Contagem e probabilidade (Matemática A)

A soma é 5 para (grande, pequeno) = (1,4), (2,3), (3,2) e (4,1), ou seja, 4 maneiras. Como os dados são distinguíveis, (1,4) e (4,1) são contados separadamente. Esquecer essa distinção e contar apenas {1,4} e {2,3} como 2 maneiras é um erro comum. A contagem 5 corresponde à soma 6.

A soma é múltiplo de 4 quando é igual a 4, 8 ou 12. A soma 4 ocorre de 3 maneiras, (1,3)(2,2)(3,1); a soma 8, de 5 maneiras, (2,6)(3,5)(4,4)(5,3)(6,2); e a soma 12, de 1 maneira, (6,6). Esses casos não podem ocorrer ao mesmo tempo, então o princípio aditivo dá 3+5+1=9 maneiras. Esquecer (6,6) deixa 8.

Para cada uma das 3 camisas há 4 escolhas de calça e, para cada uma delas, 2 escolhas de sapato, então o princípio multiplicativo dá 3×4×2=24 maneiras. Somar como 3+4+2=9 é um erro comum, e 12 esquece os sapatos.

Há 33 múltiplos de 3 e 20 múltiplos de 5, e 6 múltiplos de 15 estão nos dois grupos. Por n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B), obtemos 33+20−6=47. Esquecer de subtrair a interseção e escrever 33+20=53 é o erro mais comum.

O produto é par exatamente quando pelo menos um dos dados é par. Em vez de contar diretamente, é mais rápido subtrair do total de 36 os casos de produto ímpar, com os dois dados ímpares, que são 3×3=9, obtendo 36−9=27 maneiras. A contagem 9 corresponde ao próprio evento complementar, e 18 supõe, sem motivo, que deve ser a metade.

As formas de usar as moedas são 2×3×4=24, com 0 ou 1 moeda de 100, de 0 a 2 moedas de 50 e de 0 a 3 moedas de 10; retirando o caso de zero iene, restam 23. Mas, como 100 ienes equivalem a duas moedas de 50 ienes, formas diferentes de usar as moedas podem resultar no mesmo valor. Listando os valores, os valores distintos de 10 a 230 ienes são 19. Confundir as 23 formas de usar as moedas com a quantidade de valores é um erro comum.

Fatorando como 720=2⁴×3²×5, um divisor fica determinado ao escolher o expoente de 2 de 5 maneiras, o de 3 de 3 maneiras e o de 5 de 2 maneiras, o que dá (4+1)(2+1)(1+1)=30. Esquecer de somar 1 a cada expoente e escrever 4×3×2=24 é um erro comum, e 29 exclui o 1 dos divisores.

Cada termo vem de escolher uma letra de cada parêntese e multiplicá-las, então, pelo princípio multiplicativo, há 2×3×2=12. Somar como 2+3+2=7 é um erro comum, e 24 multiplica um fator a mais, como em 2×3×2×2.

₅P₃ é o produto de 3 inteiros consecutivos em ordem decrescente a partir de 5: 5×4×3=60. O valor 10 é ₅C₃, uma combinação, então tome cuidado para não confundir permutações e combinações. O valor 125 é 5³, que permite repetição.

Os dois cargos são diferentes, então a ordem de escolha importa e trata-se de uma permutação: ₁₀P₂=10×9=90 maneiras. Esquecer a distinção entre os cargos e escrever ₁₀C₂=45 é o erro mais comum. A contagem 100 é 10×10, que permite erroneamente que a mesma pessoa ocupe os dois cargos.

Os 4 alunos distintos são todos ordenados, então há 4!=4×3×2×1=24 maneiras. As contagens 16, como 4², e 256, como 4⁴, vêm de supor 4 escolhas em cada posição, o que permite repetição.

Tratando as duas meninas como um bloco, os 3 meninos e o bloco formam 4 elementos, dispostos de 4!=24 maneiras. Dentro do bloco, as meninas podem ser dispostas de 2!=2 maneiras, então a resposta é 24×2=48 maneiras. Esquecer o 2! interno e responder 24 é um erro comum, e 120 é 5!, a contagem sem nenhuma condição.

Fixe primeiro as posições mais restritas, as duas extremidades. A extremidade esquerda pode ser qualquer um dos 3 meninos e a direita qualquer um dos 2 restantes, o que dá ₃P₂=6 maneiras. As 3 pessoas do meio podem ser dispostas de 3!=6 maneiras, então o princípio multiplicativo dá 6×6=36 maneiras. Contar corretamente as extremidades como ₃P₂=6 e depois dobrar de novo pela troca entre esquerda e direita dá 72. A contagem 12 esquece as 3!=6 disposições do meio e escreve ₃P₂×2.

Em uma permutação circular, fixe uma pessoa e disponha as outras 4, o que dá (5−1)!=4!=24 maneiras. A contagem 5!=120 conta separadamente as 5 disposições que coincidem por rotação.

Tratando A e B como um bloco, obtém-se uma permutação circular de 6 elementos, que dá (6−1)!=120 maneiras. Multiplicando pelas 2! disposições de A e B dentro do bloco, obtém-se 120×2=240 maneiras. Esquecer o 2! deixa 120, e 720 é 6!, contagem sem a redução circular.

Trata-se de uma permutação com repetição, então há 5!/(2!2!)=120/4=30 maneiras. A contagem 5!=120 conta mais de uma vez as trocas de letras iguais, e 60 divide por 2! apenas uma vez.

6!/(3!2!)=720/12=60 maneiras. Divida tanto pelas 3! trocas das letras a quanto pelas 2! trocas das letras b. Dividir apenas por 3! dá 120, e apenas por 2! dá 360.

O algarismo das centenas não pode ser 0, então há 4 escolhas para ele; depois, 4 escolhas restantes para o algarismo das dezenas, que pode ser 0, e 3 para o das unidades. O princípio multiplicativo dá 4×4×3=48. O valor ₅P₃=60 também conta as disposições com 0 na frente, que são números de dois algarismos. O valor 36 viria de usar apenas 3 escolhas para o algarismo das dezenas, esquecendo que o 0 pode ficar ali, e 100 de permitir repetições, como 4×5×5.

₇C₂=7×6/(2×1)=21. O valor 42 é ₇P₂, que esquece de dividir por 2!. Como uma combinação ignora a ordem, divida o número de permutações por r!, o número de reordenações.

₈C₅=₈C₃=8×7×6/(3×2×1)=56. Escolher 5 é o mesmo que deixar 3 de fora, então é mais rápido calcular com o r menor. O valor 336 é 8×7×6 sem dividir por 3!, e 28 é ₈C₂.

Sem distinção de funções, trata-se de uma combinação: ₁₂C₃=12×11×10/(3×2×1)=220 maneiras. A contagem 1320 é ₁₂P₃, e confundir permutações com combinações é o erro mais comum. Quando não é preciso ordenar, divida por r!.

Os meninos podem ser escolhidos de ₅C₂=10 maneiras e as meninas de ₄C₂=6 maneiras, então o princípio multiplicativo dá 10×6=60 maneiras. A contagem 126 é ₉C₄, escolher 4 entre todos os 9 sem considerar o sexo, o que ignora a condição.

Escolher 2 dos 8 vértices dá ₈C₂=28 segmentos, mas os 8 lados que ligam vértices adjacentes não são diagonais. Assim, a resposta é 28−8=20. Esquecer de subtrair os lados e responder 28 é um erro comum.

Escolher quem vai para o grupo de 4 determina automaticamente o grupo de 5, então a resposta é ₉C₄=126 maneiras. Grupos de tamanhos diferentes já são distinguíveis, então não se deve dividir por 2!, o que daria 63. A contagem 252, ao contrário, dobra o resultado.

Escolher um grupo de cada vez dá ₆C₂×₄C₂=15×6=90, mas, como os grupos não são distinguidos, cada divisão foi contada uma vez para cada uma das 3!=6 ordens dos grupos. Assim, a resposta é 90÷3!=15 maneiras. Esquecer de dividir por 3! e responder 90 é o erro mais comum.

Dos 7 movimentos, 4 para leste e 3 para o norte, escolha quais 3 são para o norte: ₇C₃=35 maneiras. De forma equivalente, conte as disposições da sequência leste-leste-leste-leste-norte-norte-norte como 7!/(4!3!)=35. Escrever 4×3=12 é uma forma errada de contar, e 210 é ₇P₃, que trata o problema como permutação.

Ao todo há ₉C₄=126 caminhos. Os caminhos que passam por P são ₄C₂=6 de A até P vezes ₅C₂=10 de P até B, ou seja, 60. Assim, os caminhos que evitam P são 126−60=66. A contagem 60 responde ao caso que passa por P, e 126 é o total sem a condição.

Considere A e B já escolhidos e escolha mais 2 entre os 8 restantes: ₈C₂=28 maneiras. A contagem 56 é ₈C₃, que por engano escolhe mais 3, e 45 é ₁₀C₂, que trata a condição de forma errada.

Há 6×6=36 resultados ao todo. A soma é 7 para (1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1), ou seja, 6 resultados, então P=6/36=1/6. Tratar (1,6) e (6,1) como iguais dá 3 e, portanto, 1/12, mas, como o denominador 36 considera os dados distintos, o numerador também deve considerá-los.

Há ₅C₂=10 resultados ao todo e ₃C₂=3 maneiras de escolher 2 vermelhas, então P=3/10. O valor 9/25=(3/5)² vale quando a bola é devolvida, o que está errado aqui, porque retirar as duas ao mesmo tempo significa sem reposição.

O evento complementar, nenhum dos dois mostrar 6, tem probabilidade (5/6)²=25/36, então P=1−25/36=11/36. O valor 25/36 é a própria probabilidade complementar. O valor 1/3=2/6 vem de somar sem cuidado porque há dois lugares onde o 6 pode aparecer, o que conta (6,6) duas vezes.

O evento complementar é as três mostrarem coroa, com probabilidade (1/2)³=1/8, então P=1−1/8=7/8. Sempre que aparecer a expressão “pelo menos”, pense no complementar. O valor 1/8 é o próprio complementar.

Há 6 múltiplos de 3, 5 múltiplos de 4 e 1 múltiplo de 12 que está nos dois grupos. Assim, P=(6+5−1)/20=10/20=1/2. Esquecer de subtrair a interseção, o múltiplo de 12, dá 11/20. Para eventos que não são mutuamente exclusivos, a regra da adição sempre subtrai P(A∩B).

Em ensaios independentes, as probabilidades se multiplicam: P=(2/3)×(3/5)=6/15=2/5. O valor 13/15 é a probabilidade de pelo menos um acertar, e 2/15 a de os dois errarem, então tome cuidado para identificar o evento pedido.

A fórmula dos ensaios repetidos dá ₄C₂(1/6)²(5/6)²=6×(1/36)×(25/36)=25/216. Esquecer o fator ₄C₂ dá 25/1296, que é o erro mais comum, e esquecer (5/6)² dá 1/6. Nunca esqueça ₄C₂, a escolha de quais 2 lançamentos mostram o 1.

₅C₃(1/2)³(1/2)²=10×(1/2)⁵=10/32=5/16. Esquecer o fator ₅C₃=10 dá 1/32. Mesmo quando cara e coroa são igualmente prováveis, a escolha ₅C₃ de quais lançamentos mostram cara continua sendo necessária.

Depois que A foi premiada, restam 9 bilhetes, dos quais 2 são premiados, então a probabilidade condicional é 2/9. O valor 3/10 é a probabilidade incondicional de B ser premiada, que também é 3/10 para quem retira em segundo lugar, pela equidade do sorteio, e 1/15=(3/10)×(2/9) é a probabilidade de os dois serem premiados, que é facilmente confundida com a probabilidade condicional.

A soma de pelo menos 10 ocorre de 6 maneiras: (4,6)(5,5)(6,4)(5,6)(6,5)(6,6). Dessas, 5 contêm um 6, todas exceto (5,5). Restringindo o denominador aos 6 resultados com soma de pelo menos 10, obtém-se 5/6. O valor 5/36 mantém o denominador 36 e é a probabilidade conjunta; em uma probabilidade condicional, o denominador passa a ser o conjunto da condição.

E=100×(2/10)+50×(3/10)+0×(5/10)=20+15+0=35 ienes. O valor 50 é a média simples (100+50+0)/3 dos três valores de prêmio, ignorando os pesos das probabilidades. Um valor esperado é sempre a soma de valor vezes probabilidade.

O evento complementar, nenhum 6 nos 3 lançamentos, tem probabilidade (5/6)³=125/216, então P=1−125/216=91/216. O valor 125/216 é o próprio complementar. O valor 25/72=75/216 é a probabilidade de exatamente um 6, ₃C₁(1/6)(5/6)², então atenção à diferença em relação a “pelo menos uma vez”. O valor 1/2 vem de somar 1/6 três vezes sem cuidado.