計數原理與機率（數學A，日本高中與數學Ⅰ並行的選修領域）

和為 5 的情形是 (大,小)=(1,4),(2,3),(3,2),(4,1) 共 4 種。因為兩顆骰子有大小之分，(1,4) 與 (4,1) 要分開數。忘了區分而數成 {1,4},{2,3} 兩種是常見錯誤。5 種則是和為 6 的情形數。

和為 4 的倍數，就是和為 4,8,12 這三種。和為 4 有 (1,3)(2,2)(3,1) 共 3 種，和為 8 有 (2,6)(3,5)(4,4)(5,3)(6,2) 共 5 種，和為 12 有 (6,6) 共 1 種。三者不會同時發生，依加法原理得 3+5+1=9 種。漏掉 (6,6) 就會變成 8 種。

襯衫的 3 種選法之下各有 4 種褲子，再各有 2 種鞋子，依乘法原理得 3×4×2=24 種。算成 3+4+2=9 種是常見錯誤。12 種則是漏掉了鞋子。

3 的倍數有 33 個、5 的倍數有 20 個，同時屬於兩者的 15 的倍數有 6 個。n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B)=33+20−6=47 個。忘了扣掉重疊而算成 33+20=53 個，是最常見的錯誤。

乘積為偶數就是至少一顆是偶數。與其直接數，不如從全體 36 種扣掉乘積為奇數（兩顆都是奇數）的 3×3=9 種，得 36−9=27 種，這樣比較快。9 種是直接答了餘事件；18 種則是想當然地認為是一半。

使用方式是 100 日圓用 0 到 1 枚、50 日圓用 0 到 2 枚、10 日圓用 0 到 3 枚，共 2×3×4=24 種，扣掉 0 日圓後是 23 種。但因為 100 日圓等於 2 枚 50 日圓，像 1 枚 100 日圓與 2 枚 50 日圓這樣金額相同的用法會重複。把金額列出來，10 到 230 日圓之間共有 19 種。把用法的 23 種誤當成金額的種數，是常見的錯誤。

質因數分解得 720=2⁴×3²×5，因數的個數是 2 的指數有 5 種選法、3 的指數有 3 種、5 的指數有 2 種的乘積，即 (4+1)(2+1)(1+1)=30 個。忘了對指數加 1、算成 4×3×2=24 個是常見錯誤。29 個則是把 1 從因數中排除了。

從每個括號各取一個字母相乘就成為一項，選法依乘法原理是 2×3×2=12 項。算成 2+3+2=7 項是常見錯誤。24 項則是像 2×3×2×2 那樣多乘了一次。

₅P₃ 是從 5 開始連乘 3 個整數，即 5×4×3=60。10 是 ₅C₃（組合）的值，要注意別把排列與組合弄混。125 是 5³，那是允許重複時的值。

會長與副會長的職務不同，選取的順序有意義，屬於排列。₁₀P₂=10×9=90 種。忘了區分職務而算成 ₁₀C₂=45 種是最常見的錯誤。100 種是 10×10，把同一個人同時擔任兩職的情形也算了進去。

把相異的 4 人全部排列，所以是 4!=4×3×2×1=24 種。16 種是 4²、256 種是 4⁴，兩者都是誤以為每個位置各有 4 種選擇、允許了重複。

把 2 位女生綁成一塊，則男生 3 人加上這一塊共 4 個單位，排法是 4!=24 種。塊內女生的排法有 2!=2 種，所以 24×2=48 種。忘了乘塊內的 2!、只答 24 種是常見錯誤。120 種則是沒有任何條件時的 5!。

先決定條件較強的兩端。左端有 3 種男生選法，右端從剩下的男生中選有 2 種，即 ₃P₂=6 種；中間 3 人有 3!=6 種。依乘法原理得 6×6=36 種。兩端正確數成 ₃P₂=6 種之後，又再為了左右互換而乘 2，就會變成 72 種。12 種則是忘了中間 3 人的 3!=6、只算成 ₃P₂×2。

環狀排列只要固定 1 人、再排其餘 4 人即可，所以是 (5−1)!=4!=24 種。5!=120 種是把旋轉後重合的每 5 種都分開數了。

把 A 與 B 綁成一塊，就是 6 個單位的環狀排列 (6−1)!=120 種，再乘上塊內 A 與 B 的排法 2!，得 120×2=240 種。忘了乘 2! 就會是 120 種。720 種是 6!，沒有依環狀排列來數。

這是含有相同物件的排列，所以是 5!/(2!2!)=120/4=30 種。5!=120 種是把相同字母互換的情形重複計數了。60 種則是只除了一次 2!。

6!/(3!2!)=720/12=60 種。a 的互換 3! 與 b 的互換 2! 都要除掉。只除 3! 會得到 120 種，只除 2! 會得到 360 種。

百位不能放 0，所以百位有 4 種（0 以外），十位從剩下的中選有 4 種（可以放 0），個位有 3 種。依乘法原理得 4×4×3=48 個。₅P₃=60 個是把百位為 0 的「兩位數」也算了進去。

₇C₂=7×6/(2×1)=21。42 是 ₇P₂，忘了除以 2!。組合不計順序，所以要把排列除以重排的種數 r!。

₈C₅=₈C₃=8×7×6/(3×2×1)=56。「選 5 個」與「留 3 個」是同一件事，用較小的 r 計算比較快。336 是停在 8×7×6、忘了除以 3!；28 則是 ₈C₂。

沒有職務之分，屬於組合。₁₂C₃=12×11×10/(3×2×1)=220 種。1320 種是 ₁₂P₃，把組合誤當成排列是最常見的錯誤。不需要排順序時就要除以 r!。

男生的選法 ₅C₂=10 種、女生的選法 ₄C₂=6 種，依乘法原理得 10×6=60 種。126 種是不分男女、從 9 人中選 4 人的 ₉C₄，忽略了條件。

從 8 個頂點取 2 個可連出 ₈C₂=28 條線段，其中連接相鄰頂點的 8 條邊不是對角線，所以是 28−8=20 條。忘了扣掉邊而答 28 條是常見錯誤。

只要選出進入 4 人組的人，其餘自動成為 5 人組，所以是 ₉C₄=126 種。人數不同的組本來就可以區別，不可以再除以 2!（除了就變成 63 種）。252 種則是反而乘了 2 倍。

依序選取得 ₆C₂×₄C₂=15×6=90 種，但各組沒有區別，同一種分法會依組的排列 3!=6 種而重複計數，所以 90÷3!=15 種。忘了除以 3! 而答 90 種是最常見的錯誤。

在往東 4 次、往北 3 次共 7 次移動中，決定哪 3 次往北即可，所以是 ₇C₃=35 種。用「東東東東北北北」的重排 7!/(4!3!)=35 來想也一樣。算成 4×3=12 種是計數方式錯誤。210 種則是誤用排列 ₇P₃。

全部是 ₉C₄=126 種。經過 P 的走法是（A 到 P 的 ₄C₂=6 種）×（P 到 B 的 ₅C₂=10 種）=60 種，所以不經過的是 126−60=66 種。60 種是答成了「經過」的情形；126 種則是停在全部的種數。

把 A 與 B 視為已經入選，只要從其餘 8 人中再選 2 人即可，即 ₈C₂=28 種。56 種是 ₈C₃，把還要選的人數誤成 3 人；45 種是 ₁₀C₂，條件處理錯誤。

全部是 6×6=36 種。和為 7 的有 (1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1) 共 6 種，所以 P=6/36=1/6。把 (1,6) 與 (6,1) 視為同一種而數成 3 種，會得到 1/12；但分母 36 是把兩顆分開來數的結果，分子也必須同樣分開數。

全部是 ₅C₂=10 種，取到 2 個紅球的選法是 ₃C₂=3 種，所以 P=3/10。9/25=(3/5)² 是取後放回時的值，而「同時取出」並不放回，所以不對。

餘事件「兩顆都不是 6」的機率是 (5/6)²=25/36，所以 P=1−25/36=11/36。25/36 是直接答了餘事件的機率。1/3=2/6 則是想成「出現 6 的位置有兩個」而草率相加，把 (6,6) 數了兩次。

餘事件是「3 枚都是反面」，其機率為 (1/2)³=1/8，所以 P=1−1/8=7/8。看到「至少」就想餘事件。1/8 是直接答了餘事件本身。

3 的倍數有 6 張、4 的倍數有 5 張，同時屬於兩者的 12 的倍數有 1 張。P=(6+5−1)/20=10/20=1/2。忘了扣掉重疊的 12 的倍數就會得到 11/20。事件不互斥時，加法定理一定要減去 P(A∩B)。

因為是獨立試驗，機率相乘得 P=(2/3)×(3/5)=6/15=2/5。13/15 是「至少一人射中」的機率、2/15 是「兩人都沒射中」的機率，要注意別把所問的事件弄錯。

用重複試驗的公式得 ₄C₂(1/6)²(5/6)²=6×(1/36)×(25/36)=25/216。忘了乘 ₄C₂ 會得到 25/1296，這是最常見的錯誤；忘了乘 (5/6)² 則會得到 1/6。別忘了要選出「哪 2 次出現 1 點」的位置，也就是 ₄C₂。

₅C₃(1/2)³(1/2)²=10×(1/2)⁵=10/32=5/16。忘了乘 ₅C₃=10 會得到 1/32。即使正面與反面的機率相等，選出位置的 ₅C₃ 仍然不可省略。

甲中獎之後，剩下 9 支中還有 2 支中獎，所以條件機率是 2/9。3/10 是忽略條件時乙中獎的機率（依抽籤的公平性，第二個人也是 3/10）；1/15=(3/10)×(2/9) 則是「兩人都中獎」的機率，要注意別和條件機率混淆。

和在 10 以上的情形是 (4,6)(5,5)(6,4)(5,6)(6,5)(6,6) 共 6 種，其中含 6 的是除了 (5,5) 以外的 5 種。分母要縮成「和在 10 以上的 6 種」，所以是 5/6。5/36 是分母仍用 36 的同時機率；條件機率的分母要換成條件所限定的集合。

E=100×(2/10)+50×(3/10)+0×(5/10)=20+15+0=35 日圓。50 日圓是把三種獎金額單純平均成 (100+50+0)/3，忽略了機率的權重。期望值一定要用（數值×機率）的總和來計算。

餘事件「3 次都不是 6」的機率是 (5/6)³=125/216，所以 P=1−125/216=91/216。125/216 是直接答了餘事件。25/72=75/216 是「恰好 1 次」的機率 ₃C₁(1/6)(5/6)²，要注意它與「至少 1 次」不同。1/2 則是草率地把 1/6×3 相加。