สมบัติของรูปเรขาคณิต คณิตศาสตร์กับกิจกรรมของมนุษย์

จากสมบัติของเส้นแบ่งครึ่งมุมได้ BD:DC=AB:AC=6:4=3:2 จึงได้ BD=BC×3/5=5×3/5=3 ถ้าสลับอัตราส่วนเป็น BD:DC=4:6 จะได้ 2 ซึ่งที่จริงเป็นความยาว DC ให้จำว่าส่วนของเส้นตรง BD ที่อยู่ใกล้ B สอดคล้องกับด้าน AB ที่ประกอบมุมที่ B

จุดเซนทรอยด์แบ่งเส้นมัธยฐานในอัตราส่วน 2:1 โดยนับจากฝั่งจุดยอด จึงมี AG:GM=2:1 ได้ AG=9×2/3=6 ข้อ 3 คือความยาว GM และ 9/2 เกิดจากสับสนกับจุดกึ่งกลางแล้วแบ่งครึ่ง

จุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งและตั้งฉากของด้านทั้งสามคือจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบ เพราะจุดบนเส้นแบ่งครึ่งและตั้งฉากอยู่ห่างจากปลายทั้งสองของส่วนของเส้นตรงเท่ากัน จุดนี้จึงอยู่ห่างจากจุดยอดทั้งสามเท่ากัน และเป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมล้อมรอบ ส่วนจุดศูนย์กลางวงกลมแนบในเกิดจากเส้นแบ่งครึ่งมุมภายใน จุดเซนทรอยด์เกิดจากเส้นมัธยฐาน และจุดออร์โทเซนเตอร์เกิดจากเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุดยอดไปยังด้านตรงข้าม

จุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งมุมภายในคือจุดศูนย์กลางวงกลมแนบใน เพราะจุดบนเส้นแบ่งครึ่งมุมอยู่ห่างจากแขนทั้งสองของมุมเท่ากัน จุดนี้จึงอยู่ห่างจากด้านทั้งสามเท่ากัน และเป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมแนบใน ส่วนจุดที่อยู่ห่างจากจุดยอดทั้งสามเท่ากันคือจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบ ซึ่งสับสนกันง่าย ให้จำเป็นชุดว่า วงกลมแนบใน คู่กับ ห่างจากด้านเท่ากัน

จากทฤษฎีบทเส้นมัธยฐาน AB²+AC²=2(AM²+BM²) เนื่องจาก BM=4 จึงได้ 49+25=2(AM²+16) นั่นคือ 74=2AM²+32 และ AM²=21 จึงได้ AM=√21 ถ้าลืมเลข 2 ที่คูณอยู่ทางขวา คือลืมหารด้วย 2 จะได้ 74−16=58 แล้วตอบ √58 ค่า BM ต้องใช้ครึ่งหนึ่งของ BC ซึ่งเท่ากับ 4

BD:DC=AB:AC=8:6=4:3 จึงได้ DC=BC×3/7=7×3/7=3 ข้อ 4 คือความยาว BD จึงต้องดูให้ดีว่าโจทย์ถามส่วนของเส้นตรงใด ส่วน 7/2 เกิดจากสับสนกับจุดกึ่งกลาง

ในสามเหลี่ยม ด้านที่ยาวกว่าจะมีมุมตรงข้ามที่ใหญ่กว่า ด้านที่ยาวที่สุดคือ AB=7 และมุมตรงข้ามคือ ∠C ดังนั้น ∠C จึงใหญ่ที่สุด ซึ่งเมื่อคำนวณด้วยกฎของโคไซน์จะได้ ∠C=120° ให้ตรวจคำว่าตรงข้ามด้านให้ดี จะได้ไม่เผลอเลือก ∠A หรือ ∠B ซึ่งเป็นมุมที่ปลายทั้งสองของด้านที่ยาวที่สุดเอง

จากทฤษฎีบทเชวา (AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1 จึงมี (AF/FB)×(2/3)×(1/2)=1 ได้ AF/FB=3 นั่นคือ AF:FB=3:1 ถ้ากลับทิศของอัตราส่วนจะได้ 1:3 จึงควรเขียนตามลำดับการเดินรอบรูปคือ จุดยอด ไปจุดแบ่ง ไปจุดยอด โดยเริ่มจาก A แล้ววนกลับมา

∠IBC+∠ICB=(∠B+∠C)/2=(180°−70°)/2=55° จึงได้ ∠BIC=180°−55°=125° หรือใช้สูตร ∠BIC=90°+∠A/2=90°+35°=125° ข้อ 140° คือ 2∠A ซึ่งเกิดจากสับสนกับสูตรของจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบที่ว่า ∠BOC=2∠A

จุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมล้อมรอบ ∠BOC จึงเป็นมุมที่จุดศูนย์กลางซึ่งรองรับส่วนโค้ง BC และ ∠A เป็นมุมในส่วนโค้งที่รองรับส่วนโค้งเดียวกัน ดังนั้น ∠BOC=2∠A=100° ข้อ 115° เกิดจากสับสนกับสูตรของจุดศูนย์กลางวงกลมแนบในคือ 90°+∠A/2 และ 25° เกิดจากกลับทิศของการแบ่งครึ่ง

มุมในส่วนโค้งเท่ากับครึ่งหนึ่งของมุมที่จุดศูนย์กลาง จึงได้ 120°÷2=60° ข้อ 240° เกิดจากคูณสองในทางกลับกัน ให้ดูรูปเพื่อยืนยันทิศทางของความสัมพันธ์ที่ว่า มุมในส่วนโค้ง คูณสอง เท่ากับ มุมที่จุดศูนย์กลาง

มุมที่จุดศูนย์กลางซึ่งรองรับเส้นผ่านศูนย์กลาง AB เท่ากับ 180° มุมในส่วนโค้ง ∠ACB จึงเป็นครึ่งหนึ่งคือ 90° ตามทฤษฎีบทของทาลีส และค่านี้คงที่ไม่ว่า C จะอยู่ที่ตำแหน่งใด ข้อ 180° เกิดจากตอบมุมที่จุดศูนย์กลางไปเลย

ในรูปสี่เหลี่ยมที่แนบในวงกลม มุมภายในที่อยู่ตรงข้ามกันรวมกันได้ 180° จึงได้ ∠C=180°−95°=85° ข้อ 95° เกิดจากเข้าใจผิดว่ามุมตรงข้ามเท่ากัน ทั้งที่ไม่ได้เท่ากันแต่รวมกันได้ 180°

จากทฤษฎีบทมุมระหว่างเส้นสัมผัสกับคอร์ด มุม ∠TAB ที่เส้นสัมผัสทำกับคอร์ด AB เท่ากับมุมในส่วนโค้ง ∠ACB ที่รองรับคอร์ดนั้น จึงเท่ากับ 65° ข้อ 130° เกิดจากสับสนระหว่างมุมในส่วนโค้งกับมุมที่จุดศูนย์กลางแล้วคูณสอง และ 115° เกิดจากนำไปลบออกจาก 180°

จากทฤษฎีบทกำลังของจุด PA×PB=PC×PD จึงมี 3×4=2×PD ได้ PD=6 ข้อ 5 เกิดจากไปจัดการด้วยผลบวกหรือผลต่างอย่าง 3+4−2 หลักของทฤษฎีบทนี้คือผลคูณของระยะทางต้องเท่ากันเสมอ

จากทฤษฎีบทกำลังของจุดแบบเส้นสัมผัส PT²=PA×PB=4×9=36 จึงได้ PT=6 การตอบ 36 ไปเลยคือการลืมถอดรากที่สอง ส่วน 13/2 คือ (4+9)/2 ซึ่งเกิดจากหาค่าเฉลี่ยแทนที่จะเป็นผลคูณ

PB=PA+AB=3+5=8 จากทฤษฎีบทกำลังของจุด PA×PB=PC×PD จึงมี 3×8=4×PD ได้ PD=6 ถ้าใช้ค่า 5 ของ AB เป็น PB แล้วคิดเป็น 3×5=4×PD จะได้ 15/4 สำหรับเส้นตัดที่ลากจากภายนอก ต้องใช้ระยะจากจุด P ถึงจุดตัดที่อยู่ไกลกว่า

เส้นสัมผัสสองเส้นที่ลากจากจุดเดียวกันภายนอกวงกลมยาวเท่ากัน ให้ความยาวเส้นสัมผัสจาก A, B และ C เป็น x, y และ z จะได้ x+y=9, y+z=10 และ z+x=7 บวกกันทั้งหมดได้ x+y+z=13 ซึ่งเป็นครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูป คือ s ดังนั้น AP=x=s−BC=13−10=3 ข้อ 6 คือ BP ซึ่งเท่ากับ s−CA และ 4 คือความยาวเส้นสัมผัสจาก C ซึ่งเท่ากับ s−AB จึงต้องดูให้ดีว่าเป็นเส้นสัมผัสจากจุดยอดใด

ความยาวของเส้นสัมผัสร่วมภายนอกเท่ากับ √(d²−(r₁−r₂)²)=√(100−(4−2)²)=√96=4√6 ส่วน 8 ซึ่งเท่ากับ √(100−36) เป็นค่าที่ใช้ผลบวกของรัศมีคือ (4+2)² ซึ่งที่จริงเป็นความยาวของเส้นสัมผัสร่วมภายใน ให้จำแยกกันว่าเส้นสัมผัสร่วมภายนอกใช้ผลต่าง และเส้นสัมผัสร่วมภายในใช้ผลบวก

มุมในส่วนโค้งแปรผันตรงกับความยาวส่วนโค้ง มุมภายในทั้งสามจึงเป็นการแบ่ง 180° ตามอัตราส่วน 3:4:5 ได้ 45°, 60° และ 75° มุมภายในที่ใหญ่ที่สุดคือมุมในส่วนโค้งที่รองรับส่วนโค้ง CA ซึ่งยาวที่สุด นั่นคือ ∠B เท่ากับ 75° ข้อ 90° เกิดจากสับสนกับอัตราส่วนด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากแบบ 3:4:5

540=2×270=2×2×135=2²×135 และ 135=27×5=3³×5 จึงได้ 540=2²×3³×5 ตรวจได้ว่า 4×27×5=540 ส่วน 2³×3²×5=360 และ 2²×3²×5=180 ซึ่งไม่ตรงกัน เมื่อไม่แน่ใจเรื่องเลขชี้กำลัง ให้คูณกลับเพื่อตรวจสอบ

12=2²×3 และ 18=2×3² ตัวคูณร่วมน้อยได้จากการเลือกเลขชี้กำลังที่มากกว่าของตัวประกอบเฉพาะแต่ละตัว คือ 2²×3²=36 ข้อ 6 คือตัวหารร่วมมาก ส่วน 216 ซึ่งเป็นผลคูณ 12×18 นั้นใช้ตรง ๆ ไม่ได้ แต่จากความสัมพันธ์ที่ว่า ตัวหารร่วมมาก คูณ ตัวคูณร่วมน้อย เท่ากับผลคูณของสองจำนวน จะได้ 12×18÷6=36 ส่วน 72 กับ 216 เป็นพหุคูณร่วมก็จริง แต่ไม่ใช่ตัวที่น้อยที่สุด

สำหรับจำนวน a กับ b มีความสัมพันธ์ G×L=a×b จึงได้ 6×180=30×b นั่นคือ b=1080÷30=36 ตรวจได้ว่า gcd(30,36)=6 และ lcm(30,36)=180 ซึ่งตรงเงื่อนไข ข้อ 60 กับ 90 เป็นค่าที่เดาได้ง่ายจากความสัมพันธ์เรื่องตัวหารและพหุคูณ แต่เมื่อตรวจด้วย G×L=ab แล้วจะเหลือคำตอบเดียว

273=63×4+21 และ 63=21×3+0 เมื่อเศษเป็น 0 แล้ว ตัวหารตัวสุดท้ายคือ 21 ซึ่งเป็นตัวหารร่วมมาก ตรวจจาก 273=3×7×13 และ 63=3²×7 ก็ได้ว่าตัวหารร่วมมากเท่ากับ 3×7=21 ส่วน 7 กับ 3 เป็นตัวหารร่วมก็จริงแต่ไม่ใช่ตัวที่มากที่สุด

319=143×2+33 แล้ว 143=33×4+11 แล้ว 33=11×3+0 ตัวหารร่วมมากจึงเท่ากับ 11 ข้อ 33 เป็นเศษระหว่างทาง ขั้นตอนวิธียุคลิดต้องทำต่อไปจนกว่าเศษจะเป็น 0 ตรวจจาก 319=11×29 และ 143=11×13 ก็ได้ผลเดียวกัน

110101₂=1×32+1×16+0×8+1×4+0×2+1×1=32+16+4+1=53 ข้อ 43 เกิดจากคูณค่าประจำหลักในลำดับกลับกัน ซึ่งเท่ากับ 101011₂ ให้ระวังว่าหลักซ้ายสุดเป็นหลักที่มีค่ามากที่สุด นั่นคือหลักของ 2⁵=32

123÷5=24 เศษ 3 แล้ว 24÷5=4 เศษ 4 แล้ว 4÷5=0 เศษ 4 อ่านเศษจากล่างขึ้นบนได้ 443₅ ตรวจได้ว่า 4×25+4×5+3=123 ความผิดพลาดแบบฉบับคืออ่านเศษจากบนลงล่างจนได้ 344₅

เมื่อเปลี่ยนเป็นฐานสิบ 1011₂=11 และ 110₂=6 ผลรวมคือ 17=16+1=10001₂ ถ้าตั้งบวกในฐานสองโดยตรง เพียงไล่การทดจาก 1+1=10 ก็ได้ 10001₂ เช่นกัน ถ้าทำการทดตกไปหนึ่งตำแหน่งจะได้ค่าอย่าง 1111₂ ซึ่งเท่ากับ 15 หรือ 10011₂ ซึ่งเท่ากับ 19

จาก 3(x−2)+5(y+1)=0 ได้ 3(x−2)=−5(y+1) เนื่องจาก 3 กับ 5 เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ ค่า x−2 จึงต้องเป็นพหุคูณของ 5 ได้ x=2+5k และ y=−1−3k โดย x จะได้สัมประสิทธิ์ของอีกฝ่ายคือ 5 และ y จะได้สัมประสิทธิ์ของอีกฝ่ายคือ 3 พร้อมกับเครื่องหมายที่กลับกัน ข้อ x=2+3k, y=−1−5k ใช้ได้เมื่อ k=0 แต่เมื่อ k=1 จะได้ 3×5+5×(−6)=−15≠1 จึงผิด และ x=2−5k, y=−1−3k เมื่อ k=1 จะได้ 3×(−3)+5×(−4)=−29≠1 จึงผิดเช่นกัน วิธีที่แน่นอนคือแทนค่ากลับเพื่อตรวจสอบ

ให้จำนวนที่ต้องการเป็น N จะได้ N=7x+3=13y+5 นั่นคือ 7x−13y=2 คำตอบชุดหนึ่งคือ x=4 และ y=2 ซึ่งให้ N=7×4+3=31 ตรวจได้ว่า 31=7×4+3 และ 31=13×2+5 ซึ่งตรงเงื่อนไข คำตอบจะปรากฏทุก ๆ 7×13=91 ค่าถัดไปจึงเป็น 122 ซึ่งไม่ใช่ค่าที่น้อยที่สุด ส่วน 18 ซึ่งเท่ากับ 13+5 นั้นเมื่อหารด้วย 7 จะเหลือเศษ 4 จึงผิด