Lycée · Maths au lycée : labo des contrôles
Les questions et les explications sont disponibles en Français. Les cours (articles explicatifs) n'existent qu'en japonais.
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On lance simultanément deux dés, un grand et un petit. Dans combien de cas la somme des faces vaut-elle 5 ?
La somme vaut 5 dans les cas où le grand et le petit dé donnent (1,4), (2,3), (3,2) et (4,1), soit 4 cas. Les deux dés étant distingués, (1,4) et (4,1) se comptent séparément. L'erreur fréquente est d'oublier cette distinction et de ne compter que 2 cas, {1,4} et {2,3}. La valeur 5 est le nombre de cas pour une somme égale à 6.
On lance simultanément deux dés, un grand et un petit. Dans combien de cas la somme des faces est-elle un multiple de 4 ?
La somme est un multiple de 4 lorsqu'elle vaut 4,8,12. La somme 4 se réalise de 3 façons, (1,3), (2,2) et (3,1) ; la somme 8 de 5 façons, (2,6), (3,5), (4,4), (5,3) et (6,2) ; la somme 12 d'une seule façon, (6,6). Ces cas s'excluant mutuellement, le principe d'addition donne 3+5+1=9. Oublier (6,6) conduit à 8.
On dispose de 3 sortes de chemises, de 4 sortes de pantalons et de 2 sortes de chaussures. Combien y a-t-il de façons d'en choisir un de chaque ?
À chacun des 3 choix de chemise correspondent 4 choix de pantalon, puis 2 choix de chaussures : le principe de multiplication donne 3×4×2=24. L'erreur fréquente est d'additionner, 3+4+2=9. La valeur 12 oublie les chaussures.
Parmi les entiers naturels de 1 à 100, combien sont multiples de 3 ou de 5 ?
Il y a 33 multiples de 3 et 20 multiples de 5, et 6 multiples de 15 appartenant aux deux ensembles. La formule n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B) donne 33+20−6=47. L'erreur la plus fréquente est d'oublier de retrancher le recouvrement et de répondre 33+20=53.
On lance simultanément deux dés, un grand et un petit. Dans combien de cas le produit des faces est-il pair ?
Le produit est pair dès qu'au moins l'une des faces est paire. Plutôt que de compter directement, il est plus rapide de retrancher du total de 36 cas les 3×3=9 cas où le produit est impair, c'est-à-dire où les deux faces sont impaires : 36−9=27. La réponse 9 donne l'événement contraire lui-même, et 18 vient de l'idée fausse que ce serait la moitié.
On dispose d'une pièce de 100 yens, de deux pièces de 50 yens et de trois pièces de 10 yens. En utilisant une partie ou la totalité de ces pièces, combien de montants différents peut-on payer exactement ?
Les façons d'utiliser les pièces sont au nombre de 2×3×4=24, la pièce de 100 yens étant utilisée 0 ou 1 fois, celles de 50 yens de 0 à 2 fois et celles de 10 yens de 0 à 3 fois ; en écartant le montant nul, il reste 23 façons. Mais comme 100 yens équivaut à deux pièces de 50 yens, certaines façons donnent le même montant. En écrivant les montants, on trouve 19 montants distincts entre 10 et 230 yens. L'erreur fréquente est de confondre les 23 façons d'utiliser les pièces avec le nombre de montants.
Combien 720 a-t-il de diviseurs positifs ?
La décomposition en facteurs premiers donne 720=2⁴×3²×5. Un diviseur s'obtient en choisissant l'exposant de 2 parmi 5 possibilités, celui de 3 parmi 3 et celui de 5 parmi 2, soit (4+1)(2+1)(1+1)=30. L'erreur fréquente est d'oublier d'ajouter 1 à chaque exposant et de calculer 4×3×2=24. La valeur 29 exclut 1 des diviseurs.
Combien de termes obtient-on en développant (a+b)(p+q+r)(x+y) ?
Chaque terme s'obtient en choisissant une lettre dans chaque parenthèse et en multipliant. Le principe de multiplication donne 2×3×2=12 choix. L'erreur fréquente est d'additionner, 2+3+2=7. La valeur 24 provient d'un facteur en trop, comme dans 2×3×2×2.
Calculer la valeur de ₅P₃.
₅P₃ est le produit de 3 entiers consécutifs à partir de 5 : 5×4×3=60. La valeur 10 est celle de ₅C₃, une combinaison : il faut prendre garde à ne pas confondre arrangement et combinaison. La valeur 125 est 5³, qui correspondrait à des répétitions autorisées.
Parmi les 10 membres d'un club, de combien de façons peut-on désigner un président et un vice-président ?
Les deux fonctions étant différentes, l'ordre du choix compte : il s'agit d'un arrangement, ₁₀P₂=10×9=90. L'erreur la plus fréquente est d'oublier la distinction des rôles et de calculer ₁₀C₂=45. La valeur 100 correspond à 10×10 et compterait les cas où une même personne occupe les deux fonctions.
De combien de façons 4 élèves peuvent-ils se ranger en file ?
Il s'agit de ranger 4 personnes distinctes, soit 4!=4×3×2×1=24 façons. Les valeurs 16 et 256 correspondent à 4² et 4⁴, comptages avec répétition fondés sur l'idée fausse de 4 possibilités à chaque place.
Trois garçons et deux filles, soit 5 personnes, se rangent en file. Dans combien de rangements les deux filles sont-elles côte à côte ?
En regroupant les deux filles en un bloc, on range 4 objets, les 3 garçons et le bloc, soit 4!=24 façons. À l'intérieur du bloc, les deux filles se rangent de 2!=2 façons, d'où 24×2=48. L'erreur fréquente est d'oublier ce facteur 2! et de répondre 24. La valeur 120 est le nombre 5! de rangements sans condition.
Trois garçons et deux filles, soit 5 personnes, se rangent en file. Dans combien de rangements les deux extrémités sont-elles occupées par des garçons ?
On commence par la contrainte la plus forte, les extrémités : 3 possibilités à gauche et 2 pour le garçon restant à droite, soit ₃P₂=6. Les 3 personnes du milieu se rangent de 3!=6 façons. Le principe de multiplication donne 6×6=36. Après avoir correctement compté ₃P₂=6 aux extrémités, doubler encore pour un échange gauche-droite conduit à 72. La valeur 12 oublie les 3!=6 rangements du milieu et calcule ₃P₂×2.
De combien de façons 5 personnes peuvent-elles s'asseoir autour d'une table ronde, deux dispositions se déduisant l'une de l'autre par rotation étant considérées comme identiques ?
Pour une permutation circulaire, on fixe une personne et l'on range les 4 autres : (5−1)!=4!=24 façons. La réponse 5!=120 compte séparément les 5 dispositions qui se superposent par rotation.
Sept personnes se placent en cercle. Dans combien de dispositions deux personnes données A et B sont-elles voisines, deux dispositions se déduisant l'une de l'autre par rotation étant considérées comme identiques ?
En regroupant A et B en un bloc, on obtient une permutation circulaire de 6 objets, soit (6−1)!=120. En multipliant par les 2! rangements de A et B à l'intérieur du bloc, on obtient 120×2=240. Oublier le facteur 2! donne 120. La valeur 720 est 6!, obtenue en ne traitant pas le problème comme une permutation circulaire.
De combien de façons peut-on ranger en ligne les 5 lettres a, a, b, b, c ?
Il s'agit d'une permutation d'objets dont certains sont identiques : 5!/(2!2!)=120/4=30. La réponse 5!=120 compte plusieurs fois les échanges entre lettres identiques, et 60 ne divise que par un seul 2!.
De combien de façons peut-on ranger en ligne les 6 lettres a, a, a, b, b, c ?
6!/(3!2!)=720/12=60. Il faut diviser à la fois par 3!, pour les échanges entre les a, et par 2!, pour les échanges entre les b. En ne divisant que par 3! on obtient 120, et en ne divisant que par 2! on obtient 360.
Avec les 5 cartes 0, 1, 2, 3, 4, on forme des entiers de 3 chiffres en alignant 3 cartes distinctes. Combien d'entiers peut-on former ?
Le chiffre des centaines ne peut pas être 0 : il y a donc 4 possibilités, puis 4 pour les dizaines, où 0 est de nouveau permis, et 3 pour les unités. Le principe de multiplication donne 4×4×3=48. La réponse ₅P₃=60 compterait les cas où 0 occupe les centaines, c'est-à-dire des nombres à 2 chiffres.
Calculer la valeur de ₇C₂.
₇C₂=7×6/(2×1)=21. La valeur 42 est ₇P₂, obtenue en oubliant de diviser par 2!. Comme une combinaison ne tient pas compte de l'ordre, on divise l'arrangement par r!, le nombre de rangements des objets choisis.
Calculer la valeur de ₈C₅.
₈C₅=₈C₃=8×7×6/(3×2×1)=56. Choisir 5 objets revient à en laisser 3 de côté, si bien qu'il est plus rapide de calculer avec le plus petit des deux nombres. La valeur 336 est 8×7×6 sans division par 3!, et 28 est ₈C₂.
De combien de façons peut-on choisir 3 représentants parmi 12 personnes, sans distinction de rôle entre les représentants ?
Sans distinction de rôle, il s'agit d'une combinaison : ₁₂C₃=12×11×10/(3×2×1)=220. La réponse 1320 est ₁₂P₃, et confondre arrangement et combinaison est l'erreur la plus fréquente. Lorsqu'il n'y a rien à ranger, on divise par r!.
Parmi 5 garçons et 4 filles, de combien de façons peut-on choisir 2 garçons et 2 filles ?
Il y a ₅C₂=10 façons de choisir les garçons et ₄C₂=6 façons de choisir les filles. Le principe de multiplication donne 10×6=60. La réponse 126 est ₉C₄, c'est-à-dire le choix de 4 personnes parmi 9 sans distinction de sexe, ce qui ignore la condition.
Combien un octogone régulier a-t-il de diagonales ?
Parmi les ₈C₂=28 segments joignant deux des 8 sommets, les 8 côtés joignant des sommets voisins ne sont pas des diagonales, d'où 28−8=20. L'erreur fréquente est d'oublier de retrancher les côtés et de répondre 28.
De combien de façons peut-on répartir 9 personnes en deux groupes, l'un de 4 personnes et l'autre de 5 ?
Il suffit de choisir les personnes du groupe de 4, le groupe de 5 étant alors déterminé : ₉C₄=126. Les groupes ayant des effectifs différents, ils se distinguent d'eux-mêmes et il ne faut pas diviser par 2!, ce qui donnerait 63. La réponse 252 double au contraire le résultat.
De combien de façons peut-on répartir 6 personnes en trois groupes de 2, les groupes n'étant pas distingués ?
En choisissant successivement, on obtient ₆C₂×₄C₂=15×6=90, mais comme les groupes ne sont pas distingués, chaque répartition est comptée autant de fois qu'il y a de rangements des groupes, soit 3!=6. On a donc 90÷3!=15. L'erreur la plus fréquente est d'oublier cette division et de répondre 90.
Les rues forment un quadrillage. Combien y a-t-il de chemins sans détour du point A au point B situé 4 blocs à l'est et 3 blocs au nord ?
Sur les 7 déplacements, 4 vers l'est et 3 vers le nord, il suffit de choisir lesquels des 3 se font vers le nord : ₇C₃=35. Le rangement des lettres du mot formé de quatre est et trois nord donne le même compte, 7!/(4!3!)=35. Répondre 4×3=12 repose sur un décompte erroné, et 210 est ₇P₃, obtenu en traitant le problème comme un arrangement.
Les rues forment un quadrillage. Du point A au point B situé 5 blocs à l'est et 4 blocs au nord, combien y a-t-il de chemins sans détour évitant le point P situé 2 blocs à l'est et 2 blocs au nord de A ?
Le total vaut ₉C₄=126. Les chemins passant par P sont au nombre de ₄C₂=6 de A à P, multiplié par ₅C₂=10 de P à B, soit 60. Les chemins évitant P sont donc 126−60=66. La réponse 60 donne les chemins qui passent par P, et 126 le total sans condition.
Parmi 10 personnes, on choisit 4 personnes de service. Dans combien de choix deux personnes données A et B figurent-elles toutes les deux ?
On considère A et B comme déjà choisis et l'on choisit 2 personnes parmi les 8 restantes : ₈C₂=28. La réponse 56 est ₈C₃, obtenue en prenant 3 personnes restantes au lieu de 2, et 45 est ₁₀C₂, qui traite mal la condition.
On lance simultanément deux dés, un grand et un petit. Quelle est la probabilité que la somme des faces vaille 7 ?
Le total des cas est 6×6=36. La somme vaut 7 dans 6 cas : (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2) et (6,1), d'où P=6/36=1/6. Identifier (1,6) et (6,1) donnerait 3 cas et la valeur 1/12 ; mais le dénominateur 36 distingue les deux dés, donc le numérateur doit les distinguer aussi.
Un sac contient 3 boules rouges et 2 boules blanches. On en tire 2 simultanément. Quelle est la probabilité que les deux soient rouges ?
Le total des cas est ₅C₂=10 et le nombre de choix de 2 boules rouges est ₃C₂=3, d'où P=3/10. La valeur 9/25=(3/5)² correspondrait à des tirages avec remise ; ici le tirage étant simultané, il n'y a pas de remise.
On lance simultanément deux dés, un grand et un petit. Quelle est la probabilité qu'au moins l'un donne un 6 ?
L'événement contraire, aucun des deux ne donnant 6, a pour probabilité (5/6)²=25/36, d'où P=1−25/36=11/36. La réponse 25/36 donne l'événement contraire lui-même. La réponse 1/3=2/6 vient d'avoir additionné hâtivement les deux positions possibles du 6, ce qui compte deux fois le cas (6,6).
On lance simultanément 3 pièces. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins un pile ?
L'événement contraire est d'obtenir face sur les trois pièces, de probabilité (1/2)³=1/8, d'où P=1−1/8=7/8. Dès qu'on lit « au moins », il faut penser à l'événement contraire. La réponse 1/8 donne l'événement contraire lui-même.
On tire un jeton parmi des jetons numérotés de 1 à 20. Quelle est la probabilité que le numéro soit multiple de 3 ou de 4 ?
Il y a 6 multiples de 3, 5 multiples de 4 et 1 multiple de 12 appartenant aux deux ensembles, d'où P=(6+5−1)/20=10/20=1/2. Oublier de retrancher le multiple de 12 donne 11/20. Pour des événements non incompatibles, la formule d'addition impose de retrancher P(A∩B).
La probabilité d'atteindre la cible est de 2/3 pour A et de 3/5 pour B. Chacun tire une fois. Quelle est la probabilité qu'ils atteignent tous les deux la cible, les résultats étant indépendants ?
Pour des épreuves indépendantes, on multiplie les probabilités : P=(2/3)×(3/5)=6/15=2/5. La valeur 13/15 est la probabilité qu'au moins l'un atteigne la cible et 2/15 celle qu'aucun des deux ne l'atteigne : il faut prendre garde à l'événement effectivement demandé.
On lance un dé 4 fois. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement deux fois la face 1 ?
La formule des épreuves répétées donne ₄C₂(1/6)²(5/6)²=6×(1/36)×(25/36)=25/216. Oublier le facteur ₄C₂ donne 25/1296, l'erreur la plus fréquente, et oublier (5/6)² donne 1/6. Il ne faut pas omettre le choix ₄C₂ des deux rangs où sort la face 1.
On lance une pièce 5 fois. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement trois fois pile ?
₅C₃(1/2)³(1/2)²=10×(1/2)⁵=10/32=5/16. Oublier le facteur ₅C₃=10 donne 1/32. Même lorsque pile et face ont la même probabilité, le choix ₅C₃ des rangs reste nécessaire.
Un lot de 10 billets contient 3 billets gagnants. Deux personnes, la première puis la seconde, tirent chacune un billet sans remise. Sachant que la première a gagné, quelle est la probabilité conditionnelle que la seconde gagne aussi ?
Une fois que la première a gagné, il reste 9 billets dont 2 gagnants : la probabilité conditionnelle vaut 2/9. La valeur 3/10 est la probabilité que la seconde gagne sans condition, l'équité du tirage donnant aussi 3/10 pour la deuxième personne, et 1/15=(3/10)×(2/9) est la probabilité que les deux gagnent : il ne faut pas la confondre avec la probabilité conditionnelle.
On a lancé deux dés, un grand et un petit, et la somme des faces vaut au moins 10. Quelle est la probabilité conditionnelle qu'au moins l'un des dés donne un 6 ?
La somme vaut au moins 10 dans 6 cas : (4,6), (5,5), (6,4), (5,6), (6,5) et (6,6). Parmi eux, 5 contiennent un 6, tous sauf (5,5). En ramenant le dénominateur aux 6 cas de la condition, on obtient 5/6. La valeur 5/36 garde 36 au dénominateur et donne la probabilité conjointe : dans une probabilité conditionnelle, le dénominateur devient l'ensemble défini par la condition.
Parmi 10 billets, 2 rapportent 100 yens, 3 rapportent 50 yens et les 5 autres ne rapportent rien. Quelle est l'espérance du gain pour un billet tiré ?
E=100×(2/10)+50×(3/10)+0×(5/10)=20+15+0=35 yens. La réponse 50 yens est la moyenne simple des trois montants, (100+50+0)/3, qui ignore la pondération par les probabilités. Une espérance se calcule toujours comme la somme des produits valeur par probabilité.
On lance un dé 3 fois. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins une fois la face 6 ?
L'événement contraire, ne jamais obtenir 6 en 3 lancers, a pour probabilité (5/6)³=125/216, d'où P=1−125/216=91/216. La réponse 125/216 donne l'événement contraire lui-même. La valeur 25/72=75/216 est la probabilité d'obtenir exactement une fois la face 6, ₃C₁(1/6)(5/6)², à ne pas confondre avec « au moins une fois ». La réponse 1/2 vient d'avoir additionné hâtivement 1/6 trois fois.
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