
Gọi M là trung điểm cạnh BC của tam giác ABC và G là trọng tâm. Biết trung tuyến AM dài 9, hãy tính độ dài AG.
Trọng tâm chia trung tuyến theo tỉ số 2:1 kể từ phía đỉnh, tức AG:GM=2:1, nên AG=9×2/3=6. Con số 3 là độ dài GM, còn 9/2 là lỗi nhầm với trung điểm và lấy một nửa.
Ba đường trung trực của ba cạnh một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó gọi là gì?
Giao điểm của ba đường trung trực là tâm đường tròn ngoại tiếp. Vì mọi điểm trên đường trung trực đều cách đều hai đầu đoạn thẳng nên điểm này cách đều ba đỉnh và là tâm của đường tròn ngoại tiếp. Tâm đường tròn nội tiếp là giao của ba đường phân giác trong, trọng tâm là giao của ba trung tuyến, còn trực tâm là giao của ba đường cao.
Ba đường phân giác trong của một tam giác cùng đi qua một điểm và điểm đó cách đều ba cạnh. Điểm đó gọi là gì?
Giao điểm của ba đường phân giác trong là tâm đường tròn nội tiếp. Vì mọi điểm trên đường phân giác đều cách đều hai cạnh của góc nên điểm này cách đều ba cạnh và là tâm của đường tròn nội tiếp. Điểm cách đều ba đỉnh lại là tâm đường tròn ngoại tiếp, rất dễ lẫn, nên hãy nhớ theo cụm nội tiếp đi với cách đều các cạnh.
Tam giác ABC có AB=7, AC=5, BC=8. Gọi M là trung điểm cạnh BC, hãy tính độ dài trung tuyến AM.
Theo định lý đường trung tuyến, AB²+AC²=2(AM²+BM²). Vì BM=4 nên 49+25=2(AM²+16), tức 74=2AM²+32, do đó AM²=21 và AM=√21. Quên hệ số 2 ở vế phải sẽ dẫn tới 74−16=58 và ra √58. Nhớ dùng BM bằng một nửa BC, tức 4.
Tam giác ABC có AB=8, AC=6, BC=7. Đường phân giác của góc A cắt cạnh BC tại D. Hãy tính độ dài DC.
Ta có BD:DC=AB:AC=8:6=4:3, nên DC=BC×3/7=7×3/7=3. Con số 4 là độ dài BD, vì vậy phải xem kỹ đề hỏi đoạn nào. Con số 7/2 là lỗi nhầm với trung điểm.
Tam giác ABC có AB=7, BC=5, CA=3. Góc trong nào của tam giác này là lớn nhất?
Trong tam giác, cạnh càng lớn thì góc đối diện càng lớn. Cạnh lớn nhất là AB=7 và góc đối diện nó là ∠C, nên ∠C lớn nhất; thật vậy, tính bằng định lý côsin cho ∠C=120°. Đừng lẫn với hai góc ở hai đầu cạnh lớn nhất mà chọn ∠A hay ∠B, hãy luôn xác định góc đối diện cạnh.
Trong tam giác ABC lấy điểm P bên trong, ba đường thẳng AP, BP, CP cắt các cạnh đối diện BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Biết BD:DC=2:3 và CE:EA=1:2, hãy tính AF:FB.
Theo định lý Ceva, (AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1. Từ (AF/FB)×(2/3)×(1/2)=1 suy ra AF/FB=3, tức AF:FB=3:1. Nếu viết ngược chiều của tỉ số thì sẽ ra 1:3, nên hãy viết theo đúng thứ tự đi vòng quanh tam giác, bắt đầu từ A theo lộ trình đỉnh rồi điểm chia rồi đỉnh.
Tam giác ABC có ∠A=70° và I là tâm đường tròn nội tiếp. Hãy tính số đo góc ∠BIC.
Ta có ∠IBC+∠ICB=(∠B+∠C)/2=(180°−70°)/2=55°, nên ∠BIC=180°−55°=125°. Theo công thức thì ∠BIC=90°+∠A/2=90°+35°=125°. Đáp án 140° là 2∠A, tức nhầm với công thức ∠BOC=2∠A của tâm ngoại tiếp.
Tam giác nhọn ABC có ∠A=50° và O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Hãy tính số đo góc ∠BOC.
Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp nên ∠BOC là góc ở tâm chắn cung BC, còn ∠A là góc nội tiếp chắn cùng cung đó. Do đó ∠BOC=2∠A=100°. Đáp án 115° là nhầm với công thức 90°+∠A/2 của tâm nội tiếp, còn 25° là lỗi lấy nửa thay vì gấp đôi.
Trong đường tròn O, một cung có góc ở tâm bằng 120°. Hãy tính số đo góc nội tiếp chắn cùng cung đó.
Góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm nên bằng 120°÷2=60°. Đáp án 240° là lỗi nhân đôi theo chiều ngược lại. Hãy nhìn hình để xác nhận chiều của quan hệ góc nội tiếp nhân 2 bằng góc ở tâm.
Trên đường tròn nhận đoạn AB làm đường kính, lấy điểm C khác A và B. Hãy tính số đo góc ∠ACB.
Góc ở tâm chắn đường kính AB bằng 180°, nên góc nội tiếp ∠ACB bằng một nửa, tức 90°, đó là định lý Thales. Kết quả không phụ thuộc vị trí của C. Đáp án 180° là trả lời chính góc ở tâm.
Tứ giác ABCD nội tiếp một đường tròn và có ∠A=95°. Hãy tính số đo góc ∠C.
Trong tứ giác nội tiếp, tổng hai góc đối diện bằng 180°, nên ∠C=180°−95°=85°. Đáp án 95° là hiểu nhầm rằng hai góc đối bằng nhau, trong khi thực ra tổng của chúng mới bằng 180°.
Gọi AT là tiếp tuyến của đường tròn O tại điểm A trên đường tròn, và lấy hai điểm B, C trên đường tròn. Biết ∠TAB=65°, hãy tính số đo góc nội tiếp ∠ACB chắn cung AB, với C nằm trên cung phía đối diện với cung mà ∠TAB chắn.
Theo định lý về góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung, góc ∠TAB giữa tiếp tuyến và dây AB bằng góc nội tiếp ∠ACB chắn dây đó, nên bằng 65°. Đáp án 130° là lỗi nhân đôi do lẫn góc nội tiếp với góc ở tâm, còn 115° là lỗi lấy 180° trừ đi.
Hai dây AB và CD của một đường tròn cắt nhau tại điểm P nằm bên trong đường tròn. Biết PA=3, PB=4, PC=2, hãy tính độ dài PD.
Theo định lý về phương tích, PA×PB=PC×PD. Từ 3×4=2×PD suy ra PD=6. Đáp án 5 là lỗi xử lý bằng tổng hoặc hiệu như 3+4−2. Phương tích luôn cho hai tích các khoảng cách bằng nhau.
Từ điểm P nằm ngoài đường tròn kẻ tiếp tuyến PT, đồng thời một đường thẳng qua P cắt đường tròn tại hai điểm A và B. Biết PA=4 và PB=9, hãy tính độ dài tiếp tuyến PT.
Theo hệ thức phương tích cho trường hợp tiếp tuyến, PT²=PA×PB=4×9=36, nên PT=6. Trả lời 36 là quên lấy căn bậc hai. Đáp án 13/2 là (4+9)/2, tức lấy trung bình thay vì tích.
Từ điểm P nằm ngoài đường tròn kẻ hai đường thẳng: một đường cắt đường tròn tại A và B với PA=3, AB=5; đường kia cắt tại C và D với PC=4 và PC<PD. Hãy tính độ dài PD.
Ta có PB=PA+AB=3+5=8. Theo phương tích, PA×PB=PC×PD, tức 3×8=4×PD, nên PD=6. Nếu lấy nhầm AB bằng 5 làm PB và viết 3×5=4×PD thì ra 15/4. Với cát tuyến kẻ từ ngoài, phải dùng khoảng cách tới giao điểm xa hơn.
Tam giác ABC có BC=10, CA=7, AB=9. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc cạnh AB tại P. Hãy tính độ dài AP.
Hai tiếp tuyến kẻ từ cùng một điểm ngoài đường tròn có độ dài bằng nhau, nên gọi độ dài tiếp tuyến từ A, B, C lần lượt là x, y, z thì x+y=9, y+z=10, z+x=7. Cộng tất cả được x+y+z=13, đó là nửa chu vi s, nên AP=x=s−BC=13−10=3. Con số 6 là BP tức s−CA, còn 4 là độ dài tiếp tuyến từ C tức s−AB, nên phải xác định rõ tiếp tuyến kẻ từ đỉnh nào.
Đường tròn O bán kính 4 và đường tròn O' bán kính 2 có khoảng cách giữa hai tâm bằng 10. Hãy tính độ dài đoạn tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn.
Độ dài tiếp tuyến chung ngoài bằng √(d²−(r₁−r₂)²)=√(100−(4−2)²)=√96=4√6. Giá trị 8=√(100−36) dùng bình phương của tổng hai bán kính (4+2)², và đó là độ dài tiếp tuyến chung trong. Hãy phân biệt: tiếp tuyến ngoài dùng hiệu, tiếp tuyến trong dùng tổng.
Ba điểm A, B, C trên một đường tròn chia đường tròn thành các cung với tỉ lệ cung AB : cung BC : cung CA = 3:4:5. Hãy tính số đo góc trong lớn nhất của tam giác ABC.
Góc nội tiếp tỉ lệ với độ dài cung, nên ba góc trong là kết quả chia 180° theo tỉ lệ 3:4:5, tức 45°, 60° và 75°. Góc lớn nhất là góc nội tiếp ∠B chắn cung CA lớn nhất, bằng 75°. Đáp án 90° là lỗi nhầm với tam giác vuông có tỉ lệ cạnh 3:4:5.
Hãy phân tích 540 ra thừa số nguyên tố.
Ta có 540=2×270=2×2×135=2²×135, rồi 135=27×5=3³×5, nên 540=2²×3³×5. Kiểm tra lại: 4×27×5=540. Trong khi đó 2³×3²×5=360 và 2²×3²×5=180, đều không khớp. Nếu ghi sai số mũ thì hãy nhân ngược lại để thử.
Hãy tìm bội chung nhỏ nhất của 12 và 18.
Ta có 12=2²×3 và 18=2×3². Bội chung nhỏ nhất lấy số mũ lớn hơn của từng thừa số nguyên tố, tức 2²×3²=36. Con số 6 là ước chung lớn nhất. Lấy thẳng tích 216 là sai; từ hệ thức tích ước chung lớn nhất với bội chung nhỏ nhất bằng tích hai số, ta cũng có 12×18÷6=36.
Hai số tự nhiên có ước chung lớn nhất bằng 6 và bội chung nhỏ nhất bằng 180, trong đó một số bằng 30. Hãy tìm số còn lại.
Với hai số a và b, tích của ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất bằng tích a×b, nên 6×180=30×b, cho b=1080÷30=36. Kiểm tra lại: ƯCLN(30,36)=6 và BCNN(30,36)=180, đúng điều kiện. Các số 60 và 90 dễ bị chọn theo cảm tính vì quan hệ ước bội, nhưng hệ thức trên xác định duy nhất một đáp án.
Dùng thuật toán Euclid, hãy tìm ước chung lớn nhất của 273 và 63.
Ta có 273=63×4+21 rồi 63=21×3+0. Vì số dư bằng 0 nên số chia cuối cùng là 21 chính là ước chung lớn nhất. Từ 273=3×7×13 và 63=3²×7 cũng cho ước chung lớn nhất bằng 3×7=21. Các số 7 và 3 là ước chung nhưng không phải lớn nhất.
Dùng thuật toán Euclid, hãy tìm ước chung lớn nhất của 319 và 143.
Ta có 319=143×2+33, rồi 143=33×4+11, rồi 33=11×3+0. Vậy ước chung lớn nhất là 11. Con số 33 chỉ là số dư ở bước giữa, và thuật toán phải chạy tới khi số dư bằng 0. Từ 319=11×29 và 143=11×13 cũng xác nhận được.
Hãy viết số nhị phân 110101₂ dưới dạng số thập phân, tức trong hệ cơ số 10.
Ta có 110101₂=1×32+1×16+0×8+1×4+0×2+1×1=32+16+4+1=53. Con số 43 là lỗi gán trọng số các hàng theo thứ tự ngược, tức đọc thành 101011₂. Chú ý chữ số ngoài cùng bên trái là hàng cao nhất, ứng với 2⁵=32.
Hãy viết số 123 của hệ thập phân, tức hệ cơ số 10, trong hệ đếm cơ số 5.
Ta có 123÷5=24 dư 3, 24÷5=4 dư 4, 4÷5=0 dư 4. Đọc các số dư từ dưới lên được 443₅. Kiểm tra lại: 4×25+4×5+3=123. Lỗi điển hình là đọc các số dư từ trên xuống và ra 344₅.
Hãy viết kết quả của phép tính nhị phân 1011₂+110₂ dưới dạng số nhị phân.
Đổi sang thập phân thì 1011₂=11 và 110₂=6, tổng bằng 17=16+1=10001₂. Đặt tính trực tiếp trong hệ nhị phân và theo dõi phép nhớ 1+1=10 cũng cho 10001₂. Bỏ sót một lần nhớ sẽ ra các giá trị như 1111₂ tức 15 hoặc 10011₂ tức 19.
Phương trình 3x+5y=1 có một nghiệm nguyên là x=2, y=−1. Biểu thức nào biểu diễn tất cả các nghiệm nguyên, với k là số nguyên?
Từ 3(x−2)+5(y+1)=0 ta có 3(x−2)=−5(y+1). Vì 3 và 5 nguyên tố cùng nhau nên x−2 phải là bội của 5, cho x=2+5k và y=−1−3k. Ở x đi kèm hệ số 5 của phía kia, ở y đi kèm hệ số 3, và dấu thì ngược nhau. Bộ x=2+3k, y=−1−5k đúng khi k=0 nhưng với k=1 cho 3×5+5×(−6)=−15≠1 nên sai; bộ x=2−5k, y=−1−3k với k=1 cho 3×(−3)+5×(−4)=−29≠1 nên cũng sai. Cách chắc chắn là thay vào để kiểm tra.
Hãy tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia cho 7 dư 3 và chia cho 13 dư 5.
Gọi số cần tìm là N thì N=7x+3=13y+5, dẫn tới 7x−13y=2. Một nghiệm là x=4, y=2, khi đó N=7×4+3=31. Kiểm tra lại: 31=7×4+3 và 31=13×2+5, thỏa mãn cả hai điều kiện. Các nghiệm lặp lại sau mỗi 7×13=91 nên số tiếp theo là 122, không phải nhỏ nhất. Còn 18=13+5 khi chia cho 7 dư 4 nên sai.
Đây là công cụ luyện tập với câu hỏi ngẫu nhiên (hoạt động khi JavaScript được bật). Bạn vẫn có thể đọc toàn bộ câu hỏi và phần giải thích ở trên.
* Tài liệu dùng để ôn tập nội dung học ở bậc THPT. Nếu cách viết hoặc cách trình bày khác với sách giáo khoa hay hướng dẫn của trường, hãy ưu tiên sách giáo khoa và lời giảng của giáo viên.
Trang này là bản dịch từ nguyên bản tiếng Nhật. Nếu nội dung bản dịch và nguyên bản khác nhau, bản tiếng Nhật sẽ được ưu tiên. Xem nguyên bản tiếng Nhật