จำนวนวิธีและความน่าจะเป็น

ผลรวมเท่ากับ 5 เกิดจากคู่ลูกใหญ่กับลูกเล็กคือ (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) รวม 4 วิธี เนื่องจากลูกเต๋าสองลูกแยกความต่างได้ จึงต้องนับ (1,4) กับ (4,1) แยกกัน ความผิดพลาดที่พบบ่อยคือลืมความต่างแล้วนับเป็น {1,4} กับ {2,3} เพียง 2 วิธี ส่วน 5 วิธี คือจำนวนกรณีที่ผลรวมเท่ากับ 6

ผลรวมที่เป็นพหุคูณของ 4 คือ 4,8,12 โดยผลรวม 4 มี (1,3)(2,2)(3,1) รวม 3 วิธี ผลรวม 8 มี (2,6)(3,5)(4,4)(5,3)(6,2) รวม 5 วิธี และผลรวม 12 มี (6,6) รวม 1 วิธี เนื่องจากเกิดพร้อมกันไม่ได้ จึงใช้กฎการบวกได้ 3+5+1=9 วิธี ถ้าลืม (6,6) จะเหลือ 8 วิธี

วิธีเลือกเสื้อมี 3 วิธี แต่ละวิธีมีกางเกงให้เลือก 4 วิธี และแต่ละกรณีมีรองเท้าให้เลือก 2 วิธี ตามกฎการคูณจึงได้ 3×4×2=24 วิธี ความผิดพลาดที่พบบ่อยคือนำมาบวกเป็น 3+4+2=9 วิธี ส่วน 12 วิธี คือค่าที่ลืมนับรองเท้า

พหุคูณของ 3 มี 33 จำนวน พหุคูณของ 5 มี 20 จำนวน และพหุคูณของ 15 ซึ่งอยู่ในทั้งสองกลุ่มมี 6 จำนวน จาก n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B)=33+20−6=47 จำนวน ความผิดพลาดที่พบมากที่สุดคือลืมลบส่วนที่ซ้อนกันแล้วตอบ 33+20=53 จำนวน

ผลคูณเป็นจำนวนคู่ก็ต่อเมื่ออย่างน้อยหนึ่งลูกออกแต้มคู่ แทนที่จะนับตรง ๆ ให้เอาทั้งหมด 36 วิธี ลบด้วยกรณีที่ผลคูณเป็นจำนวนคี่ ซึ่งคือทั้งสองลูกออกแต้มคี่เท่ากับ 3×3=9 วิธี ได้ 36−9=27 วิธี ซึ่งเร็วกว่า ข้อ 9 วิธี คือการตอบเหตุการณ์ตรงข้ามไปเลย และ 18 วิธี เกิดจากคิดเอาเองว่าเป็นครึ่งหนึ่ง

วิธีใช้เหรียญคือ เหรียญ 100 เยน ใช้ 0 ถึง 1 เหรียญ เหรียญ 50 เยน ใช้ 0 ถึง 2 เหรียญ และเหรียญ 10 เยน ใช้ 0 ถึง 3 เหรียญ รวม 2×3×4=24 แบบ เมื่อตัดกรณีที่จ่าย 0 เยน ออกจะเหลือ 23 แบบ แต่เพราะเหรียญ 100 เยน มีค่าเท่ากับเหรียญ 50 เยน สองเหรียญ จึงมีวิธีใช้ที่ให้จำนวนเงินซ้ำกัน เมื่อเขียนจำนวนเงินออกมาจริงจะได้ 19 แบบ ในช่วง 10 ถึง 230 เยน ความผิดพลาดที่พบบ่อยคือสับสนระหว่างจำนวนวิธีใช้เหรียญซึ่งเท่ากับ 23 กับจำนวนของจำนวนเงิน

แยกตัวประกอบเฉพาะได้ 720=2⁴×3²×5 ตัวหารเกิดจากการเลือกเลขชี้กำลังของ 2 ได้ 5 แบบ ของ 3 ได้ 3 แบบ และของ 5 ได้ 2 แบบ นำมาคูณกันได้ (4+1)(2+1)(1+1)=30 ตัว ความผิดพลาดที่พบบ่อยคือลืมบวก 1 ให้เลขชี้กำลังแล้วคิดเป็น 4×3×2=24 ตัว ส่วน 29 ตัว คือค่าที่ตัด 1 ออกจากการเป็นตัวหาร

แต่ละพจน์เกิดจากการเลือกตัวอักษรจากแต่ละวงเล็บมาอย่างละหนึ่งตัวแล้วคูณกัน ตามกฎการคูณจึงมี 2×3×2=12 พจน์ ความผิดพลาดที่พบบ่อยคือนำมาบวกเป็น 2+3+2=7 พจน์ ส่วน 24 พจน์ เกิดจากคูณเกินไปอย่าง 2×3×2×2

₅P₃ คือการคูณจำนวนเต็ม 3 จำนวนโดยเริ่มจาก 5 นั่นคือ 5×4×3=60 ข้อ 10 คือค่าของ ₅C₃ ซึ่งเป็นการจัดหมู่ จึงต้องระวังไม่สลับกันระหว่างการเรียงสับเปลี่ยนกับการจัดหมู่ ส่วน 125 คือ 5³ ซึ่งเป็นค่าเมื่อยอมให้ซ้ำได้

ประธานกับรองประธานมีบทบาทต่างกัน ลำดับของการเลือกจึงมีความหมาย เป็นการเรียงสับเปลี่ยน ได้ ₁₀P₂=10×9=90 วิธี ความผิดพลาดที่พบมากที่สุดคือลืมความต่างของบทบาทแล้วคิดเป็น ₁₀C₂=45 วิธี ส่วน 100 วิธี คือ 10×10 ซึ่งรวมกรณีที่คนเดียวกันควบทั้งสองตำแหน่ง

เป็นการนำคน 4 คนที่ต่างกันมาเรียงทั้งหมด จึงได้ 4!=4×3×2×1=24 วิธี ข้อ 16 วิธี คือ 4² และ 256 วิธี คือ 4⁴ ซึ่งทั้งคู่เกิดจากนับแบบยอมให้ซ้ำได้ว่าแต่ละตำแหน่งมี 4 ทางเลือก

มัดนักเรียนหญิง 2 คนเป็นก้อนเดียว จะเหลือของที่ต้องเรียง 4 อย่างคือชาย 3 คนกับก้อน 1 ก้อน ได้ 4!=24 วิธี ภายในก้อนยังสลับกันได้ 2!=2 วิธี จึงได้ 24×2=48 วิธี ความผิดพลาดที่พบบ่อยคือลืมคูณ 2! ของภายในก้อนแล้วตอบ 24 วิธี ส่วน 120 วิธี คือ 5! ซึ่งเป็นกรณีที่ไม่มีเงื่อนไข

ให้เริ่มจากตำแหน่งที่มีเงื่อนไขแรงคือปลายทั้งสอง ปลายซ้ายเลือกนักเรียนชายได้ 3 วิธี ปลายขวาเลือกนักเรียนชายที่เหลือได้ 2 วิธี รวมเป็น ₃P₂=6 วิธี ส่วนอีก 3 คนตรงกลางเรียงได้ 3!=6 วิธี ตามกฎการคูณได้ 6×6=36 วิธี ถ้านับปลายทั้งสองเป็น ₃P₂=6 วิธี อย่างถูกต้องแล้วแต่ยังคูณ 2 เพื่อสลับซ้ายขวาอีก จะได้ 72 วิธี ส่วน 12 วิธี คือค่าที่ลืมการเรียงของ 3 คนตรงกลางซึ่งเท่ากับ 3!=6 แล้วคิดเป็น ₃P₂×2

ในการเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม ให้ตรึงคนหนึ่งไว้แล้วเรียงอีก 4 คน จึงได้ (5−1)!=4!=24 วิธี ข้อ 120 วิธี คือ 5! ซึ่งเกิดจากนับแบบที่หมุนแล้วซ้อนทับกัน 5 แบบเป็นคนละแบบ

มัด A กับ B เป็นก้อนเดียว จะกลายเป็นการเรียงเชิงวงกลมของ 6 สิ่ง ได้ (6−1)!=120 วิธี แล้วคูณด้วยการสลับ A กับ B ภายในก้อนซึ่งเท่ากับ 2! ได้ 120×2=240 วิธี ถ้าลืมคูณ 2! จะเหลือ 120 วิธี ส่วน 720 วิธี คือ 6! ซึ่งเกิดจากไม่ได้นับแบบเชิงวงกลม

เป็นการเรียงสับเปลี่ยนที่มีของซ้ำ จึงได้ 5!/(2!2!)=120/4=30 วิธี ข้อ 120 วิธี คือ 5! ซึ่งนับการสลับตัวอักษรที่เหมือนกันซ้ำเข้าไปด้วย และ 60 วิธี คือค่าที่หารด้วย 2! เพียงครั้งเดียว

6!/(3!2!)=720/12=60 วิธี ต้องหารทั้งด้วยการสลับของ a ซึ่งเท่ากับ 3! และการสลับของ b ซึ่งเท่ากับ 2! ถ้าหารด้วย 3! อย่างเดียวจะได้ 120 วิธี และถ้าหารด้วย 2! อย่างเดียวจะได้ 360 วิธี

หลักร้อยใช้ 0 ไม่ได้ จึงมี 4 ทางเลือกที่ไม่ใช่ 0 หลักสิบมี 4 ทางเลือกจากที่เหลือซึ่งใช้ 0 ได้ และหลักหน่วยมี 3 ทางเลือกจากที่เหลือ ตามกฎการคูณได้ 4×4×3=48 จำนวน ข้อ 60 จำนวน คือ ₅P₃ ซึ่งนับกรณีที่หลักร้อยเป็น 0 อันที่จริงเป็นจำนวนสองหลักเข้าไปด้วย

₇C₂=7×6/(2×1)=21 ข้อ 42 คือ ₇P₂ ซึ่งลืมหารด้วย 2! การจัดหมู่ไม่สนใจลำดับ จึงต้องหารการเรียงสับเปลี่ยนด้วยจำนวนวิธีสลับที่ซึ่งเท่ากับ r!

₈C₅=₈C₃=8×7×6/(3×2×1)=56 เพราะการเลือกมา 5 ตัว กับการเหลือไว้ 3 ตัว เป็นเรื่องเดียวกัน การคำนวณด้วย r ที่เล็กกว่าจึงเร็วกว่า ข้อ 336 คือ 8×7×6 ที่ลืมหารด้วย 3! และ 28 คือ ₈C₂

เมื่อไม่มีการแบ่งบทบาทจึงเป็นการจัดหมู่ ได้ ₁₂C₃=12×11×10/(3×2×1)=220 วิธี ข้อ 1320 วิธี คือ ₁₂P₃ ซึ่งเป็นความผิดพลาดที่พบมากที่สุดจากการสับสนกับการเรียงสับเปลี่ยน เมื่อไม่ต้องเรียงลำดับให้หารด้วย r!

วิธีเลือกนักเรียนชายคือ ₅C₂=10 วิธี และวิธีเลือกนักเรียนหญิงคือ ₄C₂=6 วิธี ตามกฎการคูณได้ 10×6=60 วิธี ข้อ 126 วิธี คือ ₉C₄ ซึ่งเลือก 4 คนจาก 9 คนโดยไม่แยกชายหญิง อันเป็นการละเลยเงื่อนไข

การเลือกจุดยอด 2 จุดจาก 8 จุดได้ ₈C₂=28 ส่วนของเส้นตรง ในจำนวนนี้มีด้าน 8 เส้นที่เชื่อมจุดยอดซึ่งอยู่ติดกัน ซึ่งไม่นับเป็นเส้นทแยงมุม จึงเหลือ 28−8=20 เส้น ความผิดพลาดที่พบบ่อยคือลืมลบด้านออกแล้วตอบ 28 เส้น

เมื่อเลือกคนที่จะอยู่ในกลุ่ม 4 คนแล้ว ที่เหลือจะเป็นกลุ่ม 5 คนโดยอัตโนมัติ จึงได้ ₉C₄=126 วิธี เนื่องจากกลุ่มที่มีจำนวนคนต่างกันย่อมแยกความต่างได้เอง จึงห้ามหารด้วย 2! เพราะถ้าหารจะเหลือ 63 วิธี ส่วน 252 วิธี เกิดจากคูณสองเข้าไปในทางกลับกัน

ถ้าเลือกไปทีละกลุ่มจะได้ ₆C₂×₄C₂=15×6=90 วิธี แต่เพราะกลุ่มไม่มีการแยกความต่าง การแบ่งแบบเดียวกันจึงถูกนับซ้ำเท่ากับจำนวนวิธีสลับกลุ่มคือ 3!=6 วิธี จึงต้องหารได้ 90÷3!=15 วิธี ความผิดพลาดที่พบมากที่สุดคือลืมหารด้วย 3! แล้วตอบ 90 วิธี

การเคลื่อนที่มี 7 ครั้ง คือไปทางตะวันออก 4 ครั้งและทางเหนือ 3 ครั้ง เลือกว่าครั้งใดใน 3 ครั้งจะไปทางเหนือ ได้ ₇C₃=35 วิธี หรือคิดเป็นการสลับที่ของอักษรแทนทิศทางคือ 7!/(4!3!)=35 ก็ได้ผลเดียวกัน การคิดเป็น 4×3=12 วิธี เป็นการนับที่ผิดวิธี ส่วน 210 วิธี คือ ₇P₃ ซึ่งทำเป็นการเรียงสับเปลี่ยน

เส้นทางทั้งหมดคือ ₉C₄=126 วิธี เส้นทางที่ผ่าน P คือจำนวนวิธีจาก A ถึง P ซึ่งเท่ากับ ₄C₂=6 วิธี คูณกับจำนวนวิธีจาก P ถึง B ซึ่งเท่ากับ ₅C₂=10 วิธี ได้ 60 วิธี เส้นทางที่ไม่ผ่าน P จึงเป็น 126−60=66 วิธี ข้อ 60 วิธี คือการตอบกรณีที่ผ่าน P และ 126 วิธี คือค่ารวมทั้งหมด

ถือว่า A กับ B ถูกเลือกไว้แล้ว จึงเหลือเลือกอีก 2 คนจากคนที่เหลือ 8 คน ได้ ₈C₂=28 วิธี ข้อ 56 วิธี คือ ₈C₃ ซึ่งเข้าใจผิดว่าต้องเลือกอีก 3 คน และ 45 วิธี คือ ₁₀C₂ ซึ่งจัดการเงื่อนไขผิด

ผลลัพธ์ทั้งหมดคือ 6×6=36 วิธี ผลรวมเท่ากับ 7 มี (1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1) รวม 6 วิธี จึงได้ P=6/36=1/6 ถ้ามอง (1,6) กับ (6,1) เป็นแบบเดียวกันจนเหลือ 3 วิธี จะได้ 1/12 แต่เพราะตัวส่วน 36 นับโดยแยกลูกเต๋าสองลูกออกจากกัน ตัวเศษก็ต้องนับโดยแยกเช่นกัน

ผลลัพธ์ทั้งหมดคือ ₅C₂=10 วิธี และวิธีเลือกลูกสีแดง 2 ลูกคือ ₃C₂=3 วิธี จึงได้ P=3/10 ค่า 9/25 ซึ่งเท่ากับ (3/5)² เป็นค่าของกรณีที่หยิบแล้วใส่คืน แต่เมื่อหยิบพร้อมกันจะไม่มีการใส่คืน จึงผิด

เหตุการณ์ตรงข้ามคือไม่มีลูกใดออกแต้ม 6 ซึ่งมีความน่าจะเป็น (5/6)²=25/36 จึงได้ P=1−25/36=11/36 ข้อ 25/36 เกิดจากตอบความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงข้ามไปเลย ส่วน 1/3 ซึ่งเท่ากับ 2/6 เกิดจากบวกอย่างง่าย ๆ ว่ามีสองตำแหน่งที่แต้ม 6 จะออกได้ ทำให้นับ (6,6) ซ้ำสองครั้ง

เหตุการณ์ตรงข้ามคือออกก้อยทั้ง 3 เหรียญ ซึ่งมีความน่าจะเป็น (1/2)³=1/8 จึงได้ P=1−1/8=7/8 เมื่อเจอคำว่าอย่างน้อย ให้นึกถึงเหตุการณ์ตรงข้าม ข้อ 1/8 เกิดจากตอบเหตุการณ์ตรงข้ามไปเลย

พหุคูณของ 3 มี 6 ใบ พหุคูณของ 4 มี 5 ใบ และพหุคูณของ 12 ซึ่งอยู่ในทั้งสองกลุ่มมี 1 ใบ จึงได้ P=(6+5−1)/20=10/20=1/2 ถ้าลืมลบพหุคูณของ 12 ที่ซ้อนกันจะได้ 11/20 สำหรับเหตุการณ์ที่ไม่ใช่เหตุการณ์ที่ไม่เกิดร่วมกัน สูตรการบวกต้องลบ P(A∩B) เสมอ

เนื่องจากเป็นการทดลองที่เป็นอิสระต่อกัน จึงคูณความน่าจะเป็นได้ P=(2/3)×(3/5)=6/15=2/5 ค่า 13/15 คือความน่าจะเป็นที่อย่างน้อยหนึ่งคนเข้าเป้า และ 2/15 คือความน่าจะเป็นที่พลาดทั้งสองคน ต้องระวังไม่สับสนว่าโจทย์ถามถึงเหตุการณ์ใด

ใช้สูตรการทดลองสุ่มซ้ำได้ ₄C₂(1/6)²(5/6)²=6×(1/36)×(25/36)=25/216 ถ้าลืมคูณ ₄C₂ จะได้ 25/1296 ซึ่งเป็นความผิดพลาดที่พบมากที่สุด และถ้าลืมคูณ (5/6)² จะได้ 1/6 อย่าลืมจำนวนวิธีเลือกตำแหน่งว่าจะออกแต้ม 1 ในครั้งใดสองครั้ง ซึ่งเท่ากับ ₄C₂

₅C₃(1/2)³(1/2)²=10×(1/2)⁵=10/32=5/16 ถ้าลืมคูณ ₅C₃=10 จะได้ 1/32 แม้ความน่าจะเป็นของหัวกับก้อยจะเท่ากัน ก็ยังต้องนับจำนวนวิธีเลือกตำแหน่งที่จะออกหัว ซึ่งเท่ากับ ₅C₃

เมื่อ ก จับได้รางวัลแล้ว จะเหลือสลาก 9 ใบซึ่งมีสลากถูกรางวัล 2 ใบ ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขจึงเป็น 2/9 ค่า 3/10 คือความน่าจะเป็นที่ ข จับได้รางวัลโดยไม่มีเงื่อนไข ซึ่งเท่ากันเพราะการจับสลากมีความยุติธรรม และ 1/15 ซึ่งเท่ากับ (3/10)×(2/9) คือความน่าจะเป็นที่ทั้งสองคนได้รางวัล จึงต้องไม่สับสนกับความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข

ผลรวมตั้งแต่ 10 ขึ้นไปมี (4,6)(5,5)(6,4)(5,6)(6,5)(6,6) รวม 6 วิธี ในจำนวนนี้ที่มีแต้ม 6 อยู่ด้วยคือทุกกรณียกเว้น (5,5) รวม 5 วิธี เมื่อย่อตัวส่วนลงเหลือ 6 วิธีที่ผลรวมตั้งแต่ 10 ขึ้นไป จึงได้ 5/6 ข้อ 5/36 คือความน่าจะเป็นร่วมที่ยังใช้ตัวส่วนเป็น 36 สำหรับความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข ตัวส่วนจะเปลี่ยนเป็นเซตของเงื่อนไข

E=100×(2/10)+50×(3/10)+0×(5/10)=20+15+0=35 เยน ข้อ 50 เยน เกิดจากหาค่าเฉลี่ยอย่างง่ายของเงินรางวัลสามระดับเป็น (100+50+0)/3 ซึ่งละเลยน้ำหนักของความน่าจะเป็น ค่าคาดหมายต้องคำนวณจากผลรวมของค่าคูณด้วยความน่าจะเป็นเสมอ

เหตุการณ์ตรงข้ามคือไม่ออกแต้ม 6 เลยทั้ง 3 ครั้ง ซึ่งมีความน่าจะเป็น (5/6)³=125/216 จึงได้ P=1−125/216=91/216 ข้อ 125/216 เกิดจากตอบเหตุการณ์ตรงข้ามไปเลย ส่วน 25/72 ซึ่งเท่ากับ 75/216 คือความน่าจะเป็นที่ออกพอดี 1 ครั้ง จาก ₃C₁(1/6)(5/6)² จึงต้องแยกให้ชัดจากคำว่าอย่างน้อย 1 ครั้ง และ 1/2 เกิดจากบวกอย่างง่าย ๆ เป็น 1/6×3