ہائی اسکول · ہائی اسکول ریاضی: باقاعدہ ٹیسٹ لیب
سوالات اور وضاحتیں اردو میں پڑھی جا سکتی ہیں۔ لیکچرز (وضاحتی مضامین) صرف جاپانی ورژن میں دستیاب ہیں۔
جاپانی ورژن (لیکچرز کے ساتھ) دیکھیں →
ایک بڑا اور ایک چھوٹا، دو پانسے ایک ساتھ پھینکے جاتے ہیں۔ اعداد کا مجموعہ 5 ہونے کے کتنے طریقے ہیں؟
(بڑا، چھوٹا) = (1,4)، (2,3)، (3,2) اور (4,1) کے لیے مجموعہ 5 ہوتا ہے، یعنی 4 طریقے۔ چونکہ پانسے ایک دوسرے سے الگ پہچانے جا سکتے ہیں، اس لیے (1,4) اور (4,1) کو الگ الگ گنا جاتا ہے۔ یہ فرق بھول کر صرف {1,4} اور {2,3} کو 2 طریقے گننا ایک عام غلطی ہے۔ تعداد 5 دراصل مجموعہ 6 کی ہے۔
ایک بڑا اور ایک چھوٹا، دو پانسے ایک ساتھ پھینکے جاتے ہیں۔ اعداد کا مجموعہ 4 کا ضعف ہونے کے کتنے طریقے ہیں؟
مجموعہ 4 کا ضعف تب ہوتا ہے جب وہ 4،8،12 میں سے کوئی ایک ہو۔ مجموعہ 4 کے 3 طریقے ہیں: (1,3)(2,2)(3,1)، مجموعہ 8 کے 5 طریقے: (2,6)(3,5)(4,4)(5,3)(6,2)، اور مجموعہ 12 کا 1 طریقہ: (6,6)۔ یہ صورتیں ایک ساتھ واقع نہیں ہو سکتیں، اس لیے جمع کے اصول سے 3+5+1=9 طریقے ملتے ہیں۔ (6,6) کو بھول جائیں تو 8 بچتے ہیں۔
قمیض کی 3 اقسام، پتلون کی 4 اقسام اور جوتوں کی 2 اقسام ہیں۔ ہر ایک میں سے ایک چیز کتنے طریقوں سے چنی جا سکتی ہے؟
3 قمیضوں میں سے ہر ایک کے لیے پتلون کے 4 انتخاب ہیں، اور ان میں سے ہر ایک کے لیے جوتوں کے 2 انتخاب، اس لیے ضرب کے اصول سے 3×4×2=24 طریقے ملتے ہیں۔ 3+4+2=9 کی طرح جمع کرنا ایک عام غلطی ہے، اور 12 میں جوتے بھلا دیے گئے ہیں۔
1 سے 100 تک کے قدرتی اعداد میں سے کتنے اعداد 3 یا 5 کے اضعاف ہیں؟
3 کے اضعاف 33 ہیں اور 5 کے اضعاف 20، اور 15 کے 6 اضعاف دونوں میں شامل ہیں۔ n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B) سے 33+20−6=47 ملتا ہے۔ مشترک حصہ منفی کرنا بھول کر 33+20=53 لکھنا سب سے عام غلطی ہے۔
ایک بڑا اور ایک چھوٹا، دو پانسے ایک ساتھ پھینکے جاتے ہیں۔ اعداد کا حاصل ضرب جفت ہونے کے کتنے طریقے ہیں؟
حاصل ضرب ٹھیک اسی وقت جفت ہوتا ہے جب کم از کم ایک پانسے پر جفت عدد آئے۔ براہِ راست گننے کے بجائے یہ زیادہ تیز ہے کہ کل 36 میں سے طاق حاصل ضرب والی صورتیں، یعنی دونوں پانسوں پر طاق عدد، جن کی تعداد 3×3=9 ہے، منفی کر دی جائیں: 36−9=27 طریقے۔ تعداد 9 خود تکمیلی واقعے کی ہے، اور 18 بغیر کسی وجہ کے یہ فرض کر لیتا ہے کہ جواب کل کا نصف ہونا چاہیے۔
100 ین کا ایک سکہ، 50 ین کے دو سکے اور 10 ین کے تین سکے ہیں۔ ان میں سے کچھ یا سب استعمال کر کے کتنی مختلف رقمیں ٹھیک ٹھیک ادا کی جا سکتی ہیں؟
سکے استعمال کرنے کے طریقے 2×3×4=24 ہیں: سو والے 0 یا 1، پچاس والے 0 سے 2 تک اور دس والے 0 سے 3 تک؛ صفر ین والی صورت نکال دیں تو 23 بچتے ہیں۔ لیکن چونکہ 100 ین، 50 ین کے دو سکوں کے برابر ہے، اس لیے سکے استعمال کرنے کے مختلف طریقے ایک ہی رقم دے سکتے ہیں۔ رقمیں لکھ کر دیکھیں تو 10 سے 230 ین تک مختلف قیمتیں 19 ہیں۔ سکے استعمال کرنے کے 23 طریقوں کو رقموں کی تعداد سمجھ لینا ایک عام غلطی ہے۔
عدد 720 کے کل کتنے مثبت قاسم ہیں؟
تجزی 720=2⁴×3²×5 سے، ہر قاسم اس طرح متعین ہوتا ہے کہ 2 کی قوت نما 5 طریقوں سے، 3 کی 3 طریقوں سے اور 5 کی 2 طریقوں سے چنی جائے، جس سے (4+1)(2+1)(1+1)=30 ملتا ہے۔ ہر قوت نما میں 1 جمع کرنا بھول کر 4×3×2=24 لکھنا ایک عام غلطی ہے، اور 29 میں 1 کو قاسموں سے خارج کر دیا گیا ہے۔
جب (a+b)(p+q+r)(x+y) کو پھیلایا جائے تو کل کتنے ارکان بنتے ہیں؟
ہر رکن ہر قوسین میں سے ایک حرف چن کر ضرب دینے سے بنتا ہے، اس لیے ضرب کے اصول سے 2×3×2=12 ارکان ہیں۔ 2+3+2=7 کی طرح جمع کرنا ایک عام غلطی ہے، اور 24 میں ایک جزو زیادہ ضرب کر دیا گیا ہے، جیسے 2×3×2×2۔
مقدار ₅P₃ کی قیمت معلوم کریں۔
مقدار ₅P₃، 5 سے نیچے کی طرف گنے گئے 3 صحیح اعداد کا حاصل ضرب ہے: 5×4×3=60۔ قیمت 10 دراصل ₅C₃ ہے، جو انتخاب (combination) ہے، اس لیے ترتیب اور انتخاب کو آپس میں نہ ملائیں۔ قیمت 125 دراصل 5³ ہے، جس میں تکرار کی اجازت ہوتی ہے۔
کلب کے 10 ارکان میں سے ایک صدر اور ایک نائب صدر کتنے طریقوں سے چنے جا سکتے ہیں؟
دونوں عہدے مختلف ہیں، اس لیے چننے کی ترتیب اہم ہے اور یہ ترتیب (permutation) ہے: ₁₀P₂=10×9=90 طریقے۔ عہدوں کا فرق بھول کر ₁₀C₂=45 لکھنا سب سے عام غلطی ہے۔ تعداد 100 دراصل 10×10 ہے، جو غلط طور پر ایک ہی شخص کو دونوں عہدے رکھنے کی اجازت دیتی ہے۔
4 طلبہ ایک قطار میں کتنے طریقوں سے کھڑے ہو سکتے ہیں؟
تمام 4 مختلف طلبہ کو ترتیب دیا جاتا ہے، اس لیے 4!=4×3×2×1=24 طریقے ہیں۔ تعداد 16 یعنی 4² اور 256 یعنی 4⁴، دونوں اس مفروضے سے آتی ہیں کہ ہر جگہ کے لیے 4 انتخاب ہیں، جس میں تکرار کی اجازت ہو جاتی ہے۔
تین لڑکے اور دو لڑکیاں، کل پانچ افراد، ایک قطار میں کھڑے ہوتے ہیں۔ کتنی ترتیبوں میں دونوں لڑکیاں ایک دوسرے کے ساتھ کھڑی ہوتی ہیں؟
دونوں لڑکیوں کو ایک بلاک سمجھیں تو 3 لڑکے اور بلاک مل کر 4 اشیاء بنتے ہیں، جنہیں 4!=24 طریقوں سے ترتیب دیا جا سکتا ہے۔ بلاک کے اندر لڑکیاں 2!=2 طریقوں سے ترتیب پا سکتی ہیں، اس لیے جواب 24×2=48 طریقے ہے۔ اندرونی 2! بھول کر 24 جواب دینا ایک عام غلطی ہے، اور 120 دراصل 5! ہے، یعنی بغیر کسی شرط کے گنتی۔
تین لڑکے اور دو لڑکیاں، کل پانچ افراد، ایک قطار میں کھڑے ہوتے ہیں۔ کتنی ترتیبوں میں دونوں کناروں پر لڑکا ہوتا ہے؟
سب سے زیادہ پابندی والی جگہیں، یعنی دونوں کنارے، پہلے طے کریں۔ بائیں کنارے پر 3 لڑکوں میں سے کوئی بھی اور دائیں کنارے پر باقی 2 میں سے کوئی بھی آ سکتا ہے، جس سے ₃P₂=6 طریقے بنتے ہیں۔ درمیان کے 3 افراد 3!=6 طریقوں سے ترتیب پا سکتے ہیں، اس لیے ضرب کے اصول سے 6×6=36 طریقے ملتے ہیں۔ کناروں کو درست طور پر ₃P₂=6 گننے کے بعد بائیں اور دائیں کی ادلا بدلی کے لیے دوبارہ دُگنا کرنے سے 72 آتا ہے۔ تعداد 12 میں درمیان کی 3!=6 ترتیبیں بھلا کر ₃P₂×2 لکھا گیا ہے۔
5 افراد ایک گول میز کے گرد کتنے طریقوں سے بیٹھ سکتے ہیں، جبکہ گھمانے پر یکساں ہو جانے والی نشستوں کو ایک ہی شمار کیا جائے؟
دائروی ترتیب میں ایک شخص کو ساکن رکھ کر باقی 4 کو ترتیب دیں، جس سے (5−1)!=4!=24 طریقے ملتے ہیں۔ تعداد 5!=120 ان 5 نشستوں کو الگ الگ گنتی ہے جو گھمانے پر ایک دوسرے پر منطبق ہو جاتی ہیں۔
سات افراد ایک دائرے میں کھڑے ہوتے ہیں۔ کتنی ترتیبوں میں دو مخصوص افراد A اور B ایک دوسرے کے ساتھ ہوتے ہیں، جبکہ گھمانے پر یکساں ہو جانے والی ترتیبوں کو ایک ہی شمار کیا جائے؟
A اور B کو ایک بلاک سمجھیں تو 6 اشیاء کی دائروی ترتیب بنتی ہے، جو (6−1)!=120 طریقے ہیں۔ بلاک کے اندر A اور B کی 2! ترتیبوں سے ضرب دینے پر 120×2=240 طریقے ملتے ہیں۔ 2! بھول جائیں تو 120 بچتا ہے، اور 720 دراصل 6! ہے، یعنی دائروی کمی کے بغیر گنتی۔
پانچ حروف a، a، b، b، c کو ایک قطار میں کتنے طریقوں سے ترتیب دیا جا سکتا ہے؟
یہ دہرائی گئی اشیاء والی ترتیب ہے، اس لیے 5!/(2!2!)=120/4=30 طریقے۔ تعداد 5!=120 یکساں حروف کی ادلا بدلی کو ایک سے زیادہ بار گنتی ہے، اور 60 میں صرف ایک بار 2! سے تقسیم کیا گیا ہے۔
چھ حروف a، a، a، b، b، c کو ایک قطار میں کتنے طریقوں سے ترتیب دیا جا سکتا ہے؟
حساب 6!/(3!2!)=720/12=60 طریقے۔ حروف a کی 3! ادلا بدلی اور حروف b کی 2! ادلا بدلی، دونوں سے تقسیم کریں۔ صرف 3! سے تقسیم کرنے پر 120 اور صرف 2! سے تقسیم کرنے پر 360 آتا ہے۔
پانچ کارڈوں 0، 1، 2، 3، 4 میں سے تین مختلف کارڈ چن کر ترتیب دیے جاتے ہیں تاکہ تین ہندسی صحیح عدد بنے۔ کل کتنے صحیح اعداد بن سکتے ہیں؟
سینکڑے کا ہندسہ 0 نہیں ہو سکتا، اس لیے اس کے 4 انتخاب ہیں، پھر دہائی کے ہندسے کے لیے باقی 4 انتخاب ہیں، جو 0 بھی ہو سکتا ہے، اور اکائی کے ہندسے کے لیے 3۔ ضرب کے اصول سے 4×4×3=48 ملتا ہے۔ قیمت ₅P₃=60 ان ترتیبوں کو بھی گنتی ہے جن کے شروع میں 0 ہو، جو دراصل دو ہندسی اعداد ہیں۔ قیمت 36 دہائی کے ہندسے کے لیے صرف 3 انتخاب لینے سے آتی ہے، یہ بھول کر کہ وہاں 0 آ سکتا ہے، اور 100 تکرار کی اجازت دے کر 4×5×5 سے آتی ہے۔
مقدار ₇C₂ کی قیمت معلوم کریں۔
یہاں ₇C₂=7×6/(2×1)=21۔ قیمت 42 دراصل ₇P₂ ہے، جس میں 2! سے تقسیم کرنا بھلا دیا گیا ہے۔ چونکہ انتخاب میں ترتیب کا لحاظ نہیں ہوتا، اس لیے ترتیب کی تعداد کو r! سے، یعنی دوبارہ ترتیب دینے کے طریقوں کی تعداد سے، تقسیم کریں۔
مقدار ₈C₅ کی قیمت معلوم کریں۔
یہاں ₈C₅=₈C₃=8×7×6/(3×2×1)=56۔ 5 چننا 3 چھوڑنے کے برابر ہے، اس لیے چھوٹے r کے ساتھ حساب کرنا زیادہ تیز ہے۔ قیمت 336 دراصل 3! سے تقسیم کیے بغیر 8×7×6 ہے، اور 28 دراصل ₈C₂ ہے۔
12 افراد میں سے 3 نمائندے کتنے طریقوں سے چنے جا سکتے ہیں، جبکہ نمائندوں کے الگ الگ کردار نہ ہوں؟
کرداروں میں کوئی فرق نہ ہو تو یہ انتخاب (combination) ہے: ₁₂C₃=12×11×10/(3×2×1)=220 طریقے۔ تعداد 1320 دراصل ₁₂P₃ ہے، اور ترتیب کو انتخاب کے ساتھ ملا دینا سب سے عام غلطی ہے۔ جب ترتیب دینے کی ضرورت نہ ہو تو r! سے تقسیم کریں۔
5 لڑکوں اور 4 لڑکیوں میں سے 2 لڑکے اور 2 لڑکیاں کتنے طریقوں سے چنے جا سکتے ہیں؟
لڑکے ₅C₂=10 طریقوں سے اور لڑکیاں ₄C₂=6 طریقوں سے چنی جا سکتی ہیں، اس لیے ضرب کے اصول سے 10×6=60 طریقے ملتے ہیں۔ تعداد 126 دراصل ₉C₄ ہے، یعنی جنس کا لحاظ کیے بغیر تمام 9 میں سے 4 چننا، جو شرط کو نظر انداز کرتا ہے۔
ایک منتظم مثمن (regular octagon) کے کل کتنے ڈائیگونل ہیں؟
8 راسوں میں سے 2 چننے سے ₈C₂=28 قطعات بنتے ہیں، لیکن ملحقہ راسوں کو ملانے والے 8 اضلاع ڈائیگونل نہیں ہیں۔ اس لیے جواب 28−8=20 ہے۔ اضلاع منفی کرنا بھول کر 28 جواب دینا ایک عام غلطی ہے۔
9 افراد کو دو گروہوں میں، ایک 4 کا اور ایک 5 کا، کتنے طریقوں سے تقسیم کیا جا سکتا ہے؟
یہ چننا کہ 4 والے گروہ میں کون جائے گا، 5 والے گروہ کو خود بخود طے کر دیتا ہے، اس لیے جواب ₉C₄=126 طریقے ہے۔ مختلف جسامت کے گروہ خود بخود ایک دوسرے سے الگ پہچانے جاتے ہیں، اس لیے 2! سے تقسیم نہیں کرنا چاہیے، ورنہ 63 آئے گا۔ تعداد 252 الٹا دُگنا کر دیتی ہے۔
6 افراد کو 2 افراد والے تین گروہوں میں کتنے طریقوں سے تقسیم کیا جا سکتا ہے، جبکہ گروہوں میں کوئی فرق نہ کیا جائے؟
باری باری چننے سے ₆C₂×₄C₂=15×6=90 ملتا ہے، لیکن چونکہ گروہوں میں فرق نہیں کیا جاتا، اس لیے ہر تقسیم گروہوں کی 3!=6 ترتیبوں میں سے ہر ایک کے لیے ایک بار گنی گئی ہے۔ اس لیے جواب 90÷3!=15 طریقے ہے۔ 3! سے تقسیم کرنا بھول کر 90 جواب دینا سب سے عام غلطی ہے۔
ایک قصبے کی گلیاں مربع جال کی شکل میں ہیں۔ نقطہ A سے B تک کتنے مختصر ترین راستے ہیں، جبکہ B، A سے 4 بلاک مشرق اور 3 بلاک شمال میں ہے؟
کل 7 قدموں میں سے، جن میں 4 مشرق کی طرف اور 3 شمال کی طرف ہیں، یہ چنیں کہ کون سے 3 قدم شمال کی طرف ہوں: ₇C₃=35 طریقے۔ اسی طرح، مشرق-مشرق-مشرق-مشرق-شمال-شمال-شمال کی لڑی کی ترتیبیں 7!/(4!3!)=35 گنی جا سکتی ہیں۔ 4×3=12 لکھنا گننے کا غلط طریقہ ہے، اور 210 دراصل ₇P₃ ہے، یعنی اسے ترتیب (permutation) سمجھ لینا۔
ایک قصبے کی گلیاں مربع جال کی شکل میں ہیں۔ B، A سے 5 بلاک مشرق اور 4 بلاک شمال میں ہے۔ نقطہ A سے B تک کتنے مختصر ترین راستے نقطہ P سے نہیں گزرتے، جو A سے 2 بلاک مشرق اور 2 بلاک شمال میں ہے؟
کل ₉C₄=126 راستے ہیں۔ P سے گزرنے والے راستے A سے P تک ₄C₂=6 ضرب P سے B تک ₅C₂=10 ہیں، یعنی 60۔ اس لیے P سے بچنے والے راستے 126−60=66 ہیں۔ تعداد 60 گزرنے والی صورت کا جواب ہے، اور 126 بغیر شرط کے کل تعداد ہے۔
10 افراد میں سے چار افراد ڈیوٹی کے لیے چنے جاتے ہیں۔ کتنے طریقوں سے دو مخصوص افراد A اور B دونوں چنے جا سکتے ہیں؟
A اور B کو پہلے سے چنا ہوا سمجھیں اور باقی 8 میں سے مزید 2 چنیں: ₈C₂=28 طریقے۔ تعداد 56 دراصل ₈C₃ ہے، یعنی غلطی سے مزید 3 لینا، اور 45 دراصل ₁₀C₂ ہے، جس میں شرط کو غلط طریقے سے برتا گیا ہے۔
ایک بڑا اور ایک چھوٹا، دو پانسے ایک ساتھ پھینکے جاتے ہیں۔ اعداد کا مجموعہ 7 ہونے کا احتمال معلوم کریں۔
کل 6×6=36 نتائج ہیں۔ مجموعہ 7 ان صورتوں میں ہوتا ہے: (1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1)، جو 6 نتائج ہیں، اس لیے P=6/36=1/6۔ (1,6) اور (6,1) کو ایک ہی سمجھنے سے 3 اور نتیجتاً 1/12 آتا ہے، لیکن چونکہ نسب نما 36 پانسوں کو الگ الگ گنتا ہے، اس لیے شمار کنندہ کو بھی ایسا ہی کرنا چاہیے۔
ایک تھیلے میں 3 سرخ گیندیں اور 2 سفید گیندیں ہیں۔ دو گیندیں ایک ساتھ نکالی جاتی ہیں۔ دونوں کے سرخ ہونے کا احتمال معلوم کریں۔
کل ₅C₂=10 نتائج ہیں، اور 2 سرخ چننے کے ₃C₂=3 طریقے ہیں، اس لیے P=3/10۔ قیمت 9/25=(3/5)² اس صورت پر لاگو ہوتی ہے جب گیند واپس رکھ دی جائے، جو یہاں غلط ہے کیونکہ دونوں کو ایک ساتھ نکالنے کا مطلب ہے کہ واپس نہیں رکھا گیا۔
ایک بڑا اور ایک چھوٹا، دو پانسے ایک ساتھ پھینکے جاتے ہیں۔ کم از کم ایک پانسے پر 6 آنے کا احتمال معلوم کریں۔
تکمیلی واقعہ، یعنی کسی پر بھی 6 نہ آنا، کا احتمال (5/6)²=25/36 ہے، اس لیے P=1−25/36=11/36۔ قیمت 25/36 خود تکمیلی احتمال ہے۔ قیمت 1/3=2/6 اس سوچ سے آتی ہے کہ 6 دو جگہ آ سکتا ہے، اس لیے سرسری طور پر جمع کر دیا جائے، جو (6,6) کو دو بار گنتا ہے۔
تین سکے ایک ساتھ اچھالے جاتے ہیں۔ کم از کم ایک پر چت آنے کا احتمال معلوم کریں۔
تکمیلی واقعہ تینوں پر پٹ آنا ہے، جس کا احتمال (1/2)³=1/8 ہے، اس لیے P=1−1/8=7/8۔ جب بھی ’کم از کم‘ کا لفظ آئے، تکمیلی واقعے کے بارے میں سوچیں۔ قیمت 1/8 خود تکمیلی واقعے کا احتمال ہے۔
1 سے 20 تک نمبر والی پرچیوں میں سے ایک پرچی نکالی جاتی ہے۔ نمبر کے 3 یا 4 کا ضعف ہونے کا احتمال معلوم کریں۔
3 کے اضعاف 6 ہیں، 4 کے اضعاف 5، اور 12 کا 1 ضعف دونوں میں شامل ہے۔ اس لیے P=(6+5−1)/20=10/20=1/2۔ مشترک حصہ، یعنی 12 کا ضعف، منفی کرنا بھول جائیں تو 11/20 آتا ہے۔ جو واقعات باہم خارج (mutually exclusive) نہ ہوں، ان کے لیے جمع کا قاعدہ ہمیشہ P(A∩B) منفی کرتا ہے۔
A کا نشانہ 2/3 احتمال سے لگتا ہے اور B کا 3/5 احتمال سے۔ دونوں ایک ایک بار نشانہ لگاتے ہیں۔ یہ فرض کرتے ہوئے کہ ان کے نتائج ایک دوسرے سے آزاد ہیں، دونوں کا نشانہ لگنے کا احتمال معلوم کریں۔
آزاد آزمائشوں کے احتمالات ضرب ہوتے ہیں: P=(2/3)×(3/5)=6/15=2/5۔ قیمت 13/15 کم از کم ایک کا نشانہ لگنے کا احتمال ہے اور 2/15 دونوں کا نشانہ چوکنے کا، اس لیے دھیان سے پہچانیں کہ کون سا واقعہ پوچھا گیا ہے۔
ایک پانسہ 4 بار پھینکا جاتا ہے۔ ٹھیک دو بار 1 آنے کا احتمال معلوم کریں۔
بار بار کی آزمائشوں کا فارمولا ₄C₂(1/6)²(5/6)²=6×(1/36)×(25/36)=25/216 دیتا ہے۔ جزو ₄C₂ بھول جائیں تو 25/1296 آتا ہے، جو سب سے عام غلطی ہے، اور (5/6)² بھول جائیں تو 1/6 آتا ہے۔ ₄C₂ کو، یعنی یہ انتخاب کہ کن 2 پھینکوں پر 1 آئے، کبھی نہ بھولیں۔
ایک سکہ 5 بار اچھالا جاتا ہے۔ ٹھیک 3 بار چت آنے کا احتمال معلوم کریں۔
حساب ₅C₃(1/2)³(1/2)²=10×(1/2)⁵=10/32=5/16۔ جزو ₅C₃=10 بھول جائیں تو 1/32 آتا ہے۔ چت اور پٹ کے برابر امکان ہونے پر بھی یہ انتخاب ₅C₃ کہ کن اچھالوں پر چت آئے، پھر بھی ضروری ہے۔
10 پرچیوں میں سے، جن میں 3 انعامی ہیں، پہلے A اور پھر B ایک ایک پرچی واپس رکھے بغیر نکالتے ہیں۔ اگر A کی پرچی انعامی نکلی ہو تو B کی پرچی کے بھی انعامی ہونے کا مشروط احتمال معلوم کریں۔
جب A کی پرچی انعامی نکل آئی تو 9 پرچیاں باقی رہتی ہیں جن میں 2 انعامی ہیں، اس لیے مشروط احتمال 2/9 ہے۔ قیمت 3/10، B کے جیتنے کا غیر مشروط احتمال ہے، جو قرعہ اندازی کی منصفانہ نوعیت کی وجہ سے دوسرے نکالنے والے کے لیے بھی 3/10 ہے، اور 1/15=(3/10)×(2/9) دونوں کے جیتنے کا احتمال ہے، جسے مشروط احتمال سے آسانی سے گڈمڈ کیا جا سکتا ہے۔
ایک بڑا اور ایک چھوٹا، دو پانسے پھینکے جاتے ہیں اور مجموعہ کم از کم 10 نکلتا ہے۔ کم از کم ایک پانسے پر 6 آنے کا مشروط احتمال معلوم کریں۔
کم از کم 10 کا مجموعہ 6 طریقوں سے آتا ہے: (4,6)(5,5)(6,4)(5,6)(6,5)(6,6)۔ ان میں سے 5 میں 6 موجود ہے، یعنی (5,5) کے سوا سب میں۔ نسب نما کو کم از کم 10 مجموعے والے 6 نتائج تک محدود کرنے سے 5/6 ملتا ہے۔ قیمت 5/36 نسب نما کو 36 ہی رکھتی ہے اور مشترکہ احتمال ہے؛ مشروط احتمال میں نسب نما شرط والا سیٹ بن جاتا ہے۔
10 پرچیوں میں سے 2 پر 100 ین اور 3 پر 50 ین کا انعام ہے، جبکہ باقی 5 پر کچھ نہیں۔ ایک پرچی نکالنے پر انعام کی متوقع قیمت معلوم کریں۔
حساب E=100×(2/10)+50×(3/10)+0×(5/10)=20+15+0=35 ین۔ قیمت 50 تینوں انعامی رقموں کا سادہ اوسط (100+50+0)/3 ہے، جو احتمال کے وزن کو نظر انداز کرتا ہے۔ متوقع قیمت ہمیشہ قیمت ضرب احتمال کا مجموعہ ہوتی ہے۔
ایک پانسہ 3 بار پھینکا جاتا ہے۔ کم از کم ایک بار 6 آنے کا احتمال معلوم کریں۔
تکمیلی واقعہ، یعنی 3 پھینکوں میں سے کسی میں بھی 6 نہ آنا، کا احتمال (5/6)³=125/216 ہے، اس لیے P=1−125/216=91/216۔ قیمت 125/216 خود تکمیلی واقعے کا احتمال ہے۔ قیمت 25/72=75/216 ٹھیک ایک بار 6 آنے کا احتمال ₃C₁(1/6)(5/6)² ہے، اس لیے ’کم از کم ایک بار‘ سے اس کے فرق کا خیال رکھیں۔ قیمت 1/2، 1/6 کو سرسری طور پر تین بار جمع کرنے سے آتی ہے۔
یہ بے ترتیب سوالات والا مشق کا ٹول ہے (JavaScript فعال ہونے پر کام کرتا ہے)۔ اوپر دیے گئے تمام سوالات اور وضاحتیں اس کے بغیر بھی پڑھی جا سکتی ہیں۔
* یہ ہائی اسکول کے تعلیمی مواد کی دہرائی کے لیے ہے۔ اگر علامات یا طریقۂ کار آپ کی درسی کتاب یا آپ کے اسکول کی تدریس سے مختلف ہو تو اپنی درسی کتاب اور اپنے استاد کی وضاحت پر عمل کریں۔
یہ صفحہ جاپانی اصل متن کا ترجمہ ہے۔ اگر ترجمے اور اصل متن میں فرق ہو تو جاپانی ورژن کو ترجیح دی جائے گی۔ یہ ترجمہ AI کی مدد سے کیا گیا ہے اور اس میں غلطیاں ہو سکتی ہیں۔ ترجمے کی غلطی کی اطلاع دیں جاپانی اصل متن دیکھیں