Lycée · Maths au lycée : labo des contrôles
Les questions et les explications sont disponibles en Français. Les cours (articles explicatifs) n'existent qu'en japonais.
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Dans le triangle ABC, AB=6, AC=4 et BC=5. La bissectrice de l'angle A coupe le côté BC en D. Quelle est la longueur de BD ?
La propriété de la bissectrice donne BD:DC=AB:AC=6:4=3:2, donc BD=BC×3/5=5×3/5=3. Intervertir le rapport et écrire BD:DC=4:6 donne BD=2, qui est en fait la longueur DC. Le segment BD, proche de B, correspond au côté AB, qui aboutit à B.
Dans le triangle ABC, M est le milieu du côté BC et G le centre de gravité. Si la médiane AM mesure 9, quelle est la longueur de AG ?
Le centre de gravité partage la médiane dans le rapport 2:1 à partir du sommet, donc AG:GM=2:1 et AG=9×2/3=6. La valeur 3 est la longueur GM, et 9/2 vient d'une confusion avec le milieu, en prenant la moitié.
Les médiatrices des trois côtés d'un triangle se coupent en un même point. Comment appelle-t-on ce point ?
Le point d'intersection des trois médiatrices est le centre du cercle circonscrit. Tout point d'une médiatrice étant équidistant des deux extrémités du segment, ce point est équidistant des trois sommets : c'est le centre du cercle circonscrit. Le centre du cercle inscrit vient des bissectrices intérieures, le centre de gravité des médianes, et l'orthocentre des hauteurs issues des sommets.
Les bissectrices des trois angles intérieurs d'un triangle se coupent en un même point, équidistant des trois côtés. Comment appelle-t-on ce point ?
Le point d'intersection des bissectrices intérieures est le centre du cercle inscrit. Tout point d'une bissectrice étant équidistant des deux côtés de l'angle, ce point est équidistant des trois côtés : c'est le centre du cercle inscrit. Le point équidistant des trois sommets est le centre du cercle circonscrit ; pour éviter la confusion, on retient ensemble cercle inscrit et équidistance aux côtés.
Dans le triangle ABC, AB=7, AC=5 et BC=8. Si M est le milieu du côté BC, quelle est la longueur de la médiane AM ?
Le théorème de la médiane donne AB²+AC²=2(AM²+BM²). Comme BM=4, on a 49+25=2(AM²+16), soit 74=2AM²+32, AM²=21 et AM=√21. Oublier le facteur 2 du second membre conduit à 74−16=58, donc à √58. Il faut bien prendre pour BM la moitié de BC, soit 4.
Dans le triangle ABC, AB=8, AC=6 et BC=7. La bissectrice de l'angle A coupe le côté BC en D. Quelle est la longueur de DC ?
BD:DC=AB:AC=8:6=4:3, donc DC=BC×3/7=7×3/7=3. La valeur 4 est la longueur BD : il faut vérifier lequel des deux segments est demandé. La valeur 7/2 vient d'une confusion avec le milieu.
Dans le triangle ABC, AB=7, BC=5 et CA=3. Quel est le plus grand angle intérieur de ce triangle ?
Dans un triangle, à un côté plus grand correspond un angle opposé plus grand. Le plus grand côté est AB=7 et l'angle qui lui est opposé est ∠C : c'est donc ∠C le plus grand, et le calcul par la loi des cosinus donne d'ailleurs ∠C=120°. Pour ne pas choisir ∠A ou ∠B, qui sont les angles aux extrémités de ce côté, il faut bien prendre l'angle opposé.
Soit P un point intérieur au triangle ABC. Les droites AP, BP et CP coupent respectivement les côtés opposés BC, CA et AB en D, E et F. Si BD:DC=2:3 et CE:EA=1:2, que vaut AF:FB ?
Le théorème de Ceva donne (AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1. De (AF/FB)×(2/3)×(1/2)=1 on tire AF/FB=3, donc AF:FB=3:1. Inverser le sens du rapport, c'est-à-dire l'ordre du parcours sommet, point de division, sommet, donne 1:3 : il faut écrire les rapports en parcourant le triangle en partant de A.
Dans le triangle ABC, ∠A=70° et I est le centre du cercle inscrit. Quelle est la mesure de l'angle ∠BIC ?
∠IBC+∠ICB=(∠B+∠C)/2=(180°−70°)/2=55°, donc ∠BIC=180°−55°=125°. La formule directe donne ∠BIC=90°+∠A/2=90°+35°=125°. La réponse 140° vaut 2∠A et vient d'une confusion avec la formule ∠BOC=2∠A relative au centre du cercle circonscrit.
Dans le triangle acutangle ABC, ∠A=50° et O est le centre du cercle circonscrit. Quelle est la mesure de l'angle ∠BOC ?
Le point O étant le centre du cercle circonscrit, ∠BOC est l'angle au centre associé à l'arc BC et ∠A l'angle inscrit associé au même arc, d'où ∠BOC=2∠A=100°. La réponse 115° vient d'une confusion avec la formule 90°+∠A/2 relative au centre du cercle inscrit, et 25° d'avoir divisé au lieu de multiplier.
Dans un cercle de centre O, un arc est associé à un angle au centre de 120°. Quelle est la mesure de l'angle inscrit associé au même arc ?
Un angle inscrit vaut la moitié de l'angle au centre : 120°÷2=60°. La réponse 240° double au lieu de diviser. Il est utile de vérifier sur une figure le sens de la relation : angle inscrit multiplié par 2 égale angle au centre.
Sur un cercle de diamètre [AB], on place un point C distinct de A et B. Quelle est la mesure de l'angle ∠ACB ?
L'angle au centre associé au diamètre AB vaut 180°, donc l'angle inscrit ∠ACB en vaut la moitié, soit 90° : c'est le théorème de Thalès relatif au cercle. Cette valeur ne dépend pas de la position de C. La réponse 180° reprend l'angle au centre.
Le quadrilatère ABCD est inscrit dans un cercle et ∠A=95°. Quelle est la mesure de ∠C ?
Dans un quadrilatère inscrit dans un cercle, deux angles opposés sont supplémentaires : ∠C=180°−95°=85°. La réponse 95° repose sur l'idée fausse que les angles opposés seraient égaux, alors que c'est leur somme qui vaut 180°.
Soit AT la tangente au cercle de centre O au point A du cercle, et B, C deux points du cercle. Si ∠TAB=65°, quelle est la mesure de l'angle inscrit ∠ACB associé à l'arc AB, le point C se trouvant sur l'arc opposé à celui que délimite ∠TAB ?
D'après le théorème de l'angle entre tangente et corde, l'angle ∠TAB formé par la tangente et la corde AB est égal à l'angle inscrit ∠ACB associé à cette corde, soit 65°. La réponse 130° double en confondant angle inscrit et angle au centre, et 115° soustrait de 180°.
Deux cordes AB et CD d'un cercle se coupent en un point P intérieur au cercle. Si PA=3, PB=4 et PC=2, quelle est la longueur de PD ?
Le théorème de la puissance d'un point donne PA×PB=PC×PD, soit 3×4=2×PD et PD=6. La réponse 5 vient d'avoir traité les données par sommes et différences, comme dans 3+4−2. La puissance d'un point porte toujours sur l'égalité de produits de distances.
Depuis un point P extérieur à un cercle, on trace la tangente PT ; une droite passant par P coupe le cercle en deux points A et B. Si PA=4 et PB=9, quelle est la longueur de la tangente PT ?
La forme tangente du théorème de la puissance d'un point donne PT²=PA×PB=4×9=36, donc PT=6. Répondre 36 revient à oublier d'extraire la racine carrée. La valeur 13/2 est (4+9)/2 et provient d'avoir pris une moyenne au lieu d'un produit.
Depuis un point P extérieur à un cercle, on trace deux droites : l'une coupe le cercle en A et B, avec PA=3 et AB=5, l'autre en C et D, avec PC=4 et PC<PD. Quelle est la longueur de PD ?
On a PB=PA+AB=3+5=8. Le théorème de la puissance d'un point donne PA×PB=PC×PD, soit 3×8=4×PD et PD=6. Prendre 5, la longueur AB, comme valeur de PB et écrire 3×5=4×PD donne 15/4. Pour des sécantes issues d'un point extérieur, on utilise la distance au point d'intersection le plus éloigné de P.
Dans le triangle ABC, BC=10, CA=7 et AB=9. Le cercle inscrit touche le côté AB au point P. Quelle est la longueur de AP ?
Les deux segments tangents issus d'un même point extérieur ont la même longueur. En notant x, y et z les longueurs des tangentes issues de A, B et C, on a x+y=9, y+z=10 et z+x=7. La somme donne x+y+z=13, le demi-périmètre s, donc AP=x=s−BC=13−10=3. La valeur 6 est BP, égale à s−CA, et 4 est la tangente issue de C, égale à s−AB : il faut repérer de quel sommet part la tangente.
Deux cercles de centres O et O' ont pour rayons 4 et 2, et la distance entre leurs centres vaut 10. Quelle est la longueur de leur tangente commune extérieure ?
La longueur de la tangente commune extérieure vaut √(d²−(r₁−r₂)²)=√(100−(4−2)²)=√96=4√6. La valeur 8=√(100−36) utilise la somme des rayons (4+2)², qui donne la longueur de la tangente commune intérieure. On retient : différence des rayons pour la tangente extérieure, somme pour la tangente intérieure.
Trois points A, B et C d'un cercle le partagent en trois arcs vérifiant arc AB : arc BC : arc CA = 3:4:5. Quelle est la mesure du plus grand angle intérieur du triangle ABC ?
Un angle inscrit est proportionnel à la longueur de son arc, donc les trois angles partagent 180° dans le rapport 3:4:5, soit 45°, 60° et 75°. Le plus grand est l'angle ∠B, inscrit dans le plus grand arc CA, et vaut 75°. La réponse 90° vient d'une confusion avec le triangle rectangle de côtés proportionnels à 3:4:5.
Quelle est la décomposition de 540 en facteurs premiers ?
540=2×270=2×2×135=2²×135, puis 135=27×5=3³×5, d'où 540=2²×3³×5. Vérification : 4×27×5=540. En revanche 2³×3²×5=360 et 2²×3²×5=180 ne conviennent pas. En cas de doute sur les exposants, on recompose le produit pour vérifier.
Quel est le plus petit commun multiple de 12 et 18 ?
12=2²×3 et 18=2×3². Le plus petit commun multiple prend le plus grand exposant de chaque facteur premier : 2²×3²=36. La valeur 6 est le plus grand commun diviseur. Prendre simplement le produit, comme dans 216, est faux ; de la relation G×L=a×b on tire L=12×18÷6=36.
Deux entiers naturels ont pour plus grand commun diviseur 6 et pour plus petit commun multiple 180. Si l'un vaut 30, quel est l'autre ?
Pour deux nombres a et b, on a G×L=a×b, donc 6×180=30×b et b=1080÷30=36. Vérification : pgcd(30,36)=6 et ppcm(30,36)=180, ce qui satisfait les conditions. Les valeurs 60 et 90 se choisissent facilement au hasard parmi les multiples, mais la relation G×L=ab détermine une seule réponse.
En utilisant l'algorithme d'Euclide, quel est le plus grand commun diviseur de 273 et 63 ?
273=63×4+21 puis 63=21×3+0. Le reste étant nul, le dernier diviseur, 21, est le plus grand commun diviseur. Les décompositions 273=3×7×13 et 63=3²×7 le confirment : le pgcd vaut 3×7=21. Les valeurs 7 et 3 sont bien des diviseurs communs, mais ce ne sont pas les plus grands.
En utilisant l'algorithme d'Euclide, quel est le plus grand commun diviseur de 319 et 143 ?
319=143×2+33, puis 143=33×4+11, puis 33=11×3+0 : le plus grand commun diviseur vaut 11. La valeur 33 est un reste intermédiaire ; l'algorithme se poursuit jusqu'à un reste nul. Les décompositions 319=11×29 et 143=11×13 le confirment.
Quelle est l'écriture en base 10 du nombre binaire 110101₂ ?
110101₂=1×32+1×16+0×8+1×4+0×2+1×1=32+16+4+1=53. La réponse 43 vient d'avoir appliqué les poids dans l'ordre inverse, ce qui revient à lire 101011₂. Le chiffre de gauche est celui de poids le plus fort, ici 2⁵=32.
Quelle est l'écriture en base 5 du nombre 123 écrit en base 10 ?
123÷5=24 reste 3, puis 24÷5=4 reste 4, puis 4÷5=0 reste 4. En lisant les restes du dernier au premier, on obtient 443₅. Vérification : 4×25+4×5+3=123. Lire les restes dans l'autre sens donne 344₅, l'erreur typique.
Quel est le résultat de l'addition binaire 1011₂+110₂, exprimé en binaire ?
En décimal, 1011₂=11 et 110₂=6, dont la somme vaut 17=16+1=10001₂. Posée directement en binaire, l'addition donne le même résultat en suivant les retenues, puisque 1+1=10. Omettre une retenue conduit à des valeurs comme 1111₂, qui vaut 15, ou 10011₂, qui vaut 19.
Une solution entière de l'équation 3x+5y=1 est x=2, y=−1. Quelle expression donne toutes les solutions entières, k désignant un entier ?
De 3(x−2)+5(y+1)=0 on tire 3(x−2)=−5(y+1). Comme 3 et 5 sont premiers entre eux, x−2 est un multiple de 5, d'où x=2+5k et y=−1−3k : x reçoit le coefficient 5 de l'autre inconnue et y le coefficient 3, avec des signes opposés. La proposition x=2+3k, y=−1−5k convient pour k=0, mais pour k=1 elle donne 3×5+5×(−6)=−15≠1 ; de même x=2−5k, y=−1−3k donne pour k=1 : 3×(−3)+5×(−4)=−29≠1. Le plus sûr est de substituer pour vérifier.
Quel est le plus petit entier naturel dont le reste dans la division par 7 vaut 3 et le reste dans la division par 13 vaut 5 ?
En notant N ce nombre, N=7x+3=13y+5, donc 7x−13y=2. Une solution est x=4, y=2, et alors N=7×4+3=31. Vérification : 31=7×4+3 et 31=13×2+5, les deux conditions sont satisfaites. Les solutions se répètent tous les 7×13=91, la suivante étant 122, qui n'est donc pas la plus petite. La valeur 18=13+5 donne un reste de 4 dans la division par 7 et ne convient pas.
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