SMA · Lab Ujian Berkala Matematika SMA
Soal dan pembahasan dapat dibaca dalam Bahasa Indonesia. Materi kuliah (artikel penjelasan) hanya tersedia dalam bahasa Jepang.
Lihat versi bahasa Jepang (dengan materi kuliah) →
Pada △ABC diketahui AB=6, AC=4, dan BC=5. Jika garis bagi ∠A memotong sisi BC di titik D, tentukan panjang BD.
Menurut sifat garis bagi sudut, BD:DC=AB:AC=6:4=3:2. Maka BD=BC×3/5=5×3/5=3. Bila perbandingannya tertukar menjadi BD:DC=4:6, hasilnya BD=2, padahal itu panjang DC. Ruas BD yang dekat ke B berpasangan dengan sisi AB yang mengapit B.
Titik tengah sisi BC pada △ABC adalah M dan titik beratnya adalah G. Jika panjang garis berat AM adalah 9, tentukan panjang AG.
Titik berat membagi garis berat dengan perbandingan 2:1 dihitung dari titik sudutnya, sehingga AG:GM=2:1. Maka AG=9×2/3=6. Nilai 3 adalah panjang GM, sedangkan 9/2 adalah kekeliruan karena tertukar dengan titik tengah lalu dibagi dua.
Ketiga garis sumbu dari ketiga sisi sebuah segitiga berpotongan di satu titik. Apakah nama titik itu?
Perpotongan ketiga garis sumbu sisi adalah titik pusat lingkaran luar. Karena titik pada garis sumbu berjarak sama dari kedua ujung ruas garisnya, titik itu berjarak sama dari ketiga titik sudut sehingga menjadi pusat lingkaran luarnya. Titik pusat lingkaran dalam berasal dari garis bagi sudut dalam, titik berat dari garis berat, dan titik tinggi dari garis tegak lurus dari titik sudut ke sisi di hadapannya.
Ketiga garis bagi sudut dalam sebuah segitiga berpotongan di satu titik, dan titik itu berjarak sama dari ketiga sisinya. Apakah nama titik itu?
Perpotongan garis bagi sudut dalam adalah titik pusat lingkaran dalam. Karena titik pada garis bagi sudut berjarak sama dari kedua kaki sudutnya, titik itu berjarak sama dari ketiga sisi sehingga menjadi pusat lingkaran dalamnya. Yang berjarak sama dari ketiga titik sudut adalah titik pusat lingkaran luar; karena mudah tertukar, hafalkan sepaket: lingkaran dalam berarti berjarak sama dari sisi-sisinya.
Pada △ABC diketahui AB=7, AC=5, dan BC=8. Jika titik tengah sisi BC adalah M, tentukan panjang garis berat AM.
Menurut dalil garis berat, AB²+AC²=2(AM²+BM²). Karena BM=4, maka 49+25=2(AM²+16), yaitu 74=2AM²+32, sehingga AM²=21 dan AM=√21. Bila angka 2 di ruas kanan lupa dikalikan (atau lupa dibagi), hasilnya 74−16=58 sehingga menjadi √58. Untuk BM dipakai separuh BC, yaitu 4.
Pada △ABC diketahui AB=8, AC=6, dan BC=7. Jika garis bagi ∠A memotong sisi BC di titik D, tentukan panjang DC.
BD:DC=AB:AC=8:6=4:3, sehingga DC=BC×3/7=7×3/7=3. Nilai 4 adalah panjang BD, jadi perhatikan ruas mana yang ditanyakan. Nilai 7/2 adalah kekeliruan karena tertukar dengan titik tengah.
Pada △ABC diketahui AB=7, BC=5, dan CA=3. Manakah sudut dalam terbesar pada segitiga ini?
Pada segitiga, makin panjang sisinya makin besar sudut di hadapannya. Sisi terpanjangnya AB=7, dan sudut di hadapannya adalah ∠C, sehingga ∠C yang terbesar (bila dihitung dengan aturan kosinus memang ∠C=120°). Agar ∠A atau ∠B tidak keliru dipilih karena tertukar dengan sudut-sudut pada ujung sisi terpanjang itu sendiri, pastikan yang dicari adalah sudut di hadapan sisinya.
Tiga garis AP, BP, dan CP yang melalui titik P di dalam △ABC memotong sisi di hadapannya, yaitu BC, CA, dan AB, berturut-turut di titik D, E, dan F. Jika BD:DC=2:3 dan CE:EA=1:2, tentukan AF:FB.
Menurut teorema Ceva, (AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1. Dari (AF/FB)×(2/3)×(1/2)=1 diperoleh AF/FB=3, sehingga AF:FB=3:1. Bila arah perbandingannya (urutan sekali jalan titik sudut → titik bagi → titik sudut) dibalik, hasilnya menjadi 1:3; karena itu tulislah menurut urutan mengelilingi segitiga yang dimulai dari A.
Pada △ABC diketahui ∠A=70° dan titik pusat lingkaran dalamnya adalah I. Tentukan besar ∠BIC.
∠IBC+∠ICB=(∠B+∠C)/2=(180°−70°)/2=55°, sehingga ∠BIC=180°−55°=125°. Dengan rumusnya, ∠BIC=90°+∠A/2=90°+35°=125°. Nilai 140° adalah 2∠A, yaitu kekeliruan karena tertukar dengan rumus titik pusat lingkaran luar ∠BOC=2∠A.
Pada segitiga lancip ABC diketahui ∠A=50° dan titik pusat lingkaran luarnya adalah O. Tentukan besar ∠BOC.
Karena O adalah pusat lingkaran luar, ∠BOC merupakan sudut pusat yang menghadap busur BC, sedangkan ∠A adalah sudut keliling yang menghadap busur yang sama. Maka ∠BOC=2∠A=100°. Nilai 115° adalah kekeliruan karena tertukar dengan rumus titik pusat lingkaran dalam 90°+∠A/2, sedangkan 25° karena arah pengalinya terbalik menjadi separuh.
Pada lingkaran O, sudut pusat yang menghadap sebuah busur adalah 120°. Tentukan besar sudut keliling yang menghadap busur yang sama.
Sudut keliling adalah separuh sudut pusat, sehingga 120°÷2=60°. Nilai 240° adalah kekeliruan karena justru dikalikan dua. Periksalah arah hubungannya lewat gambar: sudut keliling × 2 = sudut pusat.
Pada keliling lingkaran yang berdiameter ruas garis AB diambil titik C yang berbeda dari A dan B. Tentukan besar ∠ACB.
Sudut pusat yang menghadap diameter AB adalah 180°, sehingga sudut kelilingnya ∠ACB adalah separuhnya, yaitu 90° (teorema Thales). Nilainya tetap, tidak bergantung pada letak C. Nilai 180° adalah kekeliruan karena sudut pusatnya langsung dijawab.
Segi empat ABCD terletak pada sebuah lingkaran dengan ∠A=95°. Tentukan besar ∠C.
Pada segi empat yang titik-titik sudutnya terletak pada lingkaran, jumlah dua sudut dalam yang berhadapan adalah 180°. Maka ∠C=180°−95°=85°. Nilai 95° berasal dari salah paham bahwa sudut yang berhadapan itu sama besar; sebenarnya bukan sama besar, melainkan berjumlah 180°.
Garis singgung lingkaran O di titik A pada kelilingnya adalah AT, dan pada keliling lingkaran diambil dua titik B dan C. Jika ∠TAB=65°, tentukan besar sudut keliling ∠ACB yang menghadap busur AB, dengan C terletak pada busur di seberang busur yang dihadapi ∠TAB.
Menurut sifat sudut antara tali busur dan garis singgung, sudut ∠TAB yang dibentuk garis singgung dan tali busur AB sama besar dengan sudut keliling ∠ACB yang menghadap tali busur itu, yaitu 65°. Nilai 130° adalah kekeliruan karena dikalikan dua akibat tertukarnya sudut keliling dan sudut pusat, sedangkan 115° karena dikurangkan dari 180°.
Dua tali busur AB dan CD sebuah lingkaran berpotongan di titik P di dalam lingkaran. Jika PA=3, PB=4, dan PC=2, tentukan panjang PD.
Menurut dalil kuasa titik, PA×PB=PC×PD. Dari 3×4=2×PD diperoleh PD=6. Nilai 5 adalah kekeliruan karena diproses dengan penjumlahan atau pengurangan seperti 3+4−2. Pada dalil kuasa titik yang selalu sama besar adalah hasil kali jaraknya.
Dari titik P di luar lingkaran ditarik garis singgung PT, dan sebuah garis lain melalui P memotong lingkaran itu di dua titik A dan B. Jika PA=4 dan PB=9, tentukan panjang garis singgung PT.
Menurut dalil kuasa titik bentuk garis singgung, PT²=PA×PB=4×9=36, sehingga PT=6. Menjawab 36 berarti lupa menarik akar kuadratnya. Nilai 13/2 adalah (4+9)/2, yaitu kekeliruan karena yang diambil rata-ratanya, bukan hasil kalinya.
Dari titik P di luar lingkaran ditarik dua garis; yang satu memotong lingkaran di dua titik A dan B (PA=3, AB=5), yang lain memotongnya di dua titik C dan D (PC=4, PC<PD). Tentukan panjang PD.
PB=PA+AB=3+5=8. Menurut dalil kuasa titik, PA×PB=PC×PD, sehingga dari 3×8=4×PD diperoleh PD=6. Bila angka 5 pada AB langsung dipakai sebagai PB sehingga tertulis 3×5=4×PD, hasilnya 15/4. Pada garis potong dari titik di luar, yang dipakai adalah jarak sampai titik potong yang lebih jauh dari P.
Pada △ABC diketahui BC=10, CA=7, dan AB=9. Jika lingkaran dalam △ABC menyinggung sisi AB di titik P, tentukan panjang AP.
Karena dua garis singgung yang ditarik dari satu titik di luar lingkaran sama panjang, misalkan panjang garis singgung dari A, B, dan C berturut-turut x, y, z sehingga x+y=9, y+z=10, dan z+x=7. Bila semuanya dijumlahkan diperoleh x+y+z=13 (yaitu setengah keliling s), sehingga AP=x=s−BC=13−10=3. Nilai 6 adalah BP (yaitu s−CA) dan 4 adalah panjang garis singgung dari C (yaitu s−AB); perhatikan garis singgung dari titik sudut yang mana yang ditanyakan.
Terdapat lingkaran O berjari-jari 4 dan lingkaran O' berjari-jari 2 dengan jarak antarpusat 10. Tentukan panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran itu.
Panjang garis singgung persekutuan luar adalah √(d²−(r₁−r₂)²)=√(100−(4−2)²)=√96=4√6. Nilai 8=√(100−36) memakai kuadrat jumlah jari-jarinya (4+2)², dan itu justru panjang garis singgung persekutuan dalam. Bedakan pemakaiannya: persekutuan luar memakai selisih, persekutuan dalam memakai jumlah.
Tiga titik A, B, dan C pada keliling lingkaran membagi kelilingnya dengan perbandingan busur AB:busur BC:busur CA=3:4:5. Tentukan besar sudut dalam terbesar pada △ABC.
Karena sudut keliling sebanding dengan panjang busurnya, ketiga sudut dalamnya adalah hasil pembagian 180° dengan perbandingan 3:4:5, yaitu 45°, 60°, dan 75°. Sudut dalam terbesar adalah ∠B, yaitu sudut keliling yang menghadap busur terpanjang CA, sebesar 75°. Nilai 90° adalah kekeliruan karena tertukar dengan perbandingan sisi 3:4:5 pada segitiga siku-siku.
Nyatakan 540 dalam faktorisasi prima.
540=2×270=2×2×135=2²×135, dan 135=27×5=3³×5, sehingga 540=2²×3³×5. Pemeriksaannya, 4×27×5=540. Adapun 2³×3²×5=360 dan 2²×3²×5=180, keduanya tidak cocok. Kesalahan penempatan pangkat dapat diperiksa dengan mengalikannya kembali.
Tentukan kelipatan persekutuan terkecil dari 12 dan 18.
12=2²×3 dan 18=2×3². Kelipatan persekutuan terkecilnya diambil dari pangkat terbesar tiap faktor primanya, yaitu 2²×3²=36. Nilai 6 adalah faktor persekutuan terbesarnya. Memakai hasil kalinya begitu saja seperti 216=12×18÷1 adalah keliru; dari hubungan G×L=a×b dapat pula dihitung L=12×18÷6=36.
Faktor persekutuan terbesar dua bilangan asli adalah 6 dan kelipatan persekutuan terkecilnya 180. Jika salah satu bilangannya 30, tentukan bilangan yang lain.
Untuk dua bilangan a dan b berlaku G×L=a×b, sehingga dari 6×180=30×b diperoleh b=1080÷30=36. Pemeriksaannya, gcd(30,36)=6 dan lcm(30,36)=180, sesuai dengan syaratnya. Nilai 60 dan 90 mudah dipilih secara menerka dari hubungan faktor dan kelipatan, tetapi dengan G×L=ab jawabannya tertentu hanya satu.
Dengan algoritma Euklides, tentukan faktor persekutuan terbesar dari 273 dan 63.
273=63×4+21 dan 63=21×3+0. Karena sisanya sudah 0, pembagi terakhir yaitu 21 adalah faktor persekutuan terbesarnya. Dari 273=3×7×13 dan 63=3²×7 pun dapat dipastikan gcd=3×7=21. Nilai 7 dan 3 memang faktor persekutuan, tetapi bukan yang terbesar.
Dengan algoritma Euklides, tentukan faktor persekutuan terbesar dari 319 dan 143.
319=143×2+33, 143=33×4+11, dan 33=11×3+0, sehingga faktor persekutuan terbesarnya 11. Nilai 33 hanyalah sisa di tengah jalan; algoritma ini diteruskan sampai sisanya 0. Dari 319=11×29 dan 143=11×13 pun dapat dipastikan.
Nyatakan bilangan biner 110101₂ dalam bilangan desimal (basis 10).
110101₂=1×32+1×16+0×8+1×4+0×2+1×1=32+16+4+1=53. Nilai 43 adalah kekeliruan karena nilai tempatnya dikalikan dalam urutan terbalik (sama dengan 101011₂). Perhatikan bahwa digit paling kiri menempati nilai tempat tertinggi, yaitu 2⁵=32.
Nyatakan bilangan desimal (basis 10) 123 dalam sistem basis 5.
123÷5=24 sisa 3, 24÷5=4 sisa 4, dan 4÷5=0 sisa 4. Sisanya dibaca dari bawah ke atas sehingga menjadi 443₅. Pemeriksaannya, 4×25+4×5+3=123. Membaca sisanya dari atas ke bawah menghasilkan 344₅, dan itulah kekeliruan yang khas.
Nyatakan hasil perhitungan bilangan biner 1011₂+110₂ dalam bilangan biner.
Bila diubah ke desimal, 1011₂=11 dan 110₂=6, sehingga jumlahnya 17=16+1=10001₂. Dihitung bersusun dalam biner pun hasilnya 10001₂ asalkan penyimpanan 1+1=10 diikuti dengan cermat. Bila satu penyimpanan terlewat, hasilnya menjadi seperti 1111₂ (yaitu 15) atau 10011₂ (yaitu 19).
Salah satu penyelesaian bulat persamaan 3x+5y=1 adalah x=2, y=−1. Manakah bentuk yang menyatakan semua penyelesaian bulatnya, dengan k bilangan bulat?
Dari 3(x−2)+5(y+1)=0 diperoleh 3(x−2)=−5(y+1). Karena 3 dan 5 saling prima, x−2 haruslah kelipatan 5, sehingga x=2+5k dan y=−1−3k. Pada x melekat koefisien pasangannya, yaitu 5, dan pada y melekat 3, dengan tanda yang berlawanan. Bentuk x=2+3k, y=−1−5k memang berlaku untuk k=0 tetapi untuk k=1 memberi 3×5+5×(−6)=−15≠1 sehingga keliru. Bentuk x=2−5k, y=−1−3k juga keliru karena untuk k=1 memberi 3×(−3)+5×(−4)=−29≠1. Cara yang pasti adalah memeriksanya lewat substitusi.
Di antara bilangan asli yang bersisa 3 bila dibagi 7 dan bersisa 5 bila dibagi 13, tentukan yang terkecil.
Misalkan bilangan yang dicari N, maka N=7x+3=13y+5 sehingga 7x−13y=2. Satu pasang penyelesaiannya x=4, y=2, dan untuk itu N=7×4+3=31. Pemeriksaannya, 31=7×4+3 dan 31=13×2+5, sesuai dengan syaratnya. Penyelesaiannya berulang setiap 7×13=91, sehingga berikutnya 122 (yang bukan terkecil). Adapun 18=13+5 bersisa 4 bila dibagi 7 sehingga keliru.
Ini adalah alat latihan dengan soal acak (berfungsi jika JavaScript aktif). Semua soal dan penjelasan di atas tetap dapat dibaca tanpa alat ini.
* Materi ini untuk mengecek isi pelajaran SMA. Jika penulisan atau penjelasannya berbeda dengan buku pelajaran atau pengajaran di sekolah, utamakan buku pelajaran dan penjelasan guru.
Halaman ini adalah terjemahan dari teks asli berbahasa Jepang. Jika terdapat perbedaan antara terjemahan dan teks asli, versi bahasa Jepang yang berlaku. Lihat teks asli bahasa Jepang