圖形的性質、數學與人類活動（數學A，日本高中與數學Ⅰ並行的選修領域）

由角平分線的性質得 BD:DC=AB:AC=6:4=3:2，所以 BD=BC×3/5=5×3/5=3。把比弄反成 BD:DC=4:6 就會得到 BD=2（那其實是 DC 的長度）。靠近 B 的線段 BD，對應的是以 B 為端點的邊 AB。

重心把中線從頂點側以 2:1 內分，所以 AG:GM=2:1，得 AG=9×2/3=6。3 是 GM 的長度；9/2 則是與中點混淆、取了一半。

三邊中垂線的交點是外心。中垂線上的點到線段兩端等距離，所以外心到三個頂點等距離，也就是外接圓的圓心。內心是內角平分線的交點、重心是中線的交點、垂心則是各頂點到對邊之垂線的交點。

內角平分線的交點是內心。角平分線上的點到角的兩邊等距離，所以內心到三邊等距離，也就是內切圓的圓心。到三個頂點等距離的是外心，很容易混淆，建議把「內心＝內切圓＝到邊等距離」成組記住。

由中線定理，AB²+AC²=2(AM²+BM²)。因為 BM=4，所以 49+25=2(AM²+16)，74=2AM²+32，AM²=21，AM=√21。忘了右邊的 2（也就是忘了除以 2）就會從 74−16=58 得到 √58。BM 要用 BC 的一半 4。

BD:DC=AB:AC=8:6=4:3，所以 DC=BC×3/7=7×3/7=3。4 是 BD 的長度，要看清楚問的是哪一段。7/2 則是與中點混淆。

三角形中，邊愈長，它所對的角愈大。最長邊是 AB=7，它所對的角是 ∠C，所以 ∠C 最大（實際用餘弦定理算得 ∠C=120°）。別把最長邊兩端的角誤選成 ∠A 或 ∠B，要確認的是「邊所對的角」。

由西瓦定理，(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。因為 (AF/FB)×(2/3)×(1/2)=1，所以 AF/FB=3，即 AF:FB=3:1。比的方向（頂點→分點→頂點，一筆繞一圈）若寫反就會變成 1:3，所以要從 A 開始依繞行的順序寫。

∠IBC+∠ICB=(∠B+∠C)/2=(180°−70°)/2=55°，所以 ∠BIC=180°−55°=125°。用公式則是 ∠BIC=90°+∠A/2=90°+35°=125°。140° 是 2∠A，與外心的公式 ∠BOC=2∠A 混淆了。

外心 O 是外接圓的圓心，所以 ∠BOC 是弧 BC 所對的圓心角，而 ∠A 是同一段弧所對的圓周角，因此 ∠BOC=2∠A=100°。115° 是與內心的公式 90°+∠A/2 混淆；25° 則是把倍率的方向弄反、取了一半。

圓周角是圓心角的一半，所以 120°÷2=60°。240° 是反過來乘了 2。可以在圖上確認「圓周角×2＝圓心角」這個方向。

直徑 AB 所對的圓心角是 180°，所以圓周角 ∠ACB 是它的一半 90°（泰利斯定理），而且與 C 的位置無關，恆為定值。180° 是直接答了圓心角。

圓內接四邊形的對角和為 180°，所以 ∠C=180°−95°=85°。95° 是誤以為「對角相等」，但實際上不是相等，而是相加為 180°。

由弦切角定理，切線與弦 AB 的夾角 ∠TAB 等於該弦所對的圓周角 ∠ACB，所以是 65°。130° 是把圓周角與圓心角混淆而乘了 2；115° 則是誤用 180° 去減。

由圓冪定理，PA×PB=PC×PD。因為 3×4=2×PD，所以 PD=6。5 是用了像 3+4−2 這種加減的處理。圓冪定理成立的一定是「距離的乘積」相等。

由切線型的圓冪定理，PT²=PA×PB=4×9=36，所以 PT=6。停在 36 是忘了開平方。13/2 是 (4+9)/2，取成了平均而不是乘積。

PB=PA+AB=3+5=8。由圓冪定理 PA×PB=PC×PD，即 3×8=4×PD，所以 PD=6。若把 AB 的 5 直接當成 PB、列成 3×5=4×PD，就會得到 15/4。用外部的割線時，要取到離 P 較遠那個交點的長度。

從圓外一點所作兩條切線的切線段長相等，設從 A、B、C 出發的切線段長為 x、y、z，則 x+y=9、y+z=10、z+x=7。全部相加得 x+y+z=13（半周長 s），所以 AP=x=s−BC=13−10=3。6 是 BP（s−CA）、4 是從 C 出發的切線段長（s−AB），要看清楚問的是哪個頂點。

外公切線長為 √(d²−(r₁−r₂)²)=√(100−(4−2)²)=√96=4√6。8=√(100−36) 是用了半徑之和 (4+2)²，那是內公切線的長度。外公切線用差、內公切線用和，要分清楚。

圓周角與弧長成正比，所以三個內角是把 180° 依 3:4:5 分配而得的 45°、60°、75°。最大的內角是最長的弧 CA 所對的圓周角 ∠B，即 75°。90° 是與邊長比 3:4:5 的直角三角形混淆。

540=2×270=2×2×135=2²×135，而 135=27×5=3³×5，所以 540=2²×3³×5。驗算：4×27×5=540。2³×3²×5=360、2²×3²×5=180，都不相符。指數若標錯，乘回去檢查就能發現。

12=2²×3、18=2×3²。最小公倍數取各質因數指數較大者，即 2²×3²=36。6 是最大公因數。像 216=12×18÷1 那樣直接用乘積是錯的；由 G×L=a×b 可得 L=12×18÷6=36。72 雖然也是 12 與 18 的公倍數，但不是最小的那一個。

對兩數 a、b 有 G×L=a×b，所以 6×180=30×b，得 b=1080÷30=36。驗算：gcd(30,36)=6、lcm(30,36)=180，符合條件。60 或 90 從因倍數關係看容易被猜選，但用 G×L=ab 檢查就能唯一確定。

273=63×4+21，63=21×3+0。餘數變成 0，所以最後的除數 21 就是最大公因數。由 273=3×7×13、63=3²×7 也可確認 gcd=3×7=21。7 與 3 雖是公因數，但不是最大的。

319=143×2+33，143=33×4+11，33=11×3+0，所以最大公因數是 11。33 只是中途的餘數，輾轉相除要一直做到餘數為 0。由 319=11×29、143=11×13 也可確認。

110101₂=1×32+1×16+0×8+1×4+0×2+1×1=32+16+4+1=53。43 是把各位的權重反過來乘（等同於 101011₂）的錯誤。要注意最左邊是最高位（2⁵=32 那一位）。換句話說，110101₂ 就是 10 進位下的 53。

123÷5=24 餘 3，24÷5=4 餘 4，4÷5=0 餘 4。把餘數由下往上讀得 443₅。驗算：4×25+4×5+3=123。餘數由上往下讀就會變成 344₅，這是典型的錯誤。反過來說，443₅ 換回 10 進位就是 123。

換成十進位，1011₂=11、110₂=6，和是 17=16+1=10001₂。直接用二進位直式計算也一樣，只要跟好 1+1=10 的進位，就會得到 10001₂。漏掉一處進位就會變成 1111₂（15）或 10011₂（19）之類的值。

由 3(x−2)+5(y+1)=0 得 3(x−2)=−5(y+1)。因為 3 與 5 互質，x−2 必為 5 的倍數，所以 x=2+5k、y=−1−3k。x 配上對方的係數 5、y 配上對方的係數 3，而且符號相反。x=2+3k, y=−1−5k 在 k=0 時成立，但 k=1 時 3×5+5×(−6)=−15≠1，所以不對；x=2−5k, y=−1−3k 在 k=1 時 3×(−3)+5×(−4)=−29≠1，也不對。代回去檢查最保險。

設所求的數為 N，則 N=7x+3=13y+5，於是 7x−13y=2。x=4、y=2 是一組解，此時 N=7×4+3=31。驗算：31=7×4+3、31=13×2+5，符合條件。解每隔 7×13=91 出現一次，所以下一個是 122（它不是最小的）。18=13+5 除以 7 餘 4，並不符合。