Preparatoria · Matemáticas de preparatoria: laboratorio de exámenes periódicos
Puedes leer las preguntas y explicaciones en Español. Las lecciones (artículos explicativos) solo están disponibles en japonés.
Ver la versión en japonés (con lecciones) →
En el triángulo ABC, AB=6, AC=4 y BC=5. La bisectriz del ángulo A corta al lado BC en D. Halle la longitud de BD.
Por la propiedad de la bisectriz, BD:DC=AB:AC=6:4=3:2. Por tanto, BD=BC×3/5=5×3/5=3. Invertir la razón como BD:DC=4:6 da BD=2, que en realidad es la longitud de DC. El segmento BD, más cercano a B, corresponde al lado AB, que llega a B.
Sea M el punto medio del lado BC del triángulo ABC y sea G el baricentro. Si la mediana AM mide 9, halle la longitud de AG.
El baricentro divide una mediana en la razón 2:1 medida desde el vértice, así que AG:GM=2:1 y AG=9×2/3=6. El valor 3 es la longitud de GM, y 9/2 sale de confundir el baricentro con el punto medio y dividir entre dos.
Las mediatrices de los tres lados de un triángulo se cortan en un único punto. ¿Cómo se llama este punto?
El punto donde se cortan las tres mediatrices es el circuncentro. Un punto de una mediatriz equidista de los dos extremos del segmento, así que el circuncentro equidista de los tres vértices y es el centro de la circunferencia circunscrita. El incentro proviene de las bisectrices interiores, el baricentro de las medianas y el ortocentro de las perpendiculares trazadas desde los vértices a los lados opuestos.
Las tres bisectrices interiores de un triángulo se cortan en un único punto, que equidista de los tres lados. ¿Cómo se llama este punto?
El punto donde se cortan las bisectrices interiores es el incentro. Un punto de una bisectriz equidista de los dos lados del ángulo, así que el incentro equidista de los tres lados y es el centro de la circunferencia inscrita. El punto que equidista de los tres vértices es el circuncentro, con el que es fácil confundirlo, así que aprenda como un solo paquete: incentro, circunferencia inscrita y equidistante de los lados.
En el triángulo ABC, AB=7, AC=5 y BC=8. Sea M el punto medio de BC. Halle la longitud de la mediana AM.
El teorema de la longitud de la mediana da AB²+AC²=2(AM²+BM²). Con BM=4 se obtiene 49+25=2(AM²+16), así que 74=2AM²+32, AM²=21 y AM=√21. Olvidar el factor 2 del lado derecho, y por tanto no dividir, convierte 74−16=58 en √58. Use BM=4, la mitad de BC.
En el triángulo ABC, AB=8, AC=6 y BC=7. La bisectriz del ángulo A corta al lado BC en D. Halle la longitud de DC.
BD:DC=AB:AC=8:6=4:3, así que DC=BC×3/7=7×3/7=3. El valor 4 es la longitud de BD, así que compruebe qué segmento se pregunta. El valor 7/2 sale de confundir D con el punto medio.
En el triángulo ABC, AB=7, BC=5 y CA=3. ¿Cuál es el mayor ángulo interior de este triángulo?
En un triángulo, cuanto mayor es un lado, mayor es el ángulo opuesto. El lado más largo es AB=7 y el ángulo opuesto es ∠C, así que ∠C es el mayor; de hecho, el teorema del coseno da ∠C=120°. Para no elegir ∠A o ∠B, los ángulos de los extremos del lado más largo, compruebe siempre qué ángulo está frente al lado.
Tres rectas AP, BP y CP que pasan por un punto P interior al triángulo ABC cortan a los lados opuestos BC, CA y AB en D, E y F, respectivamente. Si BD:DC=2:3 y CE:EA=1:2, halle AF:FB.
El teorema de Ceva da (AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1. De (AF/FB)×(2/3)×(1/2)=1 se obtiene AF/FB=3, así que AF:FB=3:1. Invertir el sentido de las razones, que deben seguir una vuelta completa de vértice a punto de división y de nuevo a vértice, da 1:3, así que escríbalas empezando en A y dando una vuelta.
En el triángulo ABC, ∠A=70° e I es el incentro. Halle la medida de ∠BIC.
∠IBC+∠ICB=(∠B+∠C)/2=(180°−70°)/2=55°, así que ∠BIC=180°−55°=125°. Por fórmula, ∠BIC=90°+∠A/2=90°+35°=125°. El valor 140° es 2∠A, que lo confunde con la fórmula del circuncentro ∠BOC=2∠A.
En un triángulo acutángulo ABC, ∠A=50° y O es el circuncentro. Halle la medida de ∠BOC.
Como O es el centro de la circunferencia circunscrita, ∠BOC es el ángulo central sobre el arco BC y ∠A es el ángulo inscrito sobre el mismo arco. Por tanto, ∠BOC=2∠A=100°. El valor 115° lo confunde con la fórmula del incentro 90°+∠A/2, y 25° divide entre dos en lugar de duplicar.
En una circunferencia O, un arco abarca un ángulo central de 120°. Halle el ángulo inscrito sobre el mismo arco.
Un ángulo inscrito es la mitad del ángulo central, así que 120°÷2=60°. El valor 240° duplica en lugar de dividir. Compruebe en un dibujo en qué sentido va la relación ángulo inscrito × 2 = ángulo central.
Se toma un punto C, distinto de A y B, sobre una circunferencia que tiene el segmento AB como diámetro. Halle la medida de ∠ACB.
El ángulo central sobre el diámetro AB es 180°, así que el ángulo inscrito ∠ACB es la mitad, 90°, por el teorema de Tales. Es igual dondequiera que esté C. El valor 180° simplemente repite el ángulo central.
Un cuadrilátero ABCD está inscrito en una circunferencia y ∠A=95°. Halle la medida de ∠C.
En un cuadrilátero inscrito, los ángulos interiores opuestos suman 180°, así que ∠C=180°−95°=85°. El valor 95° proviene de la idea errónea de que los ángulos opuestos son iguales, cuando en realidad suman 180°.
Sea AT la tangente en un punto A de una circunferencia O, y tome dos puntos B y C sobre la circunferencia. Si ∠TAB=65°, halle el ángulo inscrito ∠ACB sobre el arco AB, donde C está en el arco del lado opuesto al que abarca ∠TAB.
Por el teorema del ángulo semiinscrito, el ángulo ∠TAB entre la tangente y la cuerda AB es igual al ángulo inscrito ∠ACB sobre esa cuerda, así que mide 65°. El valor 130° lo duplica por confundir ángulos inscritos y centrales, y 115° lo resta de 180°.
Dos cuerdas AB y CD de una circunferencia se cortan en un punto P interior a ella. Si PA=3, PB=4 y PC=2, halle la longitud de PD.
La potencia de un punto da PA×PB=PC×PD, así que 3×4=2×PD y PD=6. El valor 5 sale de trabajar con sumas y restas, como 3+4−2. La potencia de un punto siempre iguala productos de distancias.
Desde un punto P exterior a una circunferencia se traza una tangente PT, y una recta que pasa por P corta a la circunferencia en dos puntos A y B. Si PA=4 y PB=9, halle la longitud de la tangente PT.
La forma con tangente de la potencia de un punto da PT²=PA×PB=4×9=36, así que PT=6. Responder 36 olvida sacar la raíz cuadrada. El valor 13/2 es (4+9)/2 y sale de tomar la media en lugar del producto.
Desde un punto P exterior a una circunferencia se trazan dos rectas: una corta a la circunferencia en A y B con PA=3 y AB=5, y la otra en C y D con PC=4 y PC<PD. Halle la longitud de PD.
PB=PA+AB=3+5=8. La potencia de un punto da PA×PB=PC×PD, así que 3×8=4×PD y PD=6. Tomar el 5 de AB como PB y escribir 3×5=4×PD da 15/4. Para una secante desde un punto exterior, use la distancia a la intersección más lejana.
En el triángulo ABC, BC=10, CA=7 y AB=9. La circunferencia inscrita en el triángulo ABC es tangente al lado AB en P. Halle la longitud de AP.
Las dos tangentes desde un punto exterior tienen la misma longitud, así que, si se escriben las longitudes de las tangentes desde A, B y C como x, y y z, se obtiene x+y=9, y+z=10 y z+x=7. Al sumarlas todas se obtiene x+y+z=13, el semiperímetro s, así que AP=x=s−BC=13−10=3. El valor 6 es BP, que es s−CA, y 4 es la longitud de la tangente desde C, que es s−AB, así que fíjese en desde qué vértice sale la tangente.
Una circunferencia O de radio 4 y una circunferencia O' de radio 2 tienen sus centros a una distancia de 10. Halle la longitud de su tangente común exterior.
La longitud de una tangente común exterior es √(d²−(r₁−r₂)²)=√(100−(4−2)²)=√96=4√6. El valor 8=√(100−36) usa la suma de los radios, (4+2)², que da en cambio la tangente común interior. Use la diferencia para una tangente exterior y la suma para una interior.
Tres puntos A, B y C de una circunferencia la dividen en arcos con arco AB : arco BC : arco CA = 3:4:5. Halle el mayor ángulo interior del triángulo ABC.
Los ángulos inscritos son proporcionales a sus arcos, así que los tres ángulos interiores dividen 180° en la razón 3:4:5, lo que da 45°, 60° y 75°. El mayor es el ángulo ∠B sobre el arco mayor CA, es decir, 75°. El valor 90° lo confunde con la razón de lados 3:4:5 de un triángulo rectángulo.
Descomponga 540 en factores primos.
540=2×270=2×2×135=2²×135, y 135=27×5=3³×5, así que 540=2²×3³×5. Comprobación: 4×27×5=540. Los valores 2³×3²×5=360 y 2²×3²×5=180 no coinciden. Cuando un exponente parezca incorrecto, multiplique de nuevo para comprobarlo.
Halle el mínimo común múltiplo de 12 y 18.
12=2²×3 y 18=2×3². El mínimo común múltiplo toma el mayor exponente de cada primo, lo que da 2²×3²=36. El valor 6 es el máximo común divisor. Usar simplemente el producto, como en 216=12×18÷1, es incorrecto; a partir de G×L=a×b también se puede obtener L=12×18÷6=36. El valor 72 es un múltiplo común de ambos números, pero no el mínimo.
Dos números naturales tienen máximo común divisor 6 y mínimo común múltiplo 180, y uno de ellos es 30. Halle el otro número.
Para dos números a y b se tiene G×L=a×b, así que 6×180=30×b y b=1080÷30=36. Comprobación: mcd(30,36)=6 y mcm(30,36)=180, lo cual encaja. Los valores 60 y 90 son fáciles de suponer a partir de las relaciones de divisores y múltiplos, pero G×L=ab determina una única respuesta.
Use el algoritmo de Euclides para hallar el máximo común divisor de 273 y 63.
273=63×4+21 y 63=21×3+0. El resto ha llegado a 0, así que el último divisor, 21, es el máximo común divisor. A partir de 273=3×7×13 y 63=3²×7 también se obtiene mcd=3×7=21. Los valores 7 y 3 son divisores comunes, pero no el máximo.
Use el algoritmo de Euclides para hallar el máximo común divisor de 319 y 143.
319=143×2+33, 143=33×4+11 y 33=11×3+0, así que el máximo común divisor es 11. El valor 33 es un resto intermedio; el algoritmo continúa hasta que el resto es 0. También se puede confirmar a partir de 319=11×29 y 143=11×13.
Exprese el número binario 110101₂ en base 10.
110101₂=1×32+1×16+0×8+1×4+0×2+1×1=32+16+4+1=53. El valor 43 sale de aplicar los valores posicionales en orden inverso, lo que equivale a leer 101011₂. Observe que la cifra de más a la izquierda es la posición más alta, que vale 2⁵=32.
Exprese en base cinco el número 123, escrito en base 10.
123÷5=24 resto 3, 24÷5=4 resto 4 y 4÷5=0 resto 4. Leer los restos de abajo arriba da 443₅. Comprobación: 4×25+4×5+3=123. Leer los restos de arriba abajo da 344₅, el error típico.
Exprese en binario el resultado del cálculo binario 1011₂+110₂.
En decimal, 1011₂=11 y 110₂=6, y la suma es 17=16+1=10001₂. Calcular columna por columna en binario llevando el acarreo 1+1=10 también da 10001₂. Perder un acarreo produce valores como 1111₂, que es 15, o 10011₂, que es 19.
Una solución entera de la ecuación 3x+5y=1 es x=2, y=−1. ¿Qué expresión da todas las soluciones enteras, siendo k un número entero?
De 3(x−2)+5(y+1)=0 se obtiene 3(x−2)=−5(y+1). Como 3 y 5 son primos entre sí, x−2 debe ser múltiplo de 5, lo que da x=2+5k e y=−1−3k. La variable x toma el otro coeficiente, 5, y la variable y toma el otro coeficiente, 3, con signos opuestos. El par x=2+3k, y=−1−5k funciona con k=0, pero falla con k=1, donde 3×5+5×(−6)=−15≠1, y x=2−5k, y=−1−3k también falla con k=1, donde 3×(−3)+5×(−4)=−29≠1. Sustituir para comprobar es la vía segura.
Halle el menor número natural que deja resto 3 al dividirlo entre 7 y resto 5 al dividirlo entre 13.
Si se escribe el número como N, se obtiene N=7x+3=13y+5 y, por tanto, 7x−13y=2. Una solución es x=4, y=2, y entonces N=7×4+3=31. Comprobación: 31=7×4+3 y 31=13×2+5, lo que cumple ambas condiciones. Las soluciones se repiten cada 7×13=91, así que la siguiente es 122, que no es la menor. El valor 18=13+5 deja resto 4 al dividirlo entre 7, así que es incorrecto.
Es una herramienta de práctica con preguntas en orden aleatorio (funciona si JavaScript está activado). Aun sin ella, puede leer todas las preguntas y explicaciones de arriba.
* Este contenido sirve para repasar lo estudiado en la preparatoria. Si la notación o el tratamiento difieren de su libro de texto o de lo que se enseña en su escuela, siga su libro de texto y las explicaciones de su profesor.
Esta página es una traducción del texto original en japonés. Si hay diferencias entre la traducción y el original, prevalece la versión en japonés. Esta traducción se ha hecho con IA y puede contener errores. Informar de un error de traducción Ver el original en japonés