Preparatoria · Matemáticas de preparatoria: laboratorio de exámenes periódicos
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Se lanzan a la vez dos dados, uno grande y uno pequeño. ¿De cuántas formas puede ser 5 la suma de los números?
La suma es 5 para (grande, pequeño) = (1,4), (2,3), (3,2) y (4,1), es decir, 4 formas. Como los dados se distinguen, (1,4) y (4,1) se cuentan por separado. Olvidar esta distinción y contar solo {1,4} y {2,3} como 2 formas es un descuido frecuente. El resultado 5 corresponde a una suma de 6.
Se lanzan a la vez dos dados, uno grande y uno pequeño. ¿De cuántas formas puede ser la suma de los números un múltiplo de 4?
La suma es múltiplo de 4 cuando vale 4, 8 o 12. Una suma de 4 se obtiene de 3 formas, (1,3)(2,2)(3,1); una suma de 8, de 5 formas, (2,6)(3,5)(4,4)(5,3)(6,2); y una suma de 12, de 1 forma, (6,6). Estos casos no pueden darse a la vez, así que el principio de la suma da 3+5+1=9 formas. Si olvida (6,6), le quedan 8.
Hay 3 tipos de camisa, 4 tipos de pantalón y 2 tipos de zapatos. ¿De cuántas formas se puede elegir uno de cada uno?
Para cada una de las 3 camisas hay 4 opciones de pantalón, y para cada una de ellas 2 opciones de zapatos, así que el principio del producto da 3×4×2=24 formas. Sumar 3+4+2=9 es un descuido frecuente, y 12 olvida los zapatos.
Entre los números naturales del 1 al 100, ¿cuántos son múltiplos de 3 o de 5?
Hay 33 múltiplos de 3 y 20 múltiplos de 5, y 6 múltiplos de 15 están en ambos grupos. Por n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B) se obtiene 33+20−6=47. Olvidar restar la intersección y escribir 33+20=53 es el error más frecuente.
Se lanzan a la vez dos dados, uno grande y uno pequeño. ¿De cuántas formas puede ser par el producto de los números?
El producto es par exactamente cuando al menos un dado es par. En lugar de contar directamente, es más rápido restar del total de 36 los casos de producto impar, con ambos dados impares, que son 3×3=9, lo que da 36−9=27 formas. El resultado 9 indica el propio suceso complementario, y 18 supone sin motivo que debe ser la mitad.
Hay una moneda de 100 yenes, dos monedas de 50 yenes y tres monedas de 10 yenes. Usando algunas de ellas o todas, ¿cuántas cantidades distintas se pueden pagar exactamente?
Las formas de usar las monedas son 2×3×4=24, tomando 0 o 1 moneda de cien, de 0 a 2 de cincuenta y de 0 a 3 de diez, y al quitar el caso de cero yenes quedan 23. Pero como 100 yenes equivalen a dos monedas de 50 yenes, distintas formas de usar las monedas pueden dar la misma cantidad. Al escribir las cantidades, los valores distintos entre 10 y 230 yenes son 19. Confundir las 23 formas de usar las monedas con el número de cantidades es un descuido frecuente.
¿Cuántos divisores positivos tiene 720 en total?
Al descomponer 720=2⁴×3²×5, un divisor queda determinado al elegir el exponente de 2 de 5 formas, el de 3 de 3 formas y el de 5 de 2 formas, lo que da (4+1)(2+1)(1+1)=30. Olvidar sumar 1 a cada exponente y escribir 4×3×2=24 es un descuido frecuente, y 29 excluye el 1 de los divisores.
Al desarrollar (a+b)(p+q+r)(x+y), ¿cuántos términos se obtienen en total?
Cada término se obtiene eligiendo una letra de cada paréntesis y multiplicándolas, así que por el principio del producto hay 2×3×2=12. Sumar 2+3+2=7 es un descuido frecuente, y 24 multiplica un factor de más, como en 2×3×2×2.
Halle el valor de ₅P₃.
₅P₃ es el producto de 3 enteros contando hacia abajo desde 5: 5×4×3=60. El valor 10 es ₅C₃, una combinación, así que tenga cuidado de no confundir permutaciones y combinaciones. El valor 125 es 5³, que permite la repetición.
De entre 10 miembros de un club, ¿de cuántas formas se puede elegir un presidente y un vicepresidente?
Los dos cargos son distintos, así que el orden de elección importa y se trata de una permutación: ₁₀P₂=10×9=90 formas. Olvidar la distinción entre los cargos y escribir ₁₀C₂=45 es el error más frecuente. El resultado 100 es 10×10, que permite por error que la misma persona ocupe ambos cargos.
¿De cuántas formas se pueden colocar 4 estudiantes en una sola fila?
Se ordenan los 4 estudiantes, todos distintos, así que hay 4!=4×3×2×1=24 formas. Los resultados 16, como 4², y 256, como 4⁴, provienen ambos de suponer 4 opciones en cada posición, lo que permite la repetición.
Tres chicos y dos chicas, cinco personas en total, se colocan en fila. ¿En cuántas ordenaciones quedan las dos chicas una al lado de la otra?
Si se trata a las dos chicas como un solo bloque, los 3 chicos y el bloque forman 4 elementos, que se ordenan de 4!=24 formas. Dentro del bloque, las chicas pueden ordenarse de 2!=2 formas, así que la respuesta es 24×2=48 formas. Olvidar el 2! interno y responder 24 es un descuido frecuente, y 120 es 5!, el número sin ninguna condición.
Tres chicos y dos chicas, cinco personas en total, se colocan en fila. ¿En cuántas ordenaciones hay un chico en cada extremo?
Fije primero los lugares más restringidos, los dos extremos. El extremo izquierdo puede ocuparlo cualquiera de los 3 chicos y el derecho cualquiera de los 2 restantes, lo que da ₃P₂=6 formas. Las 3 personas del centro pueden ordenarse de 3!=6 formas, así que el principio del producto da 6×6=36 formas. Contar bien los extremos como ₃P₂=6 y luego volver a duplicar por intercambiar izquierda y derecha da 72. El resultado 12 olvida las 3!=6 ordenaciones del centro y escribe ₃P₂×2.
¿De cuántas formas se pueden sentar 5 personas alrededor de una mesa redonda, si las disposiciones que coinciden tras una rotación se consideran iguales?
En una permutación circular, se fija una persona y se ordenan las otras 4, lo que da (5−1)!=4!=24 formas. El resultado 5!=120 cuenta por separado las 5 disposiciones que coinciden al rotar.
Siete personas se colocan en círculo. ¿En cuántas disposiciones quedan dos personas determinadas, A y B, una al lado de la otra, si las disposiciones que coinciden tras una rotación se consideran iguales?
Si se trata a A y B como un solo bloque, se obtiene una permutación circular de 6 elementos, que es (6−1)!=120 formas. Al multiplicar por las 2! ordenaciones de A y B dentro del bloque se obtiene 120×2=240 formas. Si olvida el 2!, le quedan 120, y 720 es 6!, el conteo sin la reducción circular.
¿De cuántas formas se pueden ordenar en fila las cinco letras a, a, b, b, c?
Se trata de una permutación con repetición, así que hay 5!/(2!2!)=120/4=30 formas. El resultado 5!=120 cuenta más de una vez los intercambios de letras idénticas, y 60 divide entre 2! una sola vez.
¿De cuántas formas se pueden ordenar en fila las seis letras a, a, a, b, b, c?
6!/(3!2!)=720/12=60 formas. Divida tanto entre los 3! intercambios de las letras a como entre los 2! intercambios de las letras b. Dividir solo entre 3! da 120, y solo entre 2! da 360.
Se eligen tres tarjetas distintas de entre las cinco tarjetas 0, 1, 2, 3, 4 y se colocan en fila para formar un número entero de tres cifras. ¿Cuántos números enteros se pueden formar en total?
La cifra de las centenas no puede ser 0, así que hay 4 opciones para ella; luego quedan 4 opciones para la cifra de las decenas, que sí puede ser 0, y 3 para la de las unidades. El principio del producto da 4×4×3=48. El valor ₅P₃=60 también cuenta las ordenaciones con el 0 delante, que son números de dos cifras. El valor 36 saldría de usar solo 3 opciones para la cifra de las decenas, olvidando que el 0 puede ir ahí, y 100 de permitir repeticiones, como 4×5×5.
Halle el valor de ₇C₂.
₇C₂=7×6/(2×1)=21. El valor 42 es ₇P₂, que olvida dividir entre 2!. Como una combinación no tiene en cuenta el orden, divida el número de permutaciones entre r!, el número de reordenaciones.
Halle el valor de ₈C₅.
₈C₅=₈C₃=8×7×6/(3×2×1)=56. Elegir 5 es lo mismo que dejar 3, así que es más rápido calcular con el r más pequeño. El valor 336 es 8×7×6 sin dividir entre 3!, y 28 es ₈C₂.
¿De cuántas formas se pueden elegir 3 representantes de entre 12 personas, si los representantes no tienen funciones distintas?
Sin distinción de funciones se trata de una combinación: ₁₂C₃=12×11×10/(3×2×1)=220 formas. El resultado 1320 es ₁₂P₃, y confundir permutaciones con combinaciones es el error más frecuente. Cuando no hace falta ordenar, divida entre r!.
De entre 5 chicos y 4 chicas, ¿de cuántas formas se pueden elegir 2 chicos y 2 chicas?
Los chicos se pueden elegir de ₅C₂=10 formas y las chicas de ₄C₂=6 formas, así que el principio del producto da 10×6=60 formas. El resultado 126 es ₉C₄, elegir 4 de los 9 sin tener en cuenta el sexo, lo que ignora la condición.
¿Cuántas diagonales tiene en total un octágono regular?
Elegir 2 de los 8 vértices da ₈C₂=28 segmentos, pero los 8 lados que unen vértices adyacentes no son diagonales. Por tanto, la respuesta es 28−8=20. Olvidar restar los lados y responder 28 es un descuido frecuente.
¿De cuántas formas se pueden dividir 9 personas en dos grupos, uno de 4 y otro de 5?
Al elegir quiénes van al grupo de 4, el grupo de 5 queda determinado automáticamente, así que la respuesta es ₉C₄=126 formas. Los grupos de distinto tamaño se distinguen automáticamente, así que no debe dividir entre 2!, lo que daría 63. El resultado 252 duplica en lugar de dividir.
¿De cuántas formas se pueden dividir 6 personas en tres grupos de 2, si los grupos no se distinguen?
Elegir sucesivamente da ₆C₂×₄C₂=15×6=90, pero como los grupos no se distinguen, cada reparto se ha contado una vez por cada una de las 3!=6 ordenaciones de los grupos. Por tanto, la respuesta es 90÷3!=15 formas. Olvidar dividir entre 3! y responder 90 es el error más frecuente.
Las calles de una ciudad forman una cuadrícula. ¿Cuántos caminos más cortos hay de A a B, si B está 4 cuadras al este y 3 cuadras al norte de A?
De los 7 movimientos, 4 hacia el este y 3 hacia el norte, se eligen cuáles 3 son hacia el norte: ₇C₃=35 formas. De forma equivalente, se cuentan las ordenaciones de la secuencia este-este-este-este-norte-norte-norte como 7!/(4!3!)=35. Escribir 4×3=12 es una forma errónea de contar, y 210 es ₇P₃, que lo trata como una permutación.
Las calles de una ciudad forman una cuadrícula. B está 5 cuadras al este y 4 cuadras al norte de A. ¿Cuántos caminos más cortos de A a B evitan el punto P, que está 2 cuadras al este y 2 cuadras al norte de A?
En total hay ₉C₄=126 caminos. Los caminos que pasan por P son ₄C₂=6 de A a P por ₅C₂=10 de P a B, es decir, 60. Por tanto, los caminos que evitan P son 126−60=66. El resultado 60 responde al caso que pasa por P, y 126 es el total sin la condición.
Se eligen cuatro personas de entre 10 para un turno de servicio. ¿De cuántas formas pueden quedar elegidas a la vez dos personas determinadas, A y B?
Considere que A y B ya están elegidas y elija 2 más de entre las 8 restantes: ₈C₂=28 formas. El resultado 56 es ₈C₃, que toma por error 3 más, y 45 es ₁₀C₂, que maneja mal la condición.
Se lanzan a la vez dos dados, uno grande y uno pequeño. Halle la probabilidad de que la suma de los números sea 7.
Hay 6×6=36 resultados en total. La suma es 7 para (1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1), es decir, 6 resultados, así que P=6/36=1/6. Tratar (1,6) y (6,1) como el mismo da 3 y, por tanto, 1/12; pero como el denominador 36 cuenta los dados como distintos, el numerador también debe hacerlo.
Una bolsa contiene 3 bolas rojas y 2 bolas blancas. Se sacan dos bolas a la vez. Halle la probabilidad de que ambas sean rojas.
Hay ₅C₂=10 resultados en total y ₃C₂=3 formas de elegir 2 rojas, así que P=3/10. El valor 9/25=(3/5)² corresponde al caso con reposición de la bola, lo cual es incorrecto aquí, porque sacar ambas a la vez significa que no hay reposición.
Se lanzan a la vez dos dados, uno grande y uno pequeño. Halle la probabilidad de que al menos uno de ellos muestre un 6.
El suceso complementario, que ninguno muestre un 6, tiene probabilidad (5/6)²=25/36, así que P=1−25/36=11/36. El valor 25/36 indica la propia probabilidad complementaria. El valor 1/3=2/6 sale de sumar a la ligera porque hay dos lugares donde puede aparecer un 6, lo que cuenta (6,6) dos veces.
Se lanzan tres monedas a la vez. Halle la probabilidad de que al menos una salga cara.
El suceso complementario es que las tres salgan cruz, con probabilidad (1/2)³=1/8, así que P=1−1/8=7/8. Siempre que aparezca la expresión «al menos», piense en el complementario. El valor 1/8 indica el propio complementario.
Se saca un boleto de entre boletos numerados del 1 al 20. Halle la probabilidad de que el número sea múltiplo de 3 o de 4.
Hay 6 múltiplos de 3, 5 múltiplos de 4 y 1 múltiplo de 12 que está en ambos grupos. Así, P=(6+5−1)/20=10/20=1/2. Olvidar restar la intersección, el múltiplo de 12, da 11/20. Para sucesos que no son mutuamente excluyentes, la regla de la suma siempre resta P(A∩B).
A acierta en el blanco con probabilidad 2/3 y B con probabilidad 3/5. Cada uno dispara una vez. Halle la probabilidad de que ambos acierten, suponiendo que sus resultados son independientes.
En ensayos independientes, las probabilidades se multiplican: P=(2/3)×(3/5)=6/15=2/5. El valor 13/15 es la probabilidad de que acierte al menos uno, y 2/15 la de que fallen ambos, así que identifique con cuidado el suceso que se pregunta.
Se lanza un dado 4 veces. Halle la probabilidad de que salga un 1 exactamente dos veces.
La fórmula de los ensayos repetidos da ₄C₂(1/6)²(5/6)²=6×(1/36)×(25/36)=25/216. Olvidar el factor ₄C₂ da 25/1296, que es el error más frecuente, y olvidar (5/6)² da 1/6. No olvide nunca ₄C₂, la elección de cuáles 2 lanzamientos muestran el 1.
Se lanza una moneda 5 veces. Halle la probabilidad de que salga cara exactamente 3 veces.
₅C₃(1/2)³(1/2)²=10×(1/2)⁵=10/32=5/16. Olvidar el factor ₅C₃=10 da 1/32. Aunque cara y cruz sean igual de probables, sigue siendo necesaria la elección ₅C₃ de cuáles lanzamientos salen cara.
De 10 papeletas de sorteo, de las cuales 3 son premiadas, la persona A y después la persona B sacan una papeleta cada una sin reposición. Sabiendo que A ganó, halle la probabilidad condicionada de que B también gane.
Una vez que A ha ganado, quedan 9 papeletas, de las cuales 2 son premiadas, así que la probabilidad condicionada es 2/9. El valor 3/10 es la probabilidad no condicionada de que gane B, que también es 3/10 para quien saca en segundo lugar por la equidad del sorteo, y 1/15=(3/10)×(2/9) es la probabilidad de que ganen ambos, que se confunde fácilmente con la probabilidad condicionada.
Se lanzan dos dados, uno grande y uno pequeño, y la suma resulta ser al menos 10. Halle la probabilidad condicionada de que al menos uno de ellos muestre un 6.
Una suma de al menos 10 se da de 6 formas: (4,6)(5,5)(6,4)(5,6)(6,5)(6,6). De ellas, 5 contienen un 6, todas salvo (5,5). Al reducir el denominador a los 6 resultados con suma de al menos 10 se obtiene 5/6. El valor 5/36 mantiene el denominador en 36 y es la probabilidad conjunta; en una probabilidad condicionada, el denominador pasa a ser el conjunto de la condición.
Entre 10 papeletas de sorteo, 2 dan un premio de 100 yenes y 3 dan 50 yenes, mientras que las 5 restantes no dan nada. Halle el premio esperado al sacar una papeleta.
E=100×(2/10)+50×(3/10)+0×(5/10)=20+15+0=35 yenes. El valor 50 es la media simple (100+50+0)/3 de los tres importes de premio, que ignora la ponderación por probabilidades. Un valor esperado es siempre la suma de valor por probabilidad.
Se lanza un dado 3 veces. Halle la probabilidad de que salga un 6 al menos una vez.
El suceso complementario, que no salga ningún 6 en los 3 lanzamientos, tiene probabilidad (5/6)³=125/216, así que P=1−125/216=91/216. El valor 125/216 indica el propio complementario. El valor 25/72=75/216 es la probabilidad de exactamente un 6, ₃C₁(1/6)(5/6)², así que fíjese en la diferencia con «al menos una vez». El valor 1/2 sale de sumar a la ligera 1/6 tres veces.
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* Este contenido sirve para repasar lo estudiado en la preparatoria. Si la notación o el tratamiento difieren de su libro de texto o de lo que se enseña en su escuela, siga su libro de texto y las explicaciones de su profesor.
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