计数与概率

和为 5 的是（大,小）=(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)，共 4 种。因为大小有区别，所以 (1,4) 与 (4,1) 要分开数。忘记区别而数成 {1,4},{2,3} 两种是常见错误。5 种是和为 6 时的情形数。

和为 4 的倍数即和为 4,8,12。和为 4 的有 (1,3)(2,2)(3,1)，共 3 种；和为 8 的有 (2,6)(3,5)(4,4)(5,3)(6,2)，共 5 种；和为 12 的有 (6,6)，共 1 种。它们不会同时发生，由加法原理得 3+5+1=9 种。漏掉 (6,6) 就会得到 8 种。

衬衫的 3 种选法中每一种都对应裤子的 4 种，而其中每一种又对应鞋的 2 种，由乘法原理得 3×4×2=24 种。写成 3+4+2=9 种是常见错误。12 种是漏掉鞋的值。

3 的倍数有 33 个，5 的倍数有 20 个，同时属于两者的 15 的倍数有 6 个。由 n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B)=33+20−6=47 个。忘了减去重叠部分、写成 33+20=53 个是最常见的错误。

积为偶数就是“至少有一个是偶数”。与其直接数，不如从全部 36 种中减去积为奇数（两个都是奇数）的 3×3=9 种，得 36−9=27 种，这样更快。9 种是直接答了对立事件本身，18 种是想当然认为是“一半”的错误。

用法有 100 日元 0〜1 枚、50 日元 0〜2 枚、10 日元 0〜3 枚，共 2×3×4=24 种，去掉 0 日元还剩 23 种。但因为 100 日元等于 2 枚 50 日元，所以像 1 枚 100 日元与 2 枚 50 日元这样金额相同的用法会重复。把金额一一列出来，在 10〜230 日元之间共有 19 种。把用法的种数 23 种与金额的种数混淆是常见错误。

质因数分解得 720=2⁴×3²×5，约数的个数是 2 的指数有 5 种选法、3 的指数有 3 种选法、5 的指数有 2 种选法之积，即 (4+1)(2+1)(1+1)=30 个。忘了给指数加 1、写成 4×3×2=24 个是常见错误。29 个是把 1 从约数中排除后的值。

从每个括号里各取一个字母相乘就得到一项。取法由乘法原理得 2×3×2=12 个。写成 2+3+2=7 个是常见错误。24 个是多乘了一次（如 2×3×2×2）的值。

₅P₃ 是从 5 开始的 3 个整数相乘，即 5×4×3=60。10 是 ₅C₃（组合数）的值，要注意别把排列与组合弄混。125 是 5³，那是允许重复时的值。

委员长与副委员长的职务不同，所以选取的顺序有意义，属于排列。₁₀P₂=10×9=90 种。忘记职务的区别、写成 ₁₀C₂=45 种是最常见的错误。100 种是 10×10，把同一个人兼任两职的情形也算了进去。

把不同的 4 个人全部排列，所以是 4!=4×3×2×1=24 种。16 种是 4²，256 种是 4⁴，都是按“每个位置各有 4 种”允许重复地数出来的错误。

把 2 名女生捆成一整块，则男生 3 人与这 1 块共 4 个对象的排法是 4!=24 种。块内女生的排法有 2!=2 种，所以 24×2=48 种。忘了乘块内的 2!、只答 24 种是常见错误。120 种是无条件时的 5!。

从条件强的两端先定。左端有 3 名男生可选，右端从剩下的男生中选有 2 种，即 ₃P₂=6 种。中间 3 人有 3!=6 种。由乘法原理得 6×6=36 种。把两端正确数成 ₃P₂=6 种之后又因左右交换再乘 2 倍，就会得到 72 种。12 种是忘了中间 3 人的排法 3!=6、只算成 ₃P₂×2 的值。

圆排列只要固定 1 个人、再排其余 4 人即可，所以是 (5−1)!=4!=24 种。5!=120 种是把旋转后重合的每 5 种都分开数的错误。

把 A 与 B 捆成一块，则是 6 个对象的圆排列 (6−1)!=120 种。再乘上块内 A 与 B 的排法 2!，得 120×2=240 种。忘了乘 2! 就是 120 种。720 种是 6!，是没有按圆排列来数的错误。

这是含有相同元素的排列，所以是 5!/(2!2!)=120/4=30 种。5!=120 种是把相同字母的互换重复计数的错误。60 种是只除了一次 2! 的值。

6!/(3!2!)=720/12=60 种。要同时除以 a 的互换 3! 与 b 的互换 2!。只除以 3! 会得到 120 种，只除以 2! 会得到 360 种。

百位不能用 0，所以百位有 4 种（0 以外），十位有剩下的 4 种（可以用 0），个位有剩下的 3 种。由乘法原理得 4×4×3=48 个。₅P₃=60 个把百位是 0 的“两位数”也算了进去。

₇C₂=7×6/(2×1)=21。42 是 ₇P₂，即忘了除以 2! 的值。组合不考虑顺序，所以要把排列数除以重排的种数 r!。

₈C₅=₈C₃=8×7×6/(3×2×1)=56。“选出 5 个”与“留下 3 个”是同一件事，用较小的 r 去算更快。336 是停在 8×7×6、忘了除以 3! 的值，28 是 ₈C₂。

因为没有职务区别，所以是组合。₁₂C₃=12×11×10/(3×2×1)=220 种。1320 种是 ₁₂P₃，把它与排列弄混是最常见的错误。不需要排序时就要除以 r!。

男生的选法 ₅C₂=10 种，女生的选法 ₄C₂=6 种。由乘法原理得 10×6=60 种。126 种是不分男女、从 9 人中选 4 人的 ₉C₄，是无视条件的错误。

从 8 个顶点中取 2 个得到 ₈C₂=28 条线段，其中连接相邻顶点的 8 条边不是对角线。所以是 28−8=20 条。忘了减去边、答 28 条是常见错误。

只要选出进入 4 人组的人，剩下的自动组成 5 人组，所以是 ₉C₄=126 种。人数不同的两组本来就互相区分，因此不能再除以 2!（除了就会得到 63 种）。252 种则是反过来乘了 2 倍的错误。

依次选取得 ₆C₂×₄C₂=15×6=90 种，但各组没有区别，同一种分法按组的排列 3!=6 种被重复计数了。所以 90÷3!=15 种。忘了除以 3! 而答 90 种是最常见的错误。

在向东 4 次、向北 3 次共 7 次移动中，选哪 3 次向北，即 ₇C₃=35 种。也可以看成“东东东东北北北”的重排 7!/(4!3!)=35，结果相同。写成 4×3=12 种是数法上的错误。210 种是 ₇P₃，误当成排列的错误。

总数是 ₉C₄=126 种。经过 P 的走法是（从 A 到 P 的 ₄C₂=6 种）×（从 P 到 B 的 ₅C₂=10 种）=60 种。所以不经过 P 的是 126−60=66 种。60 种是答成了“经过”的情形，126 种是停在总数上的值。

把 A 与 B 视为已经入选，只需从剩下的 8 人中选 2 人即可，即 ₈C₂=28 种。56 种是 ₈C₃，把剩下要选的人数误当成 3 人的值；45 种是 ₁₀C₂，是条件处理有误的值。

总数是 6×6=36 种。和为 7 的有 (1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1)，共 6 种，所以 P=6/36=1/6。把 (1,6) 与 (6,1) 视为同一种、数成 3 种就会得到 1/12，但分母 36 是把两个骰子区分开来数的，所以分子也必须区分着数。

总数是 ₅C₂=10 种，取到 2 个红球的选法是 ₃C₂=3 种，所以 P=3/10。9/25=(3/5)² 是把球放回时的值，而“同时取出”意味着不放回，所以不对。

对立事件“两个都不是 6”的概率是 (5/6)²=25/36。所以 P=1−25/36=11/36。25/36 是直接答了对立事件的概率。1/3=2/6 是想着“出 6 的位置有两个”就草率相加的错误，那样会把 (6,6) 数两次。

对立事件是“3 枚都是反面”，其概率为 (1/2)³=1/8。所以 P=1−1/8=7/8。见到“至少”就想对立事件。1/8 是直接答了对立事件本身。

3 的倍数有 6 张，4 的倍数有 5 张，同时属于两者的 12 的倍数有 1 张。P=(6+5−1)/20=10/20=1/2。忘了减去重叠的 12 的倍数就会得到 11/20。对不互斥的事件使用加法公式时，一定要减去 P(A∩B)。

因为是独立试验，概率相乘：P=(2/3)×(3/5)=6/15=2/5。13/15 是“至少有一人命中”的概率，2/15 是“两人都没中”的概率，要注意别把所问的事件弄错。

用独立重复试验的公式得 ₄C₂(1/6)²(5/6)²=6×(1/36)×(25/36)=25/216。忘了乘 ₄C₂ 就会得到 25/1296，这是最常见的错误。忘了乘 (5/6)² 则会得到 1/6。别忘记选择哪两次出 1 的位置数 ₄C₂。

₅C₃(1/2)³(1/2)²=10×(1/2)⁵=10/32=5/16。忘了乘 ₅C₃=10 就会得到 1/32。即使正面与反面的概率相等，选择出现位置的种数 ₅C₃ 仍然必不可少。

甲抽中之后，剩下 9 根中还有 2 根中签。所以条件概率是 2/9。3/10 是无视条件时乙抽中的概率（由抽签的公平性，第 2 个人也是 3/10），1/15=(3/10)×(2/9) 是“两人都抽中”的概率，注意不要与条件概率混淆。

和为 10 以上的有 (4,6)(5,5)(6,4)(5,6)(6,5)(6,6)，共 6 种。其中含 6 的是除 (5,5) 以外的 5 种。把分母缩小为“和为 10 以上的 6 种”，得 5/6。5/36 是分母仍用 36 的联合概率，而条件概率的分母要换成条件所限定的集合。

E=100×(2/10)+50×(3/10)+0×(5/10)=20+15+0=35 日元。50 日元是把三种奖金额简单平均、算成 (100+50+0)/3 的错误，忽略了概率这一权重。期望值一定要用（数值×概率）之和来算。

对立事件“3 次都不是 6”的概率是 (5/6)³=125/216。所以 P=1−125/216=91/216。125/216 是直接答了对立事件。25/72=75/216 是“恰好 1 次”的概率 ₃C₁(1/6)(5/6)²，要注意它与“至少 1 次”的区别。1/2 是把 1/6×3 草率相加的错误。