SMA · Lab Ujian Berkala Matematika SMA
Soal dan pembahasan dapat dibaca dalam Bahasa Indonesia. Materi kuliah (artikel penjelasan) hanya tersedia dalam bahasa Jepang.
Lihat versi bahasa Jepang (dengan materi kuliah) →
Bila dua buah dadu berukuran besar dan kecil dilempar bersamaan, ada berapa cara agar jumlah mata dadunya 5?
Jumlah 5 terjadi pada (besar,kecil)=(1,4),(2,3),(3,2),(4,1), yaitu 4 cara. Karena kedua dadu dibedakan, (1,4) dan (4,1) dihitung terpisah. Kekeliruan yang sering terjadi adalah melupakan pembedaan itu lalu menghitung {1,4},{2,3} sebagai 2 cara. Adapun 5 cara adalah banyaknya kasus untuk jumlah 6.
Bila dua buah dadu berukuran besar dan kecil dilempar bersamaan, ada berapa cara agar jumlah mata dadunya merupakan kelipatan 4?
Jumlah yang merupakan kelipatan 4 adalah 4,8,12. Jumlah 4 terjadi pada (1,3)(2,2)(3,1), yaitu 3 cara; jumlah 8 pada (2,6)(3,5)(4,4)(5,3)(6,2), yaitu 5 cara; dan jumlah 12 pada (6,6), yaitu 1 cara. Karena tidak dapat terjadi bersamaan, menurut aturan penjumlahan hasilnya 3+5+1=9 cara. Bila (6,6) terlewat, jawabannya menjadi 8 cara.
Tersedia 3 jenis kemeja, 4 jenis celana, dan 2 jenis sepatu. Bila masing-masing dipilih satu, ada berapa cara pemilihan seluruhnya?
Untuk setiap dari 3 cara memilih kemeja tersedia 4 cara memilih celana, dan untuk masing-masingnya tersedia 2 cara memilih sepatu, sehingga menurut aturan perkalian hasilnya 3×4×2=24 cara. Kekeliruan yang sering terjadi adalah menjumlahkannya sebagai 3+4+2=9 cara. Adapun 12 cara adalah nilai bila sepatunya terlupakan.
Di antara bilangan asli 1 sampai 100, ada berapa bilangan yang merupakan kelipatan 3 atau kelipatan 5?
Kelipatan 3 ada 33, kelipatan 5 ada 20, dan yang termasuk keduanya (kelipatan 15) ada 6. Maka n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B)=33+20−6=47 bilangan. Kekeliruan yang paling sering adalah lupa mengurangi bagian yang beririsan lalu menghitung 33+20=53.
Bila dua buah dadu berukuran besar dan kecil dilempar bersamaan, ada berapa cara agar hasil kali mata dadunya genap?
Hasil kalinya genap bila sekurang-kurangnya salah satu mata dadunya genap. Daripada menghitungnya langsung, lebih cepat mengurangkan dari keseluruhan 36 cara banyaknya kasus hasil kali ganjil (kedua-duanya ganjil), yaitu 3×3=9, sehingga 36−9=27 cara. Jawaban 9 cara adalah kejadian komplemennya sendiri, sedangkan 18 cara muncul dari dugaan bahwa jawabannya separuh.
Tersedia 1 keping koin 100 yen, 2 keping koin 50 yen, dan 3 keping koin 10 yen. Dengan memakai sebagian atau seluruhnya, ada berapa macam nilai uang yang tepat dapat dibayarkan?
Cara pemakaiannya ada 2×3×4=24, yaitu koin 100 yen 0 sampai 1 keping, koin 50 yen 0 sampai 2 keping, dan koin 10 yen 0 sampai 3 keping; setelah 0 yen dikeluarkan tersisa 23. Namun karena 100 yen sama nilainya dengan 2 keping 50 yen, cara pemakaian yang menghasilkan nilai sama menjadi berulang. Bila nilainya dituliskan satu per satu, dari 10 sampai 230 yen ternyata ada 19 macam. Kekeliruan yang sering terjadi adalah menganggap 23 cara pemakaian sebagai banyaknya nilai uang.
Ada berapa faktor positif dari 720 seluruhnya?
Dengan faktorisasi prima 720=2⁴×3²×5, banyaknya faktor adalah hasil kali dari 5 pilihan pangkat untuk 2, 3 pilihan untuk 3, dan 2 pilihan untuk 5, yaitu (4+1)(2+1)(1+1)=30. Kekeliruan yang sering terjadi adalah lupa menambahkan 1 pada tiap pangkat lalu menghitung 4×3×2=24. Adapun 29 adalah nilai bila 1 tidak ikut dihitung sebagai faktor.
Bila (a+b)(p+q+r)(x+y) dijabarkan, ada berapa suku yang terbentuk seluruhnya?
Sukunya terbentuk dari hasil kali satu huruf yang dipilih dari tiap kurung. Menurut aturan perkalian, banyaknya pilihan adalah 2×3×2=12. Kekeliruan yang sering terjadi adalah menjumlahkannya sebagai 2+3+2=7. Adapun 24 adalah nilai kelebihan kali seperti 2×3×2×2.
Tentukan nilai ₅P₃.
₅P₃ adalah hasil kali 3 bilangan bulat berturut-turut mulai dari 5, yaitu 5×4×3=60. Nilai 10 adalah ₅C₃ (kombinasi), jadi berhati-hatilah agar permutasi dan kombinasi tidak tertukar. Nilai 125 adalah 5³, yaitu nilai bila pengulangan diperbolehkan.
Dari 10 anggota klub akan dipilih 1 ketua dan 1 wakil ketua. Ada berapa cara pemilihannya?
Karena peran ketua dan wakil ketua berbeda, urutan pemilihannya bermakna sehingga ini permutasi: ₁₀P₂=10×9=90 cara. Kekeliruan yang paling sering adalah melupakan perbedaan peran lalu menghitung ₁₀C₂=45 cara. Adapun 100 cara adalah 10×10, yang ikut memuat kemungkinan satu orang merangkap kedua jabatan.
Ada berapa cara 4 siswa berbaris dalam satu barisan?
Karena keempat siswa yang berbeda semuanya disusun, banyaknya 4!=4×3×2×1=24 cara. Nilai 16 adalah 4² dan 256 adalah 4⁴; keduanya kekeliruan karena dihitung seolah tiap posisi punya 4 pilihan dengan pengulangan.
Bila 3 siswa putra dan 2 siswa putri, seluruhnya 5 orang, berbaris dalam satu barisan, ada berapa susunan agar kedua siswa putri berdampingan?
Bila kedua siswa putri dijadikan satu kesatuan, susunan dari 3 siswa putra dan 1 kesatuan, seluruhnya 4 objek, ada 4!=24. Di dalam kesatuan itu kedua siswa putri dapat disusun 2!=2 cara, sehingga 24×2=48 cara. Kekeliruan yang sering terjadi adalah lupa mengalikan 2! di dalamnya sehingga terjawab 24 cara. Adapun 120 cara adalah 5! tanpa syarat apa pun.
Bila 3 siswa putra dan 2 siswa putri, seluruhnya 5 orang, berbaris dalam satu barisan, ada berapa susunan agar kedua ujungnya siswa putra?
Tentukan lebih dulu bagian yang syaratnya paling ketat, yaitu kedua ujungnya. Ujung kiri 3 pilihan siswa putra dan ujung kanan 2 pilihan siswa putra yang tersisa, yaitu ₃P₂=6 cara. Ketiga orang di tengah dapat disusun 3!=6 cara. Menurut aturan perkalian, 6×6=36 cara. Bila setelah kedua ujungnya dihitung benar sebagai ₃P₂=6 lalu masih dikalikan 2 karena pertukaran kiri-kanan, hasilnya menjadi 72 cara. Adapun 12 cara adalah nilai ₃P₂×2 yang melupakan susunan 3!=6 orang di tengah.
Ada berapa cara 5 orang duduk mengelilingi meja bundar? Susunan yang sama setelah diputar dianggap sama.
Pada permutasi siklis, cukup satu orang ditetapkan lalu 4 orang sisanya disusun, sehingga (5−1)!=4!=24 cara. Jawaban 5!=120 cara adalah kekeliruan karena tiap 5 susunan yang berimpit setelah diputar dihitung terpisah.
Bila 7 orang disusun melingkar, ada berapa susunan agar dua orang tertentu, A dan B, berdampingan? Susunan yang sama setelah diputar dianggap sama.
Bila A dan B dijadikan satu kesatuan, susunannya menjadi permutasi siklis dari 6 objek, yaitu (6−1)!=120. Kalikan dengan 2! untuk susunan A dan B di dalam kesatuan itu sehingga 120×2=240 cara. Bila 2! lupa dikalikan hasilnya 120 cara. Adapun 720 cara adalah 6!, yaitu kekeliruan karena tidak dihitung sebagai permutasi siklis.
Ada berapa cara menyusun 5 huruf a, a, b, b, c dalam satu barisan?
Karena ini permutasi dengan unsur yang sama, banyaknya 5!/(2!2!)=120/4=30 cara. Jawaban 5!=120 cara adalah kekeliruan karena pertukaran huruf yang sama ikut dihitung berulang. Adapun 60 cara adalah nilai bila hanya dibagi 2! satu kali.
Ada berapa cara menyusun 6 huruf a, a, a, b, b, c dalam satu barisan?
6!/(3!2!)=720/12=60 cara, yaitu dibagi oleh pertukaran a sebanyak 3! sekaligus pertukaran b sebanyak 2!. Bila hanya dibagi 3! hasilnya 120 cara, dan bila hanya dibagi 2! hasilnya 360 cara.
Dari 5 kartu bertuliskan 0, 1, 2, 3, 4 diambil 3 kartu berbeda dan disusun menjadi bilangan tiga angka. Ada berapa bilangan yang dapat terbentuk?
Angka 0 tidak boleh menempati tempat ratusan, sehingga tempat ratusan punya 4 pilihan selain 0, tempat puluhan 4 pilihan dari sisanya (0 boleh dipakai), dan tempat satuan 3 pilihan dari sisanya. Menurut aturan perkalian, 4×4×3=48 bilangan. Jawaban ₅P₃=60 adalah kekeliruan karena bilangan dua angka dengan 0 di tempat ratusan ikut terhitung.
Tentukan nilai ₇C₂.
₇C₂=7×6/(2×1)=21. Nilai 42 adalah ₇P₂, yaitu nilai yang lupa dibagi 2!. Karena kombinasi tidak mempersoalkan urutan, permutasinya dibagi dengan banyaknya penyusunan ulang r!.
Tentukan nilai ₈C₅.
₈C₅=₈C₃=8×7×6/(3×2×1)=56. Memilih 5 dan menyisakan 3 adalah hal yang sama, sehingga menghitung dengan r yang lebih kecil lebih cepat. Nilai 336 adalah 8×7×6 yang lupa dibagi 3!, sedangkan 28 adalah ₈C₂.
Ada berapa cara memilih 3 wakil dari 12 orang, bila di antara para wakil tidak ada pembedaan peran?
Karena tidak ada pembedaan peran, ini kombinasi: ₁₂C₃=12×11×10/(3×2×1)=220 cara. Jawaban 1320 cara adalah ₁₂P₃, yaitu kekeliruan yang paling sering karena tertukar dengan permutasi. Bila tidak perlu disusun berurutan, bagilah dengan r!.
Ada berapa cara memilih 2 siswa putra dan 2 siswa putri dari 5 siswa putra dan 4 siswa putri?
Cara memilih siswa putra ₅C₂=10 dan cara memilih siswa putri ₄C₂=6. Menurut aturan perkalian, 10×6=60 cara. Jawaban 126 cara adalah ₉C₄, yaitu memilih 4 orang dari 9 tanpa membedakan putra dan putri, sehingga syaratnya diabaikan.
Ada berapa diagonal pada segi delapan beraturan seluruhnya?
Dari 8 titik sudut dipilih 2, sehingga terdapat ₈C₂=28 ruas garis; di antaranya 8 sisi yang menghubungkan titik sudut berdampingan bukanlah diagonal. Jadi 28−8=20 diagonal. Kekeliruan yang sering terjadi adalah lupa mengurangi sisinya sehingga terjawab 28.
Ada berapa cara membagi 9 orang menjadi 2 kelompok, yaitu kelompok beranggota 4 orang dan kelompok beranggota 5 orang?
Bila anggota kelompok 4 orang sudah dipilih, sisanya otomatis menjadi kelompok 5 orang, sehingga ₉C₄=126 cara. Karena kelompok yang jumlah anggotanya berbeda otomatis terbedakan, hasilnya tidak boleh dibagi 2! (bila dibagi, hasilnya 63 cara). Jawaban 252 cara justru kekeliruan karena dikalikan dua.
Ada berapa cara membagi 6 orang menjadi 3 kelompok yang masing-masing beranggota 2 orang, bila antarkelompok tidak dibedakan?
Bila dipilih berturut-turut diperoleh ₆C₂×₄C₂=15×6=90, tetapi karena antarkelompok tidak dibedakan, tiap pembagian yang sama terhitung berulang sebanyak penyusunan ulang kelompoknya, yaitu 3!=6 kali. Maka 90÷3!=15 cara. Kekeliruan yang paling sering adalah lupa membagi 3! sehingga terjawab 90 cara.
Terdapat jaringan jalan berbentuk kisi. Ada berapa rute dari titik A ke titik B yang terletak 4 blok ke timur dan 3 blok ke utara, tanpa memutar?
Dari 7 kali perpindahan, yaitu 4 kali ke timur dan 3 kali ke utara, tinggal dipilih 3 kali mana yang ke utara, sehingga ₇C₃=35 cara. Sama saja bila dipandang sebagai penyusunan ulang huruf timur-timur-timur-timur-utara-utara-utara, yaitu 7!/(4!3!)=35. Menghitung 4×3=12 cara adalah kekeliruan cara mencacah. Adapun 210 cara adalah ₇P₃ yang keliru dianggap permutasi.
Terdapat jaringan jalan berbentuk kisi. Dari titik A ke titik B yang terletak 5 blok ke timur dan 4 blok ke utara tanpa memutar, ada berapa rute yang tidak melewati titik P yang terletak 2 blok ke timur dan 2 blok ke utara dari A?
Seluruhnya ada ₉C₄=126 rute. Rute yang melewati P sebanyak (dari A ke P, ₄C₂=6) × (dari P ke B, ₅C₂=10) = 60 rute. Jadi yang tidak melewatinya 126−60=66 rute. Jawaban 60 adalah kasus yang melewatinya, sedangkan 126 adalah keseluruhannya.
Dari 10 orang akan dipilih 4 orang petugas piket. Ada berapa cara pemilihan agar dua orang tertentu, A dan B, sama-sama terpilih?
Anggaplah A dan B sudah terpilih, sehingga cukup memilih 2 orang dari 8 orang sisanya, yaitu ₈C₂=28 cara. Jawaban 56 adalah ₈C₃ karena sisa orang yang dipilih keliru dianggap 3, sedangkan 45 adalah ₁₀C₂ karena syaratnya salah diperlakukan.
Bila dua buah dadu berukuran besar dan kecil dilempar bersamaan, tentukan peluang jumlah mata dadunya 7.
Seluruhnya ada 6×6=36 cara. Jumlah 7 terjadi pada (1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1), yaitu 6 cara, sehingga P=6/36=1/6. Bila (1,6) dan (6,1) disamakan sehingga terhitung 3 cara, hasilnya 1/12; padahal penyebut 36 diperoleh dengan membedakan kedua dadu, jadi pembilangnya pun harus dicacah dengan membedakannya.
Dari sebuah kantong berisi 3 bola merah dan 2 bola putih diambil 2 bola sekaligus. Tentukan peluang keduanya bola merah.
Seluruhnya ada ₅C₂=10 cara, dan cara memilih 2 bola merah ada ₃C₂=3, sehingga P=3/10. Nilai 9/25=(3/5)² berlaku bila bola yang diambil dikembalikan; karena di sini keduanya diambil sekaligus tanpa pengembalian, nilai itu keliru.
Bila dua buah dadu berukuran besar dan kecil dilempar bersamaan, tentukan peluang sekurang-kurangnya salah satunya memunculkan mata 6.
Peluang kejadian komplemennya, yaitu keduanya bukan 6, adalah (5/6)²=25/36. Maka P=1−25/36=11/36. Nilai 25/36 adalah kekeliruan karena peluang komplemennya langsung dijawab. Nilai 1/3=2/6 muncul dari penjumlahan tergesa karena dianggap ada dua tempat munculnya 6, sehingga (6,6) terhitung dua kali.
Bila 3 keping koin dilempar bersamaan, tentukan peluang sekurang-kurangnya 1 keping memunculkan sisi gambar.
Kejadian komplemennya adalah ketiga keping memunculkan sisi angka, yang peluangnya (1/2)³=1/8. Maka P=1−1/8=7/8. Begitu muncul kata sekurang-kurangnya, pikirkanlah kejadian komplemennya. Nilai 1/8 adalah kekeliruan karena komplemennya sendiri yang dijawab.
Bila satu kartu bernomor diambil dari kartu bernomor 1 sampai 20, tentukan peluang nomornya merupakan kelipatan 3 atau kelipatan 4.
Kelipatan 3 ada 6 kartu, kelipatan 4 ada 5 kartu, dan yang termasuk keduanya (kelipatan 12) ada 1 kartu. Maka P=(6+5−1)/20=10/20=1/2. Bila kelipatan 12 yang beririsan lupa dikurangkan, hasilnya 11/20. Pada aturan penjumlahan untuk kejadian yang tidak saling lepas, P(A∩B) harus selalu dikurangkan.
Peluang mengenai sasaran adalah 2/3 bagi A dan 3/5 bagi B. Bila keduanya menembak satu kali, tentukan peluang keduanya mengenai sasaran, dengan hasil keduanya saling bebas.
Karena percobaannya saling bebas, peluangnya adalah hasil kali: P=(2/3)×(3/5)=6/15=2/5. Nilai 13/15 adalah peluang sekurang-kurangnya salah satunya mengenai, sedangkan 2/15 adalah peluang keduanya meleset; berhati-hatilah agar kejadian yang ditanyakan tidak tertukar.
Bila sebuah dadu dilempar 4 kali, tentukan peluang mata 1 muncul tepat 2 kali.
Dengan rumus percobaan berulang, ₄C₂(1/6)²(5/6)²=6×(1/36)×(25/36)=25/216. Bila ₄C₂ lupa dikalikan hasilnya 25/1296, dan itulah kekeliruan yang paling sering. Bila (5/6)² lupa dikalikan hasilnya 1/6. Jangan lupakan ₄C₂, yaitu pilihan letak dua lemparan tempat mata 1 muncul.
Bila sekeping koin dilempar 5 kali, tentukan peluang sisi gambar muncul tepat 3 kali.
₅C₃(1/2)³(1/2)²=10×(1/2)⁵=10/32=5/16. Bila ₅C₃=10 lupa dikalikan hasilnya 1/32. Meskipun peluang sisi gambar dan sisi angka sama, pilihan letak kemunculannya, yaitu ₅C₃, tetap diperlukan.
Dari 10 lembar undian yang memuat 3 undian berhadiah, Ko dan Otsu mengambil satu lembar secara berurutan (undian yang diambil tidak dikembalikan). Tentukan peluang bersyarat bahwa Otsu juga mendapat hadiah, dengan syarat Ko mendapat hadiah.
Begitu Ko mendapat hadiah, tersisa 9 lembar dengan 2 undian berhadiah, sehingga peluang bersyaratnya 2/9. Nilai 3/10 adalah peluang Otsu mendapat hadiah tanpa memperhatikan syarat itu (karena undian bersifat adil, orang kedua pun 3/10), sedangkan 1/15=(3/10)×(2/9) adalah peluang keduanya mendapat hadiah; berhati-hatilah agar tidak tertukar dengan peluang bersyarat.
Dua buah dadu berukuran besar dan kecil dilempar dan jumlah mata dadunya ternyata 10 atau lebih. Tentukan peluang bersyarat bahwa sekurang-kurangnya salah satunya bermata 6.
Jumlah 10 atau lebih terjadi pada (4,6)(5,5)(6,4)(5,6)(6,5)(6,6), yaitu 6 cara. Di antaranya yang memuat mata 6 adalah semuanya kecuali (5,5), yaitu 5 cara. Penyebutnya menyusut menjadi 6 cara berjumlah 10 atau lebih, sehingga hasilnya 5/6. Nilai 5/36 adalah peluang gabungannya dengan penyebut tetap 36; pada peluang bersyarat, penyebutnya berubah menjadi himpunan syaratnya.
Di antara 10 lembar undian terdapat 2 lembar berhadiah 100 yen dan 3 lembar berhadiah 50 yen, sedangkan 5 lembar sisanya tanpa hadiah. Tentukan nilai harapan hadiah bila diambil satu lembar.
E=100×(2/10)+50×(3/10)+0×(5/10)=20+15+0=35 yen. Nilai 50 yen berasal dari rata-rata sederhana ketiga besaran hadiah, yaitu (100+50+0)/3, yang mengabaikan bobot peluangnya. Nilai harapan selalu dihitung sebagai jumlah dari nilai dikali peluangnya.
Bila sebuah dadu dilempar 3 kali, tentukan peluang mata 6 muncul sekurang-kurangnya 1 kali.
Peluang kejadian komplemennya, yaitu ketiga lemparan bukan 6, adalah (5/6)³=125/216. Maka P=1−125/216=91/216. Nilai 125/216 adalah kekeliruan karena komplemennya langsung dijawab. Nilai 25/72=75/216 adalah peluang tepat 1 kali, yaitu ₃C₁(1/6)(5/6)², jadi perhatikan bedanya dengan sekurang-kurangnya 1 kali. Nilai 1/2 muncul dari penjumlahan tergesa 1/6×3.
Ini adalah alat latihan dengan soal acak (berfungsi jika JavaScript aktif). Semua soal dan penjelasan di atas tetap dapat dibaca tanpa alat ini.
* Materi ini untuk mengecek isi pelajaran SMA. Jika penulisan atau penjelasannya berbeda dengan buku pelajaran atau pengajaran di sekolah, utamakan buku pelajaran dan penjelasan guru.
Halaman ini adalah terjemahan dari teks asli berbahasa Jepang. Jika terdapat perbedaan antara terjemahan dan teks asli, versi bahasa Jepang yang berlaku. Lihat teks asli bahasa Jepang