경우의 수와 확률 (수학A: 일본 고교 수학 A)

합이 5 가 되는 것은 (큰,작은)=(1,4),(2,3),(3,2),(4,1) 의 4 가지이다. 큰 것과 작은 것의 구별이 있으므로 (1,4) 와 (4,1) 은 따로 센다. 구별을 잊고 {1,4},{2,3} 의 2 가지로 하는 것이 흔한 실수이다. 5 가지는 합이 6 인 경우의 수이다.

합이 4 의 배수가 되는 것은 합이 4,8,12 일 때이다. 합이 4 는 (1,3)(2,2)(3,1) 의 3 가지, 합이 8 은 (2,6)(3,5)(4,4)(5,3)(6,2) 의 5 가지, 합이 12 는 (6,6) 의 1 가지이다. 동시에 일어나지 않으므로 합의 법칙으로 3+5+1=9 가지이다. (6,6) 을 잊으면 8 가지가 된다.

셔츠를 고르는 3 가지 각각에 바지가 4 가지, 다시 그 각각에 신발이 2 가지 있으므로 곱의 법칙으로 3×4×2=24 가지이다. 3+4+2=9 가지로 더해 버리는 것이 흔한 실수이다. 12 가지는 신발을 빠뜨린 값이다.

3 의 배수는 33 개, 5 의 배수는 20 개, 양쪽에 모두 드는 15 의 배수는 6 개이다. n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B)=33+20−6=47 개이다. 겹치는 부분을 빼는 것을 잊고 33+20=53 개로 하는 것이 가장 흔한 실수이다.

곱이 짝수가 되는 것은 '적어도 한쪽이 짝수'일 때이다. 직접 세는 것보다 전체 36 가지에서 곱이 홀수(양쪽 다 홀수)인 3×3=9 가지를 빼서 36−9=27 가지로 하는 것이 빠르다. 9 가지는 여사건 자체를 답한 실수, 18 가지는 '절반'이라고 짐작한 실수이다.

쓰는 방법은 100엔이 0~1 개, 50엔이 0~2 개, 10엔이 0~3 개로 2×3×4=24 가지이고, 0 엔을 빼면 23 가지이다. 다만 100엔=50엔 2 개이므로 100엔과 50엔 2 개처럼 같은 금액이 되는 사용법이 겹친다. 금액을 써 보면 10~230엔 중 19 가지이다. 사용법의 수 23 가지를 금액의 수와 혼동하는 것이 흔한 실수이다.

720=2⁴×3²×5 로 소인수분해하면, 약수는 2 의 지수를 고르는 5 가지, 3 의 지수를 고르는 3 가지, 5 의 지수를 고르는 2 가지의 곱으로 (4+1)(2+1)(1+1)=30 개이다. 지수에 1 을 더하는 것을 잊고 4×3×2=24 개로 하는 것이 흔한 실수이다. 29 개는 1 을 약수에서 빼 버린 값이다.

각 괄호에서 문자를 하나씩 골라 곱한 것이 항이 된다. 고르는 방법은 곱의 법칙으로 2×3×2=12 개이다. 2+3+2=7 개로 더하는 것이 흔한 실수이다. 24 개는 2×3×2×2 처럼 지나치게 곱한 값이다.

₅P₃ 은 5 부터 시작해 3 개의 정수를 곱한 5×4×3=60 이다. 10 은 ₅C₃(조합)의 값이며 순열과 조합을 뒤바꾸지 않도록 주의한다. 125 는 5³ 으로 중복을 허용한 경우의 값이다.

위원장과 부위원장은 역할이 다르므로 뽑는 순서에 의미가 있는 순열이다. ₁₀P₂=10×9=90 가지이다. 역할의 구별을 잊고 ₁₀C₂=45 가지로 하는 것이 가장 많은 실수이다. 100 가지는 10×10 으로 같은 사람이 둘을 겸하는 경우까지 포함한 값이다.

서로 다른 4 명을 모두 세우므로 4!=4×3×2×1=24 가지이다. 16 가지는 4², 256 가지는 4⁴ 으로, 모두 '각 자리마다 4 가지씩'이라며 중복을 허용해 센 실수이다.

여학생 2 명을 한 덩어리로 묶으면 남학생 3 명과 덩어리 1 개, 모두 4 개를 세우는 방법이 4!=24 가지이다. 덩어리 안에서 여학생을 세우는 방법이 2!=2 가지이므로 24×2=48 가지이다. 안쪽의 2! 을 곱하지 않고 24 가지로 하는 것이 흔한 실수이다. 120 가지는 조건이 없을 때의 5! 이다.

조건이 강한 양 끝부터 정한다. 왼쪽 끝은 남학생 3 가지, 오른쪽 끝은 남은 남학생 2 가지로 ₃P₂=6 가지이다. 가운데 3 명은 3!=6 가지이다. 곱의 법칙으로 6×6=36 가지이다. 양 끝을 ₃P₂=6 가지로 바르게 센 뒤 다시 좌우를 바꾸어 2 배 하면 72 가지가 된다. 12 가지는 가운데 3 명의 배열 3!=6 을 잊고 ₃P₂×2 로 한 값이다.

원순열에서는 한 명을 고정하고 나머지 4 명을 세우면 되므로 (5−1)!=4!=24 가지이다. 5!=120 가지는 회전으로 겹치는 5 가지씩을 따로 센 실수이다.

A 와 B 를 한 덩어리로 묶으면 6 개의 원순열이므로 (6−1)!=120 가지이다. 덩어리 안의 A 와 B 의 배열 2! 을 곱하여 120×2=240 가지이다. 2! 을 곱하지 않으면 120 가지가 된다. 720 가지는 6! 로, 원순열로 세지 않은 실수이다.

같은 것이 있는 순열이므로 5!/(2!2!)=120/4=30 가지이다. 5!=120 가지는 같은 문자의 자리바꿈을 중복해서 센 실수이다. 60 가지는 2! 로 한 번만 나눈 값이다.

6!/(3!2!)=720/12=60 가지이다. a 의 자리바꿈 3! 과 b 의 자리바꿈 2! 양쪽으로 나눈다. 3! 로만 나누면 120 가지, 2! 로만 나누면 360 가지가 되어 버린다.

백의 자리에는 0 을 쓸 수 없으므로 백의 자리는 0 이외의 4 가지, 십의 자리는 남은 4 가지(0 을 쓸 수 있다), 일의 자리는 남은 3 가지이다. 곱의 법칙으로 4×4×3=48 개이다. ₅P₃=60 개는 백의 자리가 0 인 '두 자리 수'까지 센 실수이다.

₇C₂=7×6/(2×1)=21 이다. 42 는 ₇P₂ 로 2! 로 나누지 않은 값이다. 조합은 순서를 따지지 않으므로 순열을 자리바꿈의 수 r! 로 나눈다.

₈C₅=₈C₃=8×7×6/(3×2×1)=56 이다. '5 개를 고른다'와 '3 개를 남긴다'는 같은 일이므로 작은 쪽 r 로 계산하면 빠르다. 336 은 8×7×6 그대로 3! 로 나누지 않은 값이고, 28 은 ₈C₂ 이다.

역할의 구별이 없으므로 조합이다. ₁₂C₃=12×11×10/(3×2×1)=220 가지이다. 1320 가지는 ₁₂P₃ 으로, 순열과 뒤바꾸는 것이 가장 많은 실수이다. 늘어놓을 필요가 없을 때는 r! 로 나눈다.

남학생을 뽑는 방법 ₅C₂=10 가지, 여학생을 뽑는 방법 ₄C₂=6 가지이다. 곱의 법칙으로 10×6=60 가지이다. 126 가지는 남녀 구별 없이 9 명에서 4 명을 뽑은 ₉C₄ 로, 조건을 무시한 실수이다.

8 개의 꼭짓점에서 2 개를 고르는 ₈C₂=28 개의 선분 중에서 이웃한 꼭짓점을 잇는 변 8 개는 대각선이 아니다. 따라서 28−8=20 개이다. 변을 빼는 것을 잊고 28 개로 하는 것이 흔한 실수이다.

4 명인 조에 들어갈 사람을 고르면 나머지는 자동으로 5 명인 조가 되므로 ₉C₄=126 가지이다. 인원수가 다른 조는 자동으로 구별되므로 2! 로 나누어서는 안 된다(나누면 63 가지). 252 가지는 반대로 2 배 한 실수이다.

차례로 고르면 ₆C₂×₄C₂=15×6=90 가지이지만, 조에 구별이 없으므로 같은 나눔을 조의 자리바꿈 3!=6 가지씩 중복해서 센 것이다. 90÷3!=15 가지이다. 3! 로 나누는 것을 잊은 90 가지가 가장 흔한 실수이다.

동쪽 4 회, 북쪽 3 회 모두 7 회의 이동 중에서 어느 3 회를 북쪽으로 할지 고르므로 ₇C₃=35 가지이다. '동동동동북북북'의 자리바꿈 7!/(4!3!)=35 로 생각해도 같다. 4×3=12 가지로 하는 것은 세는 방법의 잘못이다. 210 가지는 ₇P₃ 으로 순열로 한 실수이다.

전체는 ₉C₄=126 가지이다. P 를 지나는 길은 (A 에서 P 까지 ₄C₂=6 가지)×(P 에서 B 까지 ₅C₂=10 가지)=60 가지이다. 따라서 지나지 않는 것은 126−60=66 가지이다. 60 가지는 '지나는' 경우를 답한 실수이고, 126 가지는 전체 그대로의 값이다.

A 와 B 는 이미 뽑혔다고 보고 남은 8 명에서 2 명을 고르면 된다. ₈C₂=28 가지이다. 56 가지는 ₈C₃ 으로 남은 인원을 3 명으로 잘못 본 값이고, 45 가지는 ₁₀C₂ 로 조건의 처리를 틀린 값이다.

전체는 6×6=36 가지이다. 합이 7 인 것은 (1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1) 의 6 가지이므로 P=6/36=1/6 이다. (1,6) 과 (6,1) 을 같은 것으로 보아 3 가지로 하면 1/12 이 되는데, 분모의 36 이 2 개를 구별한 셈법이므로 분자도 구별해서 세야 한다.

전체는 ₅C₂=10 가지, 빨간 공 2 개를 고르는 방법은 ₃C₂=3 가지이므로 P=3/10 이다. 9/25=(3/5)² 은 꺼낸 공을 다시 넣는 경우의 값이며, '동시에 꺼낸다'면 다시 넣지 않으므로 틀리다.

여사건 '둘 다 6 이 아니다'의 확률은 (5/6)²=25/36 이다. 따라서 P=1−25/36=11/36 이다. 25/36 은 여사건의 확률을 그대로 답한 실수이다. 1/3=2/6 은 '6 이 나올 자리가 두 곳이니까'라며 안이하게 더한 실수로, (6,6) 을 두 번 세고 있다.

여사건은 '3 개 모두 뒷면'이고 그 확률은 (1/2)³=1/8 이다. 따라서 P=1−1/8=7/8 이다. '적어도'가 나오면 여사건이다. 1/8 은 여사건 자체를 답한 실수이다.

3 의 배수는 6 장, 4 의 배수는 5 장, 양쪽에 드는 12 의 배수는 1 장이다. P=(6+5−1)/20=10/20=1/2 이다. 겹치는 12 의 배수를 빼지 않으면 11/20 이 된다. 배반이 아닌 사건의 덧셈정리에서는 반드시 P(A∩B) 를 뺀다.

독립시행이므로 확률의 곱으로 P=(2/3)×(3/5)=6/15=2/5 이다. 13/15 은 '적어도 한쪽이 맞힌다'의 확률, 2/15 은 '두 사람 모두 빗나간다'의 확률이므로 묻고 있는 사건을 뒤바꾸지 않도록 주의한다.

반복시행의 공식으로 ₄C₂(1/6)²(5/6)²=6×(1/36)×(25/36)=25/216 이다. ₄C₂ 를 곱하지 않으면 25/1296 이 되며 이것이 가장 흔한 실수이다. (5/6)² 을 곱하지 않으면 1/6 이 된다. 어느 2 번에서 1 이 나오는지 자리를 고르는 ₄C₂ 를 잊지 않는다.

₅C₃(1/2)³(1/2)²=10×(1/2)⁵=10/32=5/16 이다. ₅C₃=10 을 곱하지 않으면 1/32 이 된다. 앞면과 뒷면의 확률이 같아도 나오는 자리를 고르는 ₅C₃ 은 필요하다.

갑이 당첨된 시점에서 남은 것은 9 개 중 당첨 2 개이다. 따라서 조건부확률은 2/9 이다. 3/10 은 조건을 무시한 을이 당첨될 확률이고(제비뽑기의 공평성에 의해 두 번째도 3/10), 1/15=(3/10)×(2/9) 는 '두 사람 모두 당첨'의 확률이므로 조건부확률과 혼동하지 않도록 주의한다.

합이 10 이상인 것은 (4,6)(5,5)(6,4)(5,6)(6,5)(6,6) 의 6 가지이다. 이 중 6 을 포함하는 것은 (5,5) 이외의 5 가지이다. 분모를 '합이 10 이상인 6 가지'로 좁혀 5/6 이 된다. 5/36 은 분모를 36 그대로 둔 동시확률이며, 조건부확률에서는 분모가 조건의 집합으로 바뀐다.

E=100×(2/10)+50×(3/10)+0×(5/10)=20+15+0=35엔 이다. 50엔은 상금액 3 종류를 단순 평균한 (100+50+0)/3 으로 확률의 가중치를 무시한 실수이다. 기댓값은 반드시 (값×확률)의 합으로 계산한다.

여사건 '3 번 모두 6 이외'의 확률은 (5/6)³=125/216 이다. 따라서 P=1−125/216=91/216 이다. 125/216 은 여사건을 그대로 답한 실수이다. 25/72=75/216 은 '정확히 한 번'의 확률 ₃C₁(1/6)(5/6)² 이므로 '적어도 한 번'과의 차이에 주의한다. 1/2 은 1/6×3 으로 안이하게 더한 실수이다.