Ensino médio · Matemática do ensino médio: Laboratório de provas escolares
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No triângulo ABC, AB=6, AC=4 e BC=5. A bissetriz do ângulo A encontra o lado BC em D. Calcule o comprimento de BD.
Pela propriedade da bissetriz, BD:DC=AB:AC=6:4=3:2. Logo, BD=BC×3/5=5×3/5=3. Inverter a razão como BD:DC=4:6 dá BD=2, que na verdade é o comprimento de DC. O segmento BD, mais próximo de B, corresponde ao lado AB, que passa por B.
Seja M o ponto médio do lado BC do triângulo ABC e G o baricentro. Se a mediana AM mede 9, calcule o comprimento de AG.
O baricentro divide a mediana na razão 2:1 a partir do vértice, então AG:GM=2:1 e AG=9×2/3=6. O valor 3 é o comprimento de GM, e 9/2 vem de confundir o baricentro com o ponto médio e dividir por dois.
As mediatrizes dos três lados de um triângulo se encontram em um único ponto. Como se chama esse ponto?
O ponto onde as três mediatrizes se encontram é o circuncentro. Um ponto da mediatriz é equidistante das duas extremidades do segmento, então o circuncentro é equidistante dos três vértices e é o centro da circunferência circunscrita. O incentro vem das bissetrizes internas, o baricentro das medianas, e o ortocentro das perpendiculares traçadas dos vértices aos lados opostos.
As três bissetrizes internas de um triângulo se encontram em um único ponto, que é equidistante dos três lados. Como se chama esse ponto?
O ponto onde as bissetrizes internas se encontram é o incentro. Um ponto da bissetriz é equidistante dos dois lados do ângulo, então o incentro é equidistante dos três lados e é o centro da circunferência inscrita. O ponto equidistante dos três vértices é o circuncentro, que é fácil de confundir, então memorize incentro, circunferência inscrita e equidistante dos lados como um só conjunto.
No triângulo ABC, AB=7, AC=5 e BC=8. Seja M o ponto médio de BC. Calcule o comprimento da mediana AM.
O teorema da mediana dá AB²+AC²=2(AM²+BM²). Com BM=4, obtemos 49+25=2(AM²+16), então 74=2AM²+32, AM²=21 e AM=√21. Esquecer o fator 2 do lado direito e, portanto, não dividir por ele transforma 74−16=58 em √58. Use BM=4, metade de BC.
No triângulo ABC, AB=8, AC=6 e BC=7. A bissetriz do ângulo A encontra o lado BC em D. Calcule o comprimento de DC.
BD:DC=AB:AC=8:6=4:3, então DC=BC×3/7=7×3/7=3. O valor 4 é o comprimento de BD, então confira qual segmento é pedido. O valor 7/2 vem de confundir D com o ponto médio.
No triângulo ABC, AB=7, BC=5 e CA=3. Qual é o maior ângulo interno desse triângulo?
Em um triângulo, quanto maior o lado, maior o ângulo oposto a ele. O maior lado é AB=7 e o ângulo oposto a ele é ∠C, então ∠C é o maior; de fato, a lei dos cossenos dá ∠C=120°. Para não escolher ∠A ou ∠B, os ângulos nas extremidades do maior lado, sempre verifique qual ângulo está de frente para o lado.
Três retas AP, BP e CP, que passam por um ponto P no interior do triângulo ABC, encontram os lados opostos BC, CA e AB em D, E e F, respectivamente. Se BD:DC=2:3 e CE:EA=1:2, calcule AF:FB.
O teorema de Ceva dá (AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1. De (AF/FB)×(2/3)×(1/2)=1, obtemos AF/FB=3, então AF:FB=3:1. Inverter o sentido das razões, que devem seguir uma volta completa de vértice a ponto de divisão a vértice, dá 1:3; por isso, escreva-as começando por A e dando uma volta.
No triângulo ABC, ∠A=70° e I é o incentro. Calcule a medida de ∠BIC.
∠IBC+∠ICB=(∠B+∠C)/2=(180°−70°)/2=55°, então ∠BIC=180°−55°=125°. Pela fórmula, ∠BIC=90°+∠A/2=90°+35°=125°. O valor 140° é 2∠A, que confunde com a fórmula do circuncentro ∠BOC=2∠A.
Em um triângulo acutângulo ABC, ∠A=50° e O é o circuncentro. Calcule a medida de ∠BOC.
Como O é o centro da circunferência circunscrita, ∠BOC é o ângulo central sobre o arco BC e ∠A é o ângulo inscrito sobre o mesmo arco. Logo, ∠BOC=2∠A=100°. O valor 115° confunde com a fórmula do incentro 90°+∠A/2, e 25° divide por dois em vez de dobrar.
Em uma circunferência O, um arco corresponde a um ângulo central de 120°. Calcule o ângulo inscrito sobre o mesmo arco.
O ângulo inscrito é a metade do ângulo central, então 120°÷2=60°. O valor 240°, ao contrário, dobra. Verifique em um desenho em que sentido vale a relação ângulo inscrito × 2 = ângulo central.
Um ponto C, diferente de A e B, é tomado sobre uma circunferência de diâmetro AB. Calcule a medida de ∠ACB.
O ângulo central sobre o diâmetro AB é 180°, então o ângulo inscrito ∠ACB é a metade dele, 90°, pelo teorema de Tales. Ele é o mesmo onde quer que C esteja. O valor 180° simplesmente repete o ângulo central.
Um quadrilátero ABCD está inscrito em uma circunferência e ∠A=95°. Calcule a medida de ∠C.
Em um quadrilátero inscritível, os ângulos internos opostos somam 180°, então ∠C=180°−95°=85°. O valor 95° vem do equívoco de que ângulos opostos são iguais, quando na verdade eles somam 180°.
Seja AT a tangente em um ponto A de uma circunferência O, e tome dois pontos B e C sobre a circunferência. Se ∠TAB=65°, calcule o ângulo inscrito ∠ACB sobre o arco AB, em que C está no arco do lado oposto ao arco determinado por ∠TAB.
Pelo teorema do ângulo entre tangente e corda, o ângulo ∠TAB entre a tangente e a corda AB é igual ao ângulo inscrito ∠ACB sobre essa corda, então ele mede 65°. O valor 130° o dobra por confundir ângulo inscrito com ângulo central, e 115° subtrai de 180°.
Duas cordas AB e CD de uma circunferência se encontram em um ponto P no interior dela. Se PA=3, PB=4 e PC=2, calcule o comprimento de PD.
A potência de ponto dá PA×PB=PC×PD, então 3×4=2×PD e PD=6. O valor 5 vem de trabalhar com somas e diferenças, como 3+4−2. A potência de ponto sempre iguala produtos de distâncias.
De um ponto P exterior a uma circunferência traça-se uma tangente PT, e uma reta por P encontra a circunferência em dois pontos A e B. Se PA=4 e PB=9, calcule o comprimento da tangente PT.
A forma da potência de ponto com tangente dá PT²=PA×PB=4×9=36, então PT=6. Responder 36 é esquecer de extrair a raiz quadrada. O valor 13/2 é (4+9)/2 e vem de tomar a média em vez do produto.
De um ponto P exterior a uma circunferência traçam-se duas retas: uma encontra a circunferência em A e B, com PA=3 e AB=5, e a outra em C e D, com PC=4 e PC<PD. Calcule o comprimento de PD.
PB=PA+AB=3+5=8. A potência de ponto dá PA×PB=PC×PD, então 3×8=4×PD e PD=6. Tomar o 5 de AB como PB e escrever 3×5=4×PD dá 15/4. Para uma secante traçada de um ponto exterior, use a distância até o ponto de interseção mais distante.
No triângulo ABC, BC=10, CA=7 e AB=9. A circunferência inscrita no triângulo ABC tangencia o lado AB em P. Calcule o comprimento de AP.
As duas tangentes traçadas de um ponto exterior têm o mesmo comprimento; então, escrevendo os comprimentos das tangentes a partir de A, B e C como x, y e z, temos x+y=9, y+z=10 e z+x=7. Somando tudo, obtemos x+y+z=13, o semiperímetro s, então AP=x=s−BC=13−10=3. O valor 6 é BP, que é s−CA, e 4 é o comprimento da tangente a partir de C, que é s−AB, então atenção a de qual vértice parte a tangente.
Uma circunferência O de raio 4 e uma circunferência O' de raio 2 têm centros a uma distância de 10. Calcule o comprimento da tangente comum externa.
O comprimento da tangente comum externa é √(d²−(r₁−r₂)²)=√(100−(4−2)²)=√96=4√6. O valor 8=√(100−36) usa a soma dos raios, (4+2)², o que dá a tangente comum interna. Use a diferença para a tangente externa e a soma para a interna.
Três pontos A, B e C sobre uma circunferência a dividem em arcos com arco AB : arco BC : arco CA = 3:4:5. Calcule o maior ângulo interno do triângulo ABC.
Os ângulos inscritos são proporcionais aos seus arcos, então os três ângulos internos dividem 180° na razão 3:4:5, resultando em 45°, 60° e 75°. O maior é o ângulo ∠B, sobre o maior arco CA, ou seja, 75°. O valor 90° confunde com a razão de lados 3:4:5 de um triângulo retângulo.
Fatore 540 em números primos.
540=2×270=2×2×135=2²×135, e 135=27×5=3³×5, então 540=2²×3³×5. Verificando, 4×27×5=540. Os valores 2³×3²×5=360 e 2²×3²×5=180 não conferem. Quando um expoente parecer errado, multiplique de volta para verificar.
Calcule o mínimo múltiplo comum de 12 e 18.
12=2²×3 e 18=2×3². O mínimo múltiplo comum toma o maior expoente de cada primo, o que dá 2²×3²=36. O valor 6 é o máximo divisor comum. Usar simplesmente o produto, como em 216=12×18÷1, está errado; de G×L=a×b também se obtém L=12×18÷6=36. O valor 72 é um múltiplo comum dos dois números, mas não o menor.
Dois números naturais têm máximo divisor comum 6 e mínimo múltiplo comum 180, e um deles é 30. Calcule o outro número.
Para dois números a e b, temos G×L=a×b, então 6×180=30×b e b=1080÷30=36. Verificando, mdc(30,36)=6 e mmc(30,36)=180, o que confere. Os valores 60 e 90 são fáceis de chutar pelas relações de divisores e múltiplos, mas G×L=ab determina uma única resposta.
Use o algoritmo de Euclides para calcular o máximo divisor comum de 273 e 63.
273=63×4+21 e 63=21×3+0. O resto chegou a 0, então o último divisor, 21, é o máximo divisor comum. De 273=3×7×13 e 63=3²×7, também obtemos mdc=3×7=21. Os valores 7 e 3 são divisores comuns, mas não o máximo.
Use o algoritmo de Euclides para calcular o máximo divisor comum de 319 e 143.
319=143×2+33, 143=33×4+11 e 33=11×3+0, então o máximo divisor comum é 11. O valor 33 é um resto intermediário; o algoritmo continua até o resto ser 0. Também é possível confirmar por 319=11×29 e 143=11×13.
Escreva o número binário 110101₂ na base 10.
110101₂=1×32+1×16+0×8+1×4+0×2+1×1=32+16+4+1=53. O valor 43 vem de aplicar os valores posicionais na ordem inversa, o que equivale a ler 101011₂. Note que o algarismo mais à esquerda é a posição mais alta, que vale 2⁵=32.
Escreva o número 123, da base 10, na base cinco.
123÷5=24 resto 3, 24÷5=4 resto 4 e 4÷5=0 resto 4. Lendo os restos de baixo para cima, obtém-se 443₅. Verificando, 4×25+4×5+3=123. Ler os restos de cima para baixo dá 344₅, o erro típico.
Escreva em binário o resultado do cálculo binário 1011₂+110₂.
Em decimal, 1011₂=11 e 110₂=6, e a soma é 17=16+1=10001₂. Calcular coluna por coluna em binário, acompanhando o “vai um” de 1+1=10, também dá 10001₂. Esquecer um “vai um” produz valores como 1111₂, que é 15, ou 10011₂, que é 19.
Uma solução inteira da equação 3x+5y=1 é x=2, y=−1. Qual expressão dá todas as soluções inteiras, sendo k um inteiro?
De 3(x−2)+5(y+1)=0, obtemos 3(x−2)=−5(y+1). Como 3 e 5 são primos entre si, x−2 deve ser múltiplo de 5, o que dá x=2+5k e y=−1−3k. A variável x recebe o outro coeficiente, 5, e y recebe o outro coeficiente, 3, com sinais opostos. O par x=2+3k, y=−1−5k funciona para k=0, mas falha para k=1, em que 3×5+5×(−6)=−15≠1, e x=2−5k, y=−1−3k também falha para k=1, em que 3×(−3)+5×(−4)=−29≠1. Substituir para verificar é o caminho seguro.
Calcule o menor número natural que deixa resto 3 na divisão por 7 e resto 5 na divisão por 13.
Escrevendo o número como N, temos N=7x+3=13y+5 e, portanto, 7x−13y=2. Uma solução é x=4, y=2, e então N=7×4+3=31. Verificando, 31=7×4+3 e 31=13×2+5, o que satisfaz as duas condições. As soluções se repetem a cada 7×13=91, então a próxima é 122, que não é a menor. O valor 18=13+5 deixa resto 4 na divisão por 7, então está errado.
Esta é uma ferramenta de prática com perguntas em ordem aleatória (funciona quando o JavaScript está ativado). Mesmo sem ela, você pode ler todas as perguntas e explicações acima.
* Este conteúdo serve para revisar os estudos do ensino médio. Se a notação ou a abordagem for diferente do seu livro didático ou do que é ensinado na sua escola, siga o livro didático e as explicações do seu professor.
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