Liceu · Matematică de liceu: laboratorul testelor periodice
Puteți citi întrebările și explicațiile în Română. Lecțiile (articolele explicative) sunt disponibile doar în japoneză.
Vedeți versiunea în japoneză (cu lecții) →
Aruncând simultan două zaruri, unul mare și unul mic, în câte cazuri suma fețelor este 5?
Suma este 5 în cazurile (mare, mic)=(1,4),(2,3),(3,2),(4,1), adică 4 cazuri. Zarurile fiind distincte, (1,4) și (4,1) se numără separat. Greșeala frecventă este uitarea distincției și numărarea a doar 2 cazuri, {1,4} și {2,3}. Numărul 5 corespunde cazurilor în care suma este 6.
Aruncând simultan două zaruri, unul mare și unul mic, în câte cazuri suma fețelor este multiplu de 4?
Suma este multiplu de 4 atunci când ea este 4,8,12. Suma 4 apare în 3 cazuri, (1,3)(2,2)(3,1), suma 8 în 5 cazuri, (2,6)(3,5)(4,4)(5,3)(6,2), iar suma 12 într-un singur caz, (6,6). Cazurile fiind incompatibile, regula sumei dă 3+5+1=9. Dacă se uită (6,6), se obține greșit 8.
Sunt disponibile 3 tipuri de cămăși, 4 tipuri de pantaloni și 2 tipuri de pantofi. În câte moduri se poate alege câte un articol din fiecare?
Fiecăreia dintre cele 3 alegeri de cămașă îi corespund 4 alegeri de pantaloni, iar fiecăreia dintre acestea 2 alegeri de pantofi, deci prin regula produsului avem 3×4×2=24 de moduri. Greșeala frecventă este adunarea, 3+4+2=9. Valoarea 12 se obține uitând pantofii.
Câte dintre numerele naturale de la 1 la 100 sunt multipli de 3 sau multipli de 5?
Multiplii lui 3 sunt 33, multiplii lui 5 sunt 20, iar multiplii lui 15, aflați în ambele mulțimi, sunt 6. Avem n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B)=33+20−6=47. Cea mai frecventă greșeală este uitarea scăderii părții comune și calculul 33+20=53.
Aruncând simultan două zaruri, unul mare și unul mic, în câte cazuri produsul fețelor este par?
Produsul este par atunci când cel puțin una dintre fețe este pară. Mai rapid decât numărarea directă este să scădem din cele 36 de cazuri posibile cele 3×3=9 cazuri în care produsul este impar, adică ambele fețe impare: 36−9=27. Varianta 9 dă chiar evenimentul contrar, iar 18 provine din presupunerea greșită că ar fi jumătate.
Avem o monedă de 100 de yeni, două monede de 50 de yeni și trei monede de 10 yeni. Câte sume distincte se pot plăti exact folosind o parte dintre ele sau pe toate?
Modurile de folosire sunt 2×3×4=24, fiindcă moneda de 100 se poate folosi în 0 sau 1 exemplar, cele de 50 în 0 până la 2, iar cele de 10 în 0 până la 3; scăzând cazul de 0 yeni rămân 23. Totuși, cum 100 de yeni valorează cât două monede de 50, unele moduri diferite dau aceeași sumă. Scriind sumele efective, între 10 și 230 de yeni se obțin 19 valori distincte. Greșeala frecventă este confundarea celor 23 de moduri de folosire cu numărul de sume.
Câți divizori pozitivi are 720?
Descompunând în factori primi, 720=2⁴×3²×5, iar un divizor se obține alegând exponentul lui 2 în 5 moduri, pe cel al lui 3 în 3 moduri și pe cel al lui 5 în 2 moduri, deci (4+1)(2+1)(1+1)=30. Greșeala frecventă este uitarea adunării lui 1 la exponenți și calculul 4×3×2=24. Valoarea 29 apare când 1 este exclus dintre divizori.
Câți termeni se obțin dezvoltând (a+b)(p+q+r)(x+y)?
Un termen se obține alegând câte o literă din fiecare paranteză și înmulțindu-le, iar prin regula produsului avem 2×3×2=12 alegeri. Greșeala frecventă este adunarea, 2+3+2=7. Valoarea 24 provine dintr-o înmulțire în plus, de tipul 2×3×2×2.
Care este valoarea lui ₅P₃?
Numărul ₅P₃ este produsul a 3 numere întregi începând de la 5, adică 5×4×3=60. Valoarea 10 este ₅C₃, adică numărul de combinări, iar confuzia dintre aranjamente și combinări trebuie evitată. Valoarea 125 este 5³, adică rezultatul obținut dacă repetarea ar fi permisă.
În câte moduri se pot alege, dintre 10 membri ai unui club, un președinte și un vicepreședinte?
Președintele și vicepreședintele au roluri diferite, deci ordinea alegerii contează și avem aranjamente: ₁₀P₂=10×9=90. Cea mai frecventă greșeală este uitarea distincției dintre roluri și calculul ₁₀C₂=45. Valoarea 100 este 10×10 și include cazul în care aceeași persoană ar ocupa ambele funcții.
În câte moduri se pot așeza 4 elevi într-un rând?
Cei 4 elevi, distincți, se așază în toate ordinile posibile, deci 4!=4×3×2×1=24. Valoarea 16 este 4², iar 256 este 4⁴, ambele provenind din numărarea greșită cu repetare, ca și cum fiecare poziție ar avea 4 posibilități.
Când 3 băieți și 2 fete, în total 5 persoane, se așază într-un rând, în câte moduri pot sta cele 2 fete una lângă alta?
Considerând cele 2 fete drept un singur bloc, avem de așezat 4 obiecte, adică cei 3 băieți și blocul, în 4!=24 de moduri. În interiorul blocului fetele se pot aranja în 2!=2 moduri, deci 24×2=48. Greșeala frecventă este uitarea înmulțirii cu 2! din interior și răspunsul 24. Valoarea 120 este 5!, adică numărul de aranjări fără nicio condiție.
Când 3 băieți și 2 fete, în total 5 persoane, se așază într-un rând, în câte moduri pot fi băieți la ambele capete?
Se pornește de la condiția cea mai restrictivă, capetele. La capătul din stânga sunt 3 posibilități, la cel din dreapta 2 dintre băieții rămași, deci ₃P₂=6. Cele 3 persoane din mijloc se așază în 3!=6 moduri, iar prin regula produsului obținem 6×6=36. Dacă, după numărarea corectă ₃P₂=6, se mai dublează pentru schimbarea stânga–dreapta, se ajunge la 72. Valoarea 12 apare când se uită cele 3!=6 aranjări din mijloc și se calculează ₃P₂×2.
În câte moduri se pot așeza 5 persoane la o masă rotundă, dacă așezările care coincid prin rotație se consideră identice?
La permutările circulare se fixează o persoană și se aranjează celelalte 4, deci (5−1)!=4!=24. Valoarea 5!=120 apare când cele 5 așezări care coincid prin rotație sunt numărate separat.
Când 7 persoane se așază în cerc, în câte moduri pot sta două persoane anume, A și B, una lângă alta, dacă așezările care coincid prin rotație se consideră identice?
Considerând A și B drept un singur bloc, avem o permutare circulară a 6 obiecte, adică (6−1)!=120. Înmulțind cu cele 2! aranjări ale lui A și B în interiorul blocului obținem 120×2=240. Dacă se uită înmulțirea cu 2!, rezultă 120. Valoarea 720 este 6! și apare când nu se ține cont de caracterul circular.
În câte moduri se pot așeza într-un rând cele 5 litere a, a, b, b, c?
Fiind o permutare cu elemente identice, avem 5!/(2!2!)=120/4=30. Valoarea 5!=120 apare când schimbările dintre literele identice sunt numărate ca distincte, iar 60 când se împarte o singură dată la 2!.
În câte moduri se pot așeza într-un rând cele 6 litere a, a, a, b, b, c?
Avem 6!/(3!2!)=720/12=60: se împarte atât la 3!, pentru schimbările între literele a, cât și la 2!, pentru cele între literele b. Împărțind doar la 3! se obține 120, iar doar la 2! se obține 360.
Din 5 cartonașe cu cifrele 0, 1, 2, 3, 4 se aleg 3 diferite și se așază pentru a forma un număr de 3 cifre. Câte numere se pot forma?
Cifra 0 nu poate ocupa poziția sutelor, deci pentru sute avem 4 posibilități, pentru zeci 4 dintre cele rămase, inclusiv 0, iar pentru unități 3. Prin regula produsului obținem 4×4×3=48. Valoarea ₅P₃=60 apare când se numără și cazurile cu 0 la sute, care sunt de fapt numere de două cifre.
Care este valoarea lui ₇C₂?
Avem ₇C₂=7×6/(2×1)=21. Valoarea 42 este ₇P₂, adică rezultatul obținut fără împărțirea la 2!. Combinările nu țin cont de ordine, deci numărul de aranjamente se împarte la r!, numărul rearanjărilor.
Care este valoarea lui ₈C₅?
Avem ₈C₅=₈C₃=8×7×6/(3×2×1)=56. A alege 5 elemente înseamnă același lucru cu a lăsa 3 deoparte, deci calculul este mai rapid cu valoarea mai mică a lui r. Valoarea 336 este 8×7×6 fără împărțirea la 3!, iar 28 este ₈C₂.
În câte moduri se pot alege 3 reprezentanți dintre 12 persoane, dacă între reprezentanți nu există nicio distincție de rol?
Neexistând distincție de rol, este vorba de combinări: ₁₂C₃=12×11×10/(3×2×1)=220. Valoarea 1320 este ₁₂P₃, iar confuzia cu aranjamentele este cea mai frecventă greșeală. Când nu este nevoie de ordonare, se împarte la r!.
În câte moduri se pot alege 2 băieți și 2 fete dintre 5 băieți și 4 fete?
Băieții se aleg în ₅C₂=10 moduri, iar fetele în ₄C₂=6 moduri, deci prin regula produsului avem 10×6=60. Valoarea 126 este ₉C₄, adică alegerea a 4 persoane dintre cele 9, fără distincție de gen, și apare când condiția este ignorată.
Câte diagonale are un octogon regulat?
Dintre cele ₈C₂=28 de segmente determinate de perechile de vârfuri, cele 8 care unesc vârfuri vecine sunt laturi, nu diagonale, deci rămân 28−8=20. Greșeala frecventă este uitarea scăderii laturilor și răspunsul 28.
În câte moduri se pot împărți 9 persoane în două grupe, una de 4 și una de 5 persoane?
Este suficient să se aleagă persoanele din grupa de 4, fiindcă restul formează automat grupa de 5, deci ₉C₄=126. Grupele având efective diferite, ele se disting automat, așa că nu trebuie să se împartă la 2!, împărțire care ar da 63. Valoarea 252 apare când, dimpotrivă, rezultatul este dublat.
În câte moduri se pot împărți 6 persoane în 3 grupe de câte 2, dacă grupele nu se disting între ele?
Alegând succesiv, obținem ₆C₂×₄C₂=15×6=90, dar, grupele nefiind distincte, fiecare împărțire este numărată de 3!=6 ori, o dată pentru fiecare rearanjare a grupelor. Deci 90÷3!=15. Cea mai frecventă greșeală este uitarea împărțirii la 3! și răspunsul 90.
Străzile formează o rețea rectangulară. Câte trasee fără ocol duc din punctul A până în punctul B, aflat la 4 cvartale spre est și 3 cvartale spre nord?
Din cele 7 deplasări, 4 spre est și 3 spre nord, se alege care 3 sunt spre nord, deci ₇C₃=35. Același rezultat se obține numărând anagramele cuvântului est-est-est-est-nord-nord-nord: 7!/(4!3!)=35. Calculul 4×3=12 este o numărare greșită, iar 210 este ₇P₃, obținut tratând situația ca pe niște aranjamente.
Străzile formează o rețea rectangulară. Mergând fără ocol din A până în B, aflat la 5 cvartale spre est și 4 spre nord, câte trasee nu trec prin punctul P, aflat la 2 cvartale spre est și 2 spre nord față de A?
Numărul total de trasee este ₉C₄=126. Traseele care trec prin P sunt ₄C₂=6 de la A la P înmulțite cu ₅C₂=10 de la P la B, adică 60. Prin urmare, cele care nu trec prin P sunt 126−60=66. Valoarea 60 corespunde cazului care trece prin P, iar 126 este chiar numărul total.
Alegând 4 persoane de serviciu dintre 10, în câte moduri pot fi alese amândouă persoanele anume A și B?
Considerăm că A și B sunt deja alese și mai alegem 2 persoane dintre cele 8 rămase, deci ₈C₂=28. Valoarea 56 este ₈C₃ și apare când numărul persoanelor rămase de ales este luat greșit ca 3, iar 45 este ₁₀C₂, obținut tratând greșit condiția.
Aruncând simultan două zaruri, unul mare și unul mic, care este probabilitatea ca suma fețelor să fie 7?
Numărul total de cazuri este 6×6=36. Suma 7 apare în 6 cazuri, (1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1), deci P=6/36=1/6. Dacă (1,6) și (6,1) sunt considerate identice, se numără doar 3 cazuri și se obține 1/12; însă, numitorul 36 fiind obținut cu zarurile distincte, și numărătorul trebuie numărat la fel.
Dintr-un sac cu 3 bile roșii și 2 bile albe se extrag simultan 2 bile. Care este probabilitatea ca ambele să fie roșii?
Numărul total de cazuri este ₅C₂=10, iar cel al alegerilor de 2 bile roșii este ₃C₂=3, deci P=3/10. Valoarea 9/25=(3/5)² corespunde extragerii cu punere înapoi, iar la extragerea simultană bilele nu se pun înapoi, deci este greșită.
Aruncând simultan două zaruri, unul mare și unul mic, care este probabilitatea ca cel puțin unul să arate fața 6?
Probabilitatea evenimentului contrar, ca niciunul să nu arate 6, este (5/6)²=25/36, deci P=1−25/36=11/36. Valoarea 25/36 apare când se dă chiar probabilitatea evenimentului contrar. Valoarea 1/3=2/6 provine din adunarea pripită, motivată de faptul că sunt două zaruri, și numără de două ori cazul (6,6).
Aruncând simultan 3 monede, care este probabilitatea ca cel puțin una să cadă cu stema în sus?
Evenimentul contrar este ca toate cele 3 monede să cadă cu reversul în sus, iar probabilitatea lui este (1/2)³=1/8, deci P=1−1/8=7/8. Formularea cel puțin trimite la evenimentul contrar. Valoarea 1/8 corespunde chiar evenimentului contrar.
Extrăgând un bilet numerotat dintre cele cu numerele de la 1 la 20, care este probabilitatea ca numărul să fie multiplu de 3 sau multiplu de 4?
Multiplii lui 3 sunt 6 bilete, multiplii lui 4 sunt 5 bilete, iar multiplii lui 12, aflați în ambele categorii, este 1 bilet. Deci P=(6+5−1)/20=10/20=1/2. Dacă se uită scăderea multiplilor lui 12, se obține 11/20. La evenimente care nu sunt incompatibile, în formula adunării trebuie scăzut întotdeauna P(A∩B).
Probabilitatea de a nimeri ținta este 2/3 pentru A și 3/5 pentru B. Dacă fiecare trage o dată, care este probabilitatea ca amândoi să nimerească, rezultatele fiind independente?
Experimentele fiind independente, probabilitatea este produsul: P=(2/3)×(3/5)=6/15=2/5. Valoarea 13/15 este probabilitatea ca cel puțin unul să nimerească, iar 2/15 este probabilitatea ca amândoi să rateze, deci trebuie evitată confuzia dintre evenimente.
Aruncând un zar de 4 ori, care este probabilitatea ca fața 1 să apară exact de 2 ori?
Cu formula experimentelor repetate, ₄C₂(1/6)²(5/6)²=6×(1/36)×(25/36)=25/216. Dacă se uită înmulțirea cu ₄C₂ se obține 25/1296, greșeala cea mai frecventă, iar dacă se uită (5/6)² se obține 1/6. Nu trebuie omisă alegerea ₄C₂ a celor două aruncări în care apare fața 1.
Aruncând o monedă de 5 ori, care este probabilitatea ca stema să apară exact de 3 ori?
Avem ₅C₃(1/2)³(1/2)²=10×(1/2)⁵=10/32=5/16. Dacă se uită înmulțirea cu ₅C₃=10 se obține 1/32. Chiar dacă stema și reversul au aceeași probabilitate, alegerea ₅C₃ a pozițiilor este necesară.
Dintr-o urnă cu 10 bilete, dintre care 3 câștigătoare, extrag câte un bilet, pe rând, mai întâi K și apoi O, fără a pune biletul înapoi. Dacă biletul lui K a fost câștigător, care este probabilitatea condiționată ca și cel al lui O să fie câștigător?
După ce K a extras un bilet câștigător, rămân 9 bilete, dintre care 2 câștigătoare, deci probabilitatea condiționată este 2/9. Valoarea 3/10 este probabilitatea ca O să câștige fără nicio condiție, care rămâne 3/10 și pentru al doilea participant, prin echitatea extragerii, iar 1/15=(3/10)×(2/9) este probabilitatea ca amândoi să câștige, deci nu trebuie confundată cu probabilitatea condiționată.
S-au aruncat două zaruri, unul mare și unul mic, iar suma fețelor a fost cel puțin 10. Care este probabilitatea condiționată ca cel puțin unul dintre zaruri să arate fața 6?
Suma este cel puțin 10 în 6 cazuri: (4,6)(5,5)(6,4)(5,6)(6,5)(6,6). Dintre acestea, toate în afară de (5,5), adică 5 cazuri, conțin un 6. Numitorul se restrânge la cele 6 cazuri care îndeplinesc condiția, deci probabilitatea este 5/6. Valoarea 5/36 păstrează numitorul 36 și dă probabilitatea comună, pe când la probabilitatea condiționată numitorul devine mulțimea impusă de condiție.
Dintre 10 bilete, 2 aduc un premiu de 100 de yeni, 3 aduc 50 de yeni, iar celelalte 5 nu aduc niciun premiu. Care este valoarea așteptată a premiului la extragerea unui bilet?
Avem E=100×(2/10)+50×(3/10)+0×(5/10)=20+15+0=35 de yeni. Valoarea 50 de yeni provine din media simplă a celor trei premii, (100+50+0)/3, care ignoră ponderile date de probabilități. Valoarea așteptată se calculează întotdeauna ca sumă de produse între valoare și probabilitate.
Aruncând un zar de 3 ori, care este probabilitatea ca fața 6 să apară cel puțin o dată?
Probabilitatea evenimentului contrar, ca de toate cele 3 ori să apară altceva decât 6, este (5/6)³=125/216, deci P=1−125/216=91/216. Valoarea 125/216 corespunde chiar evenimentului contrar. Valoarea 25/72=75/216 este probabilitatea ca fața 6 să apară exact o dată, ₃C₁(1/6)(5/6)², deci trebuie făcută distincția față de cel puțin o dată. Valoarea 1/2 provine din adunarea pripită 1/6×3.
Acesta este un instrument de exersare cu întrebări în ordine aleatorie (funcționează când JavaScript este activat). Puteți citi oricum toate întrebările și explicațiile de mai sus.
* Acest material servește la recapitularea conținutului de liceu. Dacă notația sau modul de abordare diferă de manual sau de predarea de la școală, urmați manualul și explicațiile profesorului.
Această pagină este o traducere a textului original în japoneză. Dacă traducerea diferă de original, prevalează versiunea în japoneză. Vedeți originalul în japoneză