Proprietățile figurilor și matematica în activitatea omului (matematică A, programa japoneză)

Din proprietatea bisectoarei, BD:DC=AB:AC=6:4=3:2, deci BD=BC×3/5=5×3/5=3. Dacă raportul este luat greșit ca BD:DC=4:6, se obține BD=2, care este de fapt lungimea lui DC. Segmentului BD, apropiat de B, îi corespunde latura AB, care pleacă din B.

Centrul de greutate împarte mediana în raportul 2:1, măsurat dinspre vârf, deci AG:GM=2:1 și AG=9×2/3=6. Valoarea 3 este lungimea lui GM, iar 9/2 provine din confuzia cu mijlocul și înjumătățirea medianei.

Punctul de intersecție a mediatoarelor celor trei laturi este centrul cercului circumscris. Un punct de pe mediatoare este egal depărtat de capetele segmentului, deci acest punct este egal depărtat de cele trei vârfuri și devine centrul cercului circumscris. Centrul cercului înscris este intersecția bisectoarelor interioare, centrul de greutate este intersecția medianelor, iar ortocentrul este intersecția perpendicularelor duse din vârfuri pe laturile opuse.

Punctul de intersecție a bisectoarelor interioare este centrul cercului înscris. Un punct de pe bisectoare este egal depărtat de laturile unghiului, deci acest punct este egal depărtat de cele trei laturi și devine centrul cercului înscris. Egal depărtat de cele trei vârfuri este centrul cercului circumscris; fiind ușor de confundat, este bine să se rețină legătura dintre cercul înscris și distanța până la laturi.

Din teorema medianei, AB²+AC²=2(AM²+BM²). Cum BM=4, avem 49+25=2(AM²+16), deci 74=2AM²+32, AM²=21 și AM=√21. Dacă se uită factorul 2 din membrul drept, adică împărțirea la 2, se ajunge din 74−16=58 la √58. Pentru BM se folosește jumătatea lui BC, adică 4.

Avem BD:DC=AB:AC=8:6=4:3, deci DC=BC×3/7=7×3/7=3. Valoarea 4 este lungimea lui BD, deci trebuie observat cu atenție care segment este cerut. Valoarea 7/2 provine din confuzia cu mijlocul laturii.

Într-un triunghi, unghiul opus unei laturi mai mari este mai mare. Latura cea mai lungă este AB=7, iar unghiul opus ei este ∠C, deci ∠C este cel mai mare; într-adevăr, teorema cosinusului dă ∠C=120°. Pentru a nu alege ∠A sau ∠B, adică unghiurile de la capetele laturii celei mai lungi, trebuie verificat care unghi este opus laturii.

Din teorema lui Ceva, (AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1. Din (AF/FB)×(2/3)×(1/2)=1 rezultă AF/FB=3, deci AF:FB=3:1. Dacă sensul rapoartelor este inversat, se obține 1:3, așa că raportul trebuie scris parcurgând triunghiul pornind din A, în ordinea vârf, punct de diviziune, vârf.

Avem ∠IBC+∠ICB=(∠B+∠C)/2=(180°−70°)/2=55°, deci ∠BIC=180°−55°=125°. Formula este ∠BIC=90°+∠A/2=90°+35°=125°. Valoarea 140° este 2∠A și provine din confuzia cu formula ∠BOC=2∠A, valabilă pentru centrul cercului circumscris.

Punctul O fiind centrul cercului circumscris, ∠BOC este unghiul la centru corespunzător arcului BC, iar ∠A este unghiul înscris care subîntinde același arc, deci ∠BOC=2∠A=100°. Valoarea 115° provine din confuzia cu formula 90°+∠A/2, valabilă pentru centrul cercului înscris, iar 25° din înjumătățire în loc de dublare.

Unghiul înscris este jumătate din unghiul la centru, deci 120°÷2=60°. Valoarea 240° provine din dublare, adică din aplicarea relației în sens invers. Sensul relației, unghi înscris înmulțit cu 2 egal unghi la centru, se verifică pe figură.

Unghiul la centru corespunzător diametrului AB este 180°, deci unghiul înscris ∠ACB este jumătate din el, adică 90°, conform teoremei lui Thales. Valoarea este aceeași indiferent de poziția lui C. Valoarea 180° apare când se dă chiar unghiul la centru.

Într-un patrulater înscris în cerc, unghiurile opuse au suma 180°, deci ∠C=180°−95°=85°. Valoarea 95° provine din ideea greșită că unghiurile opuse ar fi egale: ele nu sunt egale, ci au suma 180°.

Din teorema unghiului dintre tangentă și coardă, unghiul ∠TAB dintre tangentă și coarda AB este egal cu unghiul înscris ∠ACB corespunzător acelei coarde, deci are 65°. Valoarea 130° provine din confuzia dintre unghiul înscris și cel la centru, adică din dublare, iar 115° din scăderea din 180°.

Din teorema puterii punctului, PA×PB=PC×PD. Din 3×4=2×PD rezultă PD=6. Valoarea 5 apare când se lucrează cu sume sau diferențe, de tipul 3+4−2. Puterea punctului egalează întotdeauna produse de distanțe.

Din forma cu tangentă a teoremei puterii punctului, PT²=PA×PB=4×9=36, deci PT=6. A răspunde 36 înseamnă a uita extragerea rădăcinii pătrate. Valoarea 13/2 este (4+9)/2 și provine din luarea mediei în locul produsului.

Avem PB=PA+AB=3+5=8. Din teorema puterii punctului, PA×PB=PC×PD, deci 3×8=4×PD și PD=6. Dacă valoarea 5 a lui AB este luată drept PB și se scrie 3×5=4×PD, se obține 15/4. La secantele duse dintr-un punct exterior se folosește distanța până la punctul de intersecție cel mai depărtat de P.

Cele două tangente duse dintr-un punct exterior au lungimi egale, deci, notând cu x, y, z lungimile tangentelor din A, B și C, avem x+y=9, y+z=10 și z+x=7. Adunându-le obținem x+y+z=13, adică semiperimetrul s, deci AP=x=s−BC=13−10=3. Valoarea 6 este BP, adică s−CA, iar 4 este lungimea tangentei din C, adică s−AB, așa că trebuie urmărit din ce vârf pleacă tangenta.

Lungimea tangentei comune exterioare este √(d²−(r₁−r₂)²)=√(100−(4−2)²)=√96=4√6. Valoarea 8=√(100−36) folosește suma razelor, (4+2)², care dă de fapt lungimea tangentei comune interioare. La tangenta exterioară se ia diferența razelor, iar la cea interioară suma lor.

Unghiurile înscrise sunt proporționale cu lungimile arcelor, deci cele trei unghiuri interioare împart 180° în raportul 3:4:5, adică 45°, 60° și 75°. Unghiul cel mai mare este ∠B, corespunzător celui mai mare arc, CA, și are 75°. Valoarea 90° provine din confuzia cu raportul laturilor 3:4:5 al triunghiului dreptunghic.

Avem 540=2×270=2×2×135=2²×135, iar 135=27×5=3³×5, deci 540=2²×3³×5. Verificare: 4×27×5=540. Variantele 2³×3²×5=360 și 2²×3²×5=180 nu coincid. Exponenții greșiți se depistează refăcând înmulțirea.

Avem 12=2²×3 și 18=2×3². Cel mai mic multiplu comun se obține luând, pentru fiecare factor prim, exponentul cel mai mare: 2²×3²=36. Valoarea 6 este cel mai mare divizor comun. Folosirea directă a produsului, ca în 216=12×18÷1, este greșită; din relația G×L=a×b rezultă L=12×18÷6=36.

Pentru două numere a și b are loc G×L=a×b, deci din 6×180=30×b rezultă b=1080÷30=36. Verificare: gcd(30,36)=6 și lcm(30,36)=180, deci condițiile sunt îndeplinite. Valorile 60 și 90 pot fi alese la întâmplare pe baza relațiilor de divizibilitate, dar relația G×L=ab determină un singur răspuns.

Avem 273=63×4+21 și 63=21×3+0. Restul devenind 0, ultimul împărțitor, 21, este cel mai mare divizor comun. Se verifică și prin descompuneri: 273=3×7×13 și 63=3²×7, deci gcd=3×7=21. Numerele 7 și 3 sunt divizori comuni, dar nu cel mai mare.

Avem 319=143×2+33, 143=33×4+11 și 33=11×3+0, deci cel mai mare divizor comun este 11. Valoarea 33 este un rest intermediar, iar algoritmul se continuă până când restul devine 0. Se verifică și prin 319=11×29 și 143=11×13.

Avem 110101₂=1×32+1×16+0×8+1×4+0×2+1×1=32+16+4+1=53. Valoarea 43 apare când ponderile pozițiilor sunt luate în ordine inversă, ca și cum numărul ar fi 101011₂. Trebuie reținut că cifra din stânga are rangul cel mai mare, adică ponderea 2⁵=32.

Avem 123÷5=24 rest 3, 24÷5=4 rest 4 și 4÷5=0 rest 4. Citind resturile de jos în sus obținem 443₅. Verificare: 4×25+4×5+3=123. Citirea resturilor de sus în jos duce la greșeala tipică 344₅.

Trecând în baza 10, 1011₂=11 și 110₂=6, iar suma este 17=16+1=10001₂. Calculând direct în baza 2, urmărind transportul de la 1+1=10, se obține tot 10001₂. Pierderea unui transport duce la valori precum 1111₂, adică 15, sau 10011₂, adică 19.

Din 3(x−2)+5(y+1)=0 rezultă 3(x−2)=−5(y+1). Numerele 3 și 5 fiind prime între ele, x−2 este multiplu de 5, deci x=2+5k și y=−1−3k. Lui x i se atașează coeficientul celuilalt termen, 5, iar lui y coeficientul 3, cu semne opuse. Varianta x=2+3k, y=−1−5k este adevărată pentru k=0, dar pentru k=1 dă 3×5+5×(−6)=−15≠1, deci este greșită; la fel, x=2−5k, y=−1−3k dă pentru k=1 valoarea 3×(−3)+5×(−4)=−29≠1. Verificarea prin înlocuire este metoda sigură.

Notând numărul căutat cu N, avem N=7x+3=13y+5, deci 7x−13y=2. O soluție este x=4, y=2, pentru care N=7×4+3=31. Verificare: 31=7×4+3 și 31=13×2+5, deci condițiile sunt îndeplinite. Soluțiile apar din 91 în 91, fiindcă 7×13=91, deci următoarea este 122, care nu este cea mai mică. Numărul 18=13+5 dă restul 4 la împărțirea cu 7, deci nu convine.