Trung học phổ thông · Toán THPT: phòng luyện kiểm tra định kỳ
Bạn có thể đọc câu hỏi và lời giải bằng Tiếng Việt. Bài giảng (bài viết giải thích) chỉ có bản tiếng Nhật.
Xem bản tiếng Nhật (có bài giảng) →
Gieo đồng thời hai con xúc xắc lớn và nhỏ. Có bao nhiêu cách để tổng số chấm bằng 5?
Tổng bằng 5 xảy ra với các cặp lớn và nhỏ là (1,4), (2,3), (3,2), (4,1), tất cả 4 cách. Vì hai con xúc xắc phân biệt nên (1,4) và (4,1) được đếm riêng. Lỗi hay gặp là quên phân biệt và chỉ đếm 2 cách. Con số 5 cách là số cách để tổng bằng 6.
Gieo đồng thời hai con xúc xắc lớn và nhỏ. Có bao nhiêu cách để tổng số chấm là bội của 4?
Tổng là bội của 4 khi tổng nhận một trong các giá trị 4,8,12. Tổng 4 có (1,3), (2,2), (3,1) là 3 cách; tổng 8 có (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) là 5 cách; tổng 12 có (6,6) là 1 cách. Các trường hợp không xảy ra đồng thời nên theo quy tắc cộng ta có 3+5+1=9 cách. Quên (6,6) sẽ ra 8 cách.
Có 3 loại áo, 4 loại quần và 2 loại giày. Chọn mỗi thứ một món thì có tất cả bao nhiêu cách chọn?
Với mỗi cách chọn trong 3 cách chọn áo lại có 4 cách chọn quần, và với mỗi cách đó lại có 2 cách chọn giày, nên theo quy tắc nhân có 3×4×2=24 cách. Lỗi hay gặp là cộng thành 3+4+2=9 cách. Con số 12 cách là kết quả khi quên phần giày.
Trong các số tự nhiên từ 1 đến 100, có bao nhiêu số là bội của 3 hoặc bội của 5?
Bội của 3 có 33 số, bội của 5 có 20 số, và bội của 15 nằm trong cả hai nhóm có 6 số. Theo n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B) ta được 33+20−6=47 số. Lỗi phổ biến nhất là quên trừ phần giao và lấy 33+20=53 số.
Gieo đồng thời hai con xúc xắc lớn và nhỏ. Có bao nhiêu cách để tích số chấm là số chẵn?
Tích chẵn nghĩa là có ít nhất một số chẵn. Thay vì đếm trực tiếp, nhanh hơn là lấy toàn bộ 36 cách trừ đi số cách để tích lẻ, tức cả hai đều lẻ, là 3×3=9 cách, được 36−9=27 cách. Đáp án 9 cách là trả lời chính biến cố đối, còn 18 cách là suy đoán rằng phải bằng một nửa.
Có 1 đồng 100 yên, 2 đồng 50 yên và 3 đồng 10 yên. Dùng một phần hoặc toàn bộ số tiền đó thì trả được đúng bao nhiêu số tiền khác nhau?
Số cách dùng là 2×3×4=24, ứng với 0 hoặc 1 đồng 100 yên, 0 đến 2 đồng 50 yên, 0 đến 3 đồng 10 yên, bỏ trường hợp 0 yên thì còn 23. Tuy nhiên 100 yên bằng hai đồng 50 yên nên nhiều cách dùng cho cùng một số tiền. Liệt kê các số tiền từ 10 đến 230 yên thì chỉ có 19 giá trị khác nhau. Lỗi hay gặp là lẫn số cách dùng, tức 23, với số các số tiền.
Số 720 có tất cả bao nhiêu ước số dương?
Phân tích thừa số nguyên tố được 720=2⁴×3²×5, nên số ước bằng tích số cách chọn số mũ: 5 cách cho 2, 3 cách cho 3 và 2 cách cho 5, tức (4+1)(2+1)(1+1)=30 ước. Lỗi hay gặp là quên cộng 1 vào các số mũ và tính 4×3×2=24 ước. Con số 29 là do loại bỏ ước số 1.
Khai triển (a+b)(p+q+r)(x+y) thì thu được tất cả bao nhiêu hạng tử?
Mỗi hạng tử là tích của một chữ chọn từ mỗi ngoặc, nên theo quy tắc nhân có 2×3×2=12 hạng tử. Lỗi hay gặp là cộng thành 2+3+2=7. Con số 24 là do nhân thừa, chẳng hạn 2×3×2×2.
Hãy tính giá trị của ₅P₃.
Giá trị ₅P₃ là tích của 3 số nguyên liên tiếp bắt đầu từ 5, tức 5×4×3=60. Con số 10 là giá trị của ₅C₃, tức tổ hợp, nên cần cẩn thận không lẫn chỉnh hợp với tổ hợp. Con số 125 là 5³, ứng với trường hợp cho phép lặp lại.
Từ 10 thành viên của câu lạc bộ, chọn 1 lớp trưởng và 1 lớp phó thì có bao nhiêu cách?
Vì hai vai trò khác nhau nên thứ tự chọn có ý nghĩa, đây là chỉnh hợp: ₁₀P₂=10×9=90 cách. Lỗi phổ biến nhất là quên phân biệt vai trò và lấy ₁₀C₂=45 cách. Con số 100 là 10×10, tính cả trường hợp một người kiêm cả hai vai trò.
Có bao nhiêu cách xếp 4 học sinh thành một hàng?
Xếp toàn bộ 4 người khác nhau nên có 4!=4×3×2×1=24 cách. Con số 16 là 4² và 256 là 4⁴, đều là lỗi đếm theo kiểu mỗi vị trí có 4 lựa chọn, tức cho phép lặp lại.
Xếp 3 nam và 2 nữ, tổng cộng 5 người, thành một hàng sao cho 2 nữ đứng cạnh nhau thì có bao nhiêu cách?
Buộc 2 nữ thành một khối thì có 3 nam và 1 khối, tổng cộng 4 đối tượng, xếp được 4!=24 cách. Trong khối, 2 nữ đổi chỗ cho nhau được 2!=2 cách, nên tất cả là 24×2=48 cách. Lỗi hay gặp là quên nhân 2! và dừng ở 24 cách. Con số 120 là 5!, tức không có điều kiện gì.
Xếp 3 nam và 2 nữ, tổng cộng 5 người, thành một hàng sao cho hai đầu hàng đều là nam thì có bao nhiêu cách?
Hãy xếp chỗ có điều kiện chặt trước, tức hai đầu hàng. Đầu trái có 3 cách chọn nam, đầu phải có 2 cách chọn nam còn lại, tức ₃P₂=6 cách. Ba người ở giữa xếp được 3!=6 cách. Theo quy tắc nhân có 6×6=36 cách. Nếu sau khi đã đếm đúng ₃P₂=6 mà còn nhân thêm 2 vì đổi chỗ trái phải thì sẽ ra 72 cách. Con số 12 là do quên 3!=6 của ba người giữa và chỉ lấy ₃P₂×2.
Có bao nhiêu cách xếp 5 người ngồi quanh một bàn tròn, biết rằng các cách ngồi trùng nhau qua phép quay được coi là như nhau?
Với hoán vị vòng quanh, ta cố định một người rồi xếp 4 người còn lại, được (5−1)!=4!=24 cách. Con số 5!=120 là lỗi đếm riêng 5 cách quay trùng nhau của cùng một cách ngồi.
Xếp 7 người thành vòng tròn sao cho hai người A và B ngồi cạnh nhau thì có bao nhiêu cách, biết rằng các cách trùng nhau qua phép quay được coi là như nhau?
Buộc A và B thành một khối thì còn 6 đối tượng xếp vòng quanh, được (6−1)!=120 cách. Nhân thêm 2! cho hai cách xếp A và B trong khối được 120×2=240 cách. Quên nhân 2! sẽ ra 120 cách. Con số 720 là 6!, tức lỗi không dùng hoán vị vòng quanh.
Có bao nhiêu cách xếp 5 chữ a, a, b, b, c thành một hàng?
Đây là hoán vị của các phần tử có lặp nên số cách là 5!/(2!2!)=120/4=30. Con số 5!=120 là lỗi đếm trùng các cách đổi chỗ giữa những chữ giống nhau. Con số 60 là kết quả khi chỉ chia cho 2! một lần.
Có bao nhiêu cách xếp 6 chữ a, a, a, b, b, c thành một hàng?
Số cách là 6!/(3!2!)=720/12=60, tức chia cho cả 3! của các chữ a lẫn 2! của các chữ b. Chỉ chia cho 3! sẽ ra 120, còn chỉ chia cho 2! sẽ ra 360.
Từ 5 tấm thẻ ghi 0, 1, 2, 3, 4, chọn 3 tấm khác nhau và xếp lại để tạo số có ba chữ số. Có tất cả bao nhiêu số như vậy?
Chữ số hàng trăm không được là 0 nên có 4 cách, hàng chục có 4 cách trong các thẻ còn lại vì lúc này được dùng 0, hàng đơn vị có 3 cách. Theo quy tắc nhân có 4×4×3=48 số. Con số ₅P₃=60 là lỗi đếm cả những trường hợp hàng trăm là 0, tức thực chất chỉ là số có hai chữ số.
Hãy tính giá trị của ₇C₂.
Ta có ₇C₂=7×6/(2×1)=21. Con số 42 là ₇P₂, tức quên chia cho 2!. Tổ hợp không xét thứ tự nên phải chia chỉnh hợp cho số cách sắp xếp r!.
Hãy tính giá trị của ₈C₅.
Ta có ₈C₅=₈C₃=8×7×6/(3×2×1)=56. Chọn ra 5 phần tử cũng chính là để lại 3 phần tử, nên tính theo số nhỏ hơn sẽ nhanh hơn. Con số 336 là 8×7×6 khi quên chia cho 3!, còn 28 là ₈C₂.
Chọn 3 đại diện từ 12 người thì có bao nhiêu cách, biết rằng các đại diện không phân biệt vai trò?
Vì không phân biệt vai trò nên đây là tổ hợp: ₁₂C₃=12×11×10/(3×2×1)=220 cách. Con số 1320 là ₁₂P₃, và nhầm tổ hợp với chỉnh hợp là lỗi phổ biến nhất. Khi không cần sắp thứ tự thì phải chia cho r!.
Từ 5 nam và 4 nữ, chọn 2 nam và 2 nữ thì có bao nhiêu cách?
Số cách chọn nam là ₅C₂=10 và số cách chọn nữ là ₄C₂=6, nên theo quy tắc nhân có 10×6=60 cách. Con số 126 là ₉C₄, tức chọn 4 người từ 9 người mà bỏ qua điều kiện về giới.
Bát giác đều có tất cả bao nhiêu đường chéo?
Chọn 2 trong 8 đỉnh được ₈C₂=28 đoạn thẳng, nhưng 8 đoạn nối hai đỉnh kề nhau là các cạnh chứ không phải đường chéo. Vậy có 28−8=20 đường chéo. Lỗi hay gặp là quên trừ các cạnh và trả lời 28.
Chia 9 người thành hai nhóm, một nhóm 4 người và một nhóm 5 người, thì có bao nhiêu cách?
Chỉ cần chọn những người vào nhóm 4 người, phần còn lại tự động thành nhóm 5 người, nên có ₉C₄=126 cách. Hai nhóm khác số người nên đã tự phân biệt, không được chia cho 2!, vì chia sẽ ra 63 cách. Con số 252 là lỗi nhân đôi.
Chia 6 người thành 3 nhóm, mỗi nhóm 2 người, thì có bao nhiêu cách, biết rằng các nhóm không phân biệt?
Chọn lần lượt được ₆C₂×₄C₂=15×6=90 cách, nhưng vì các nhóm không phân biệt nên cùng một cách chia đã bị đếm lặp 3!=6 lần theo thứ tự các nhóm. Vậy kết quả là 90÷3!=15 cách. Lỗi phổ biến nhất là quên chia cho 3! và trả lời 90.
Cho một mạng đường dạng ô lưới. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất từ điểm A tới điểm B nằm cách A 4 ô về phía đông và 3 ô về phía bắc?
Trong 7 bước di chuyển gồm 4 bước sang đông và 3 bước lên bắc, chỉ cần chọn xem 3 bước nào là hướng bắc, tức ₇C₃=35 đường. Cũng có thể xem là số cách sắp xếp dãy đông đông đông đông bắc bắc bắc, tức 7!/(4!3!)=35. Lấy 4×3=12 là cách đếm sai, còn 210 là ₇P₃, tức nhầm sang chỉnh hợp.
Cho một mạng đường dạng ô lưới. Đi ngắn nhất từ điểm A tới điểm B nằm cách A 5 ô về phía đông và 4 ô về phía bắc, có bao nhiêu đường không đi qua điểm P nằm cách A 2 ô về phía đông và 2 ô về phía bắc?
Tổng số đường là ₉C₄=126. Số đường đi qua P bằng số đường từ A tới P là ₄C₂=6 nhân số đường từ P tới B là ₅C₂=10, tức 60 đường. Vậy số đường không đi qua P là 126−60=66. Con số 60 là trả lời trường hợp có đi qua P, còn 126 là giữ nguyên tổng số.
Chọn 4 người trực từ 10 người sao cho hai người A và B đều được chọn thì có bao nhiêu cách?
Coi như A và B đã được chọn sẵn, chỉ cần chọn thêm 2 người từ 8 người còn lại, tức ₈C₂=28 cách. Con số 56 là ₈C₃, tức lấy nhầm số người còn phải chọn là 3, còn 45 là ₁₀C₂, tức xử lý sai điều kiện.
Gieo đồng thời hai con xúc xắc lớn và nhỏ. Hãy tính xác suất để tổng số chấm bằng 7.
Không gian mẫu có 6×6=36 kết quả. Tổng bằng 7 ứng với (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1), tức 6 kết quả, nên P=6/36=1/6. Nếu coi (1,6) và (6,1) là một và chỉ đếm 3 thì sẽ ra 1/12, nhưng mẫu số 36 đã phân biệt hai con xúc xắc nên tử số cũng phải đếm có phân biệt.
Một túi có 3 bóng đỏ và 2 bóng trắng. Lấy đồng thời 2 quả, hãy tính xác suất để cả 2 quả đều đỏ.
Không gian mẫu có ₅C₂=10 cách, số cách chọn 2 quả đỏ là ₃C₂=3, nên P=3/10. Giá trị 9/25=(3/5)² ứng với trường hợp lấy xong rồi trả lại, còn lấy đồng thời thì không hoàn lại nên đáp án đó sai.
Gieo đồng thời hai con xúc xắc lớn và nhỏ. Hãy tính xác suất để có ít nhất một con ra mặt 6 chấm.
Biến cố đối là không con nào ra mặt 6, có xác suất (5/6)²=25/36, nên P=1−25/36=11/36. Đáp án 25/36 là trả lời chính xác suất của biến cố đối. Đáp án 1/3=2/6 là lỗi cộng vội vì nghĩ có hai chỗ để mặt 6 xuất hiện, khi đó (6,6) bị đếm hai lần.
Tung đồng thời 3 đồng xu. Hãy tính xác suất để có ít nhất 1 đồng ra mặt ngửa.
Biến cố đối là cả 3 đồng đều sấp, có xác suất (1/2)³=1/8, nên P=1−1/8=7/8. Hễ gặp cụm ít nhất thì hãy nghĩ tới biến cố đối. Đáp án 1/8 là trả lời chính biến cố đối.
Rút một thẻ trong các thẻ đánh số từ 1 đến 20. Hãy tính xác suất để số trên thẻ là bội của 3 hoặc bội của 4.
Bội của 3 có 6 thẻ, bội của 4 có 5 thẻ, và bội của 12 nằm trong cả hai nhóm có 1 thẻ. Vậy P=(6+5−1)/20=10/20=1/2. Quên trừ phần giao là các bội của 12 sẽ ra 11/20. Với các biến cố không xung khắc thì luôn phải trừ đi P(A∩B).
Xác suất bắn trúng đích của A là 2/3 và của B là 3/5. Mỗi người bắn một lần, hãy tính xác suất để cả hai đều trúng, biết rằng kết quả của hai người độc lập với nhau.
Vì hai phép thử độc lập nên lấy tích các xác suất: P=(2/3)×(3/5)=6/15=2/5. Giá trị 13/15 là xác suất có ít nhất một người trúng, còn 2/15 là xác suất cả hai đều trượt, nên cần đọc kỹ biến cố được hỏi.
Gieo một con xúc xắc 4 lần. Hãy tính xác suất để mặt 1 chấm xuất hiện đúng 2 lần.
Theo công thức phép thử lặp, ₄C₂(1/6)²(5/6)²=6×(1/36)×(25/36)=25/216. Quên nhân ₄C₂ sẽ ra 25/1296, đây là lỗi phổ biến nhất. Quên nhân (5/6)² sẽ ra 1/6. Đừng bỏ sót số cách chọn ₄C₂ cho vị trí của hai lần ra mặt 1.
Tung một đồng xu 5 lần. Hãy tính xác suất để mặt ngửa xuất hiện đúng 3 lần.
Ta có ₅C₃(1/2)³(1/2)²=10×(1/2)⁵=10/32=5/16. Quên nhân ₅C₃=10 sẽ ra 1/32. Dù xác suất ngửa và sấp bằng nhau thì vẫn cần số cách chọn vị trí ₅C₃.
Trong 10 vé có 3 vé trúng. Giáp rồi Ất lần lượt rút mỗi người một vé và không hoàn lại. Biết Giáp đã trúng, hãy tính xác suất có điều kiện để Ất cũng trúng.
Sau khi Giáp trúng, còn lại 9 vé trong đó có 2 vé trúng, nên xác suất có điều kiện là 2/9. Giá trị 3/10 là xác suất Ất trúng khi bỏ qua điều kiện, do tính công bằng của việc rút thăm thì người thứ hai cũng có 3/10. Giá trị 1/15=(3/10)×(2/9) là xác suất cả hai cùng trúng, đừng lẫn với xác suất có điều kiện.
Gieo hai con xúc xắc lớn và nhỏ, biết rằng tổng số chấm từ 10 trở lên. Hãy tính xác suất có điều kiện để có ít nhất một con ra mặt 6 chấm.
Tổng từ 10 trở lên ứng với (4,6), (5,5), (6,4), (5,6), (6,5), (6,6), tức 6 kết quả. Trong đó có chứa mặt 6 là 5 kết quả, tất cả trừ (5,5). Thu mẫu số về đúng 6 kết quả của điều kiện, ta được 5/6. Giá trị 5/36 là xác suất đồng thời khi giữ nguyên mẫu số 36, trong khi xác suất có điều kiện thì mẫu số đổi thành tập hợp của điều kiện.
Trong 10 vé có 2 vé thưởng 100 yên, 3 vé thưởng 50 yên và 5 vé còn lại không có thưởng. Hãy tính kỳ vọng của tiền thưởng khi rút một vé.
Ta có E=100×(2/10)+50×(3/10)+0×(5/10)=20+15+0=35 yên. Giá trị 50 yên là trung bình cộng đơn thuần của ba mức thưởng, tức (100+50+0)/3, bỏ qua trọng số là xác suất. Kỳ vọng luôn phải tính bằng tổng của các tích giá trị nhân xác suất.
Gieo một con xúc xắc 3 lần. Hãy tính xác suất để mặt 6 chấm xuất hiện ít nhất 1 lần.
Biến cố đối là cả 3 lần đều không ra mặt 6, có xác suất (5/6)³=125/216, nên P=1−125/216=91/216. Đáp án 125/216 là trả lời chính biến cố đối. Giá trị 25/72=75/216 là xác suất ra đúng 1 lần, tức ₃C₁(1/6)(5/6)², khác với ít nhất 1 lần. Đáp án 1/2 là lỗi cộng vội 1/6 ba lần.
Đây là công cụ luyện tập với câu hỏi ngẫu nhiên (hoạt động khi JavaScript được bật). Bạn vẫn có thể đọc toàn bộ câu hỏi và phần giải thích ở trên.
* Tài liệu dùng để ôn tập nội dung học ở bậc THPT. Nếu cách viết hoặc cách trình bày khác với sách giáo khoa hay hướng dẫn của trường, hãy ưu tiên sách giáo khoa và lời giảng của giáo viên.
Trang này là bản dịch từ nguyên bản tiếng Nhật. Nếu nội dung bản dịch và nguyên bản khác nhau, bản tiếng Nhật sẽ được ưu tiên. Xem nguyên bản tiếng Nhật