图形的性质、数学与人类的活动

由角平分线的性质得 BD:DC=AB:AC=6:4=3:2。所以 BD=BC×3/5=5×3/5=3。把比弄反、写成 BD:DC=4:6，就会得到 BD=2（那其实是 DC 的长）。靠近 B 的线段 BD 对应的是以 B 为端点的边 AB。

重心把中线从顶点一侧按 2:1 内分，所以 AG:GM=2:1。因此 AG=9×2/3=6。3 是 GM 的长。9/2 是与中点混淆、取了一半的错误。

三条边的垂直平分线的交点是外心。垂直平分线上的点到线段两端等距离，所以外心到三个顶点等距离，是外接圆的圆心。内心是内角平分线的交点，重心是中线的交点，垂心是从顶点向对边所作垂线的交点。

内角平分线的交点是内心。角平分线上的点到角的两边等距离，所以内心到三边等距离，是内切圆的圆心。到三个顶点等距离的是外心，两者容易混淆，可以把“内心＝内切圆＝到边等距离”成套记住。

由中线定理得 AB²+AC²=2(AM²+BM²)。因为 BM=4，所以 49+25=2(AM²+16)，74=2AM²+32，AM²=21，AM=√21。忘了右边的 2（即忘了除以 2）就会由 74−16=58 得到 √58。BM 要用 BC 的一半 4。

BD:DC=AB:AC=8:6=4:3。所以 DC=BC×3/7=7×3/7=3。4 是 BD 的长，要看清问的是哪一条线段。7/2 是与中点混淆的错误。

在三角形中，边越大，它所对的角越大。最大边是 AB=7，它所对的角是 ∠C，所以 ∠C 最大（实际上用余弦定理算得 ∠C=120°）。不要把最大边两端的角误选成 ∠A 或 ∠B，要确认“边所对的角”。

由塞瓦定理得 (AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。因为 (AF/FB)×(2/3)×(1/2)=1，所以 AF/FB=3，即 AF:FB=3:1。比的方向（顶点→分点→顶点这样一笔画的顺序）弄反就会得到 1:3，所以要从 A 出发按绕一圈的顺序写。

∠IBC+∠ICB=(∠B+∠C)/2=(180°−70°)/2=55°。所以 ∠BIC=180°−55°=125°。用公式则是 ∠BIC=90°+∠A/2=90°+35°=125°。140° 是 2∠A，是与外心的公式 ∠BOC=2∠A 混淆的错误。

外心 O 是外接圆的圆心，所以 ∠BOC 是弧 BC 所对的圆心角，而 ∠A 是同一段弧所对的圆周角。因此 ∠BOC=2∠A=100°。115° 是与内心的公式 90°+∠A/2 混淆的错误。25° 是把倍与半的方向弄反的错误。

圆周角是圆心角的一半，所以 120°÷2=60°。240° 是反过来乘 2 倍的错误。要在图上确认圆心角与圆周角的关系“圆周角×2=圆心角”的方向。

直径 AB 所对的圆心角是 180°，所以圆周角 ∠ACB 是它的一半 90°（泰勒斯定理）。这与 C 的位置无关，始终不变。180° 是直接答了圆心角的错误。

圆内接四边形的对角之和为 180°。所以 ∠C=180°−95°=85°。95° 是误以为“对角相等”的错误，对角并不相等，而是和为 180°。

由弦切角定理，切线与弦 AB 所成的角 ∠TAB 等于该弦所对的圆周角 ∠ACB，所以是 65°。130° 是把圆周角与圆心角混淆、乘了 2 倍的错误，115° 是用 180° 去减的错误。

由圆幂定理（相交弦定理）得 PA×PB=PC×PD。由 3×4=2×PD 得 PD=6。5 是按 3+4−2 这样用加减处理的错误。这里相等的一定是“距离之积”。

由切线型的圆幂定理得 PT²=PA×PB=4×9=36，所以 PT=6。直接答 36 是忘了开平方的错误。13/2 是 (4+9)/2，把乘积算成了平均值的错误。

PB=PA+AB=3+5=8。由圆幂定理得 PA×PB=PC×PD，即 3×8=4×PD，所以 PD=6。若把 AB 的 5 直接当成 PB、写成 3×5=4×PD，就会得到 15/4。对圆外的割线，要用从 P 到较远交点的长度。

从圆外一点所引的两条切线长相等，设从 A、B、C 引出的切线长分别为 x、y、z，则 x+y=9、y+z=10、z+x=7。全部相加得 x+y+z=13（半周长 s），所以 AP=x=s−BC=13−10=3。6 是 BP（s−CA），4 是从 C 引出的切线长（s−AB），要看清问的是哪个顶点的切线。

外公切线的长是 √(d²−(r₁−r₂)²)=√(100−(4−2)²)=√96=4√6。8=√(100−36) 是用了半径之和 (4+2)² 的值，那是内公切线的长。外公切线用差，内公切线用和，要分清。

圆周角与弧长成正比，所以三个内角是把 180° 按 3:4:5 分成的 45°、60°、75°。最大的内角是最大的弧 CA 所对的圆周角 ∠B，为 75°。90° 是与边长比为 3:4:5 的直角三角形混淆的错误。

540=2×270=2×2×135=2²×135，而 135=27×5=3³×5。所以 540=2²×3³×5。验算得 4×27×5=540。2³×3²×5=360、2²×3²×5=180，都不相符。指数写错时，乘回去检验即可发现。

12=2²×3、18=2×3²。最小公倍数取各质因数指数中较大的那个，得 2²×3²=36。6 是最大公约数。像 216=12×18÷1 那样直接用乘积是错的；由 G×L=a×b 可得 L=12×18÷6=36。72 虽然也是 12 与 18 的公倍数，但不是最小的那一个。

对两数 a、b 有 G×L=a×b，所以由 6×180=30×b 得 b=1080÷30=36。验算得 gcd(30,36)=6、lcm(30,36)=180，符合条件。60 与 90 是凭约数、倍数关系容易随手选中的值，但用 G×L=ab 检验就只能得到一个答案。

273=63×4+21，63=21×3+0。余数为 0，所以最后的除数 21 就是最大公约数。由 273=3×7×13、63=3²×7 也可确认 gcd=3×7=21。7 与 3 虽是公约数，但不是最大的。

319=143×2+33，143=33×4+11，33=11×3+0。所以最大公约数是 11。33 是中途的余数，辗转相除要一直做到余数为 0。由 319=11×29、143=11×13 也可确认。

110101₂=1×32+1×16+0×8+1×4+0×2+1×1=32+16+4+1=53。43 是把各位的权重按相反顺序去乘（相当于 101011₂）的错误。要注意最左边是最高位（2⁵=32 那一位）。换句话说，110101₂ 就是 10 进制下的 53。

123÷5=24 余 3，24÷5=4 余 4，4÷5=0 余 4。把余数从下往上读得 443₅。验算得 4×25+4×5+3=123。把余数从上往下读就会得到 344₅，这是典型错误。反过来说，443₅ 换回 10 进制就是 123。

化成十进制得 1011₂=11、110₂=6，和为 17=16+1=10001₂。直接用二进制竖式计算，只要跟住 1+1=10 的进位，同样得到 10001₂。漏掉一处进位就会得到 1111₂（15）或 10011₂（19）这样的值。

由 3(x−2)+5(y+1)=0 得 3(x−2)=−5(y+1)。3 与 5 互质，所以 x−2 是 5 的倍数，于是 x=2+5k、y=−1−3k。x 上带的是对方的系数 5，y 上带的是对方的系数 3，且符号相反。x=2+3k, y=−1−5k 在 k=0 时成立，但 k=1 时 3×5+5×(−6)=−15≠1，所以不对。x=2−5k, y=−1−3k 在 k=1 时 3×(−3)+5×(−4)=−29≠1，也不对。代入检验最可靠。

设所求的数为 N，则 N=7x+3=13y+5，于是 7x−13y=2。x=4、y=2 是一组解，此时 N=7×4+3=31。验算得 31=7×4+3、31=13×2+5，符合条件。解每隔 7×13=91 出现一次，所以下一个是 122（它不是最小的）。18=13+5 除以 7 余 4，所以不对。