ہائی اسکول · ہائی اسکول ریاضی: باقاعدہ ٹیسٹ لیب
سوالات اور وضاحتیں اردو میں پڑھی جا سکتی ہیں۔ لیکچرز (وضاحتی مضامین) صرف جاپانی ورژن میں دستیاب ہیں۔
جاپانی ورژن (لیکچرز کے ساتھ) دیکھیں →
60° کو ریڈین پیمائش میں ظاہر کیا جائے تو کیا بنتا ہے؟
درجوں کو ریڈین میں بدلنے کے لیے π/180 سے ضرب دیں: 60×π/180 = π/3۔ قیمت π/6 دراصل 30° ہے، π/4 دراصل 45° ہے اور 2π/3 دراصل 120° ہے۔ 180°=π کو بنیاد مان کر یہ دیکھنا زیادہ تیز ہے کہ 60° دراصل 180° کا ایک تہائی ہے، اس لیے π/3۔
5π/6 ریڈین کو درجوں میں ظاہر کیا جائے تو کیا بنتا ہے؟
ریڈین کو درجوں میں بدلنے کے لیے 180/π سے ضرب دیں: (5π/6)×(180/π) = 5×30 = 150°۔ آپ اسے π/6=30° کا پانچ گنا بھی سمجھ سکتے ہیں۔ قیمت 210° اسے 7π/6 سے گڈمڈ کر دیتی ہے، اور 30° صرف π/6 ہے۔
رداس 6 اور مرکزی زاویہ π/3 والے قطاع کی قوس کی لمبائی کیا ہے؟
ریڈین پیمائش میں قوس کی لمبائی l = rθ = 6×π/3 = 2π ہے۔ آپشن 6π اس کے بجائے رقبہ (1/2)r²θ نکالتا ہے، اور 12π نصف کے جزو ضربی کے بغیر r²θ ہے۔ قوس کی لمبائی اور رقبے کے فارمولوں کو آپس میں نہ ملائیں۔
رداس 6 اور مرکزی زاویہ π/3 والے قطاع کا رقبہ کیا ہے؟
S = (1/2)r²θ = (1/2)×36×(π/3) = 6π۔ آپشن 12π میں نصف کا جزو ضربی بھول گئے ہیں، اور 2π اسے قوس کی لمبائی rθ سے گڈمڈ کر دیتا ہے۔ قوس کی لمبائی استعمال کرنے والی شکل S=(1/2)rl سے بھی (1/2)×6×2π=6π ملتا ہے۔
sin(7π/6) کی قیمت کیا ہے؟
چونکہ 7π/6 = π+π/6 ہے، اختتامی ضلع تیسرے ربع میں ہے، جہاں sin، یعنی y-محدد، منفی ہوتا ہے۔ اس کی مقدار sin(π/6)=1/2 ہے، اس لیے قیمت −1/2 ہے۔ آپشن −√3/2 اسے کوسائن والی طرف سے گڈمڈ کر دیتا ہے، اور 1/2 میں علامت چھوٹ گئی ہے۔
tan(4π/3) کی قیمت کیا ہے؟
چونکہ 4π/3 = π+π/3 ہے، یہ تیسرے ربع میں ہے، جہاں tan مثبت ہوتا ہے کیونکہ sin اور cos دونوں منفی ہیں اور ان کی نسبت مثبت ہے۔ لہٰذا قیمت tan(π/3) = √3 ہے۔ آپشن −√3 میں علامت غلط ہے، اور 1/√3 اسے tan(π/6) سے گڈمڈ کر دیتا ہے۔
تفاعل y = sin 2θ کا دور کیا ہے؟
y=sin kθ کا دور 2π/k ہوتا ہے۔ k=2 کے ساتھ یہ 2π/2 = π ہے۔ گردش دُگنی تیز ہے، اس لیے لہر سکڑ کر اپنی آدھی لمبائی کی رہ جاتی ہے۔ قیمت 2π خود sinθ کا دور ہے، اور 4π حساب 2π کو k سے ضرب دینے سے آتا ہے۔
تفاعل y = cos(θ/2) کا دور کیا ہے؟
دور 2π/k ہے جس میں k=1/2، اس لیے یہ 2π÷(1/2) = 4π ہے۔ گردش آدھی رفتار سے ہے، اس لیے لہر پھیل کر دُگنی لمبی ہو جاتی ہے۔ قیمت π اس کے بجائے 2π کو 1/2 سے ضرب دینے سے آتی ہے۔
اگر θ دوسرے ربع کا زاویہ ہو اور sinθ = 3/5 ہو تو cosθ کی قیمت کیا ہے؟
sin²θ+cos²θ=1 سے cos²θ = 1−9/25 = 16/25 ملتا ہے، اس لیے cosθ = ±4/5۔ دوسرے ربع میں cos منفی ہوتا ہے، اس لیے cosθ = −4/5۔ آپشن 4/5 میں ربع کی علامت چھوٹ گئی ہے، اور −3/4 اسے tan سے گڈمڈ کر دیتا ہے۔
اگر θ تیسرے ربع کا زاویہ ہو اور tanθ = 2 ہو تو sinθcosθ کی قیمت کیا ہے؟
sinθcosθ = sinθcosθ/(sin²θ+cos²θ) = tanθ/(1+tan²θ) = 2/(1+4) = 2/5۔ تیسرے ربع میں sin اور cos دونوں منفی ہوتے ہیں، اس لیے ان کا حاصل ضرب مثبت ہے، جو علامت سے مطابقت رکھتا ہے۔ آپشن −2/5 ربع کی وجہ سے میکانکی طور پر اسے منفی کر دیتا ہے۔
جمع کے فارمولے سے حاصل ہونے والی sin75° کی قیمت کیا ہے؟
sin75° = sin(45°+30°) = sin45°cos30°+cos45°sin30° = (√2/2)(√3/2)+(√2/2)(1/2) = (√6+√2)/4۔ آپشن (√6−√2)/4 دراصل sin15° ہے، جو cos75° کے برابر ہے، اور یہ جمع کے فارمولے میں منفی علامت استعمال کرنے سے آتا ہے۔
جمع کے فارمولے سے حاصل ہونے والی cos105° کی قیمت کیا ہے؟
cos105° = cos(60°+45°) = cos60°cos45°−sin60°sin45° = (√2/4)−(√6/4) = (√2−√6)/4، جو ایک منفی قیمت ہے۔ cos کے لیے جمع کا فارمولا 'cos cos منفی sin sin' ہے۔ آپشن (√6−√2)/4 علامت الٹ دیتا ہے، اور آپ یہ دیکھ کر جواب جانچ سکتے ہیں کہ 105° منفرجہ زاویہ ہے، اس لیے اس کا کوسائن منفی ہونا چاہیے۔
اگر tanα = 2 اور tanβ = 3 ہوں تو tan(α+β) کی قیمت کیا ہے؟
tan(α+β) = (tanα+tanβ)/(1−tanαtanβ) = (2+3)/(1−6) = 5/(−5) = −1۔ آپشن 5/7 میں نسب نما کو 1+tanαtanβ لکھنے کی علامت کی غلطی ہے۔ نسب نما میں حاصل ضرب کو 1 سے منفی کیا جاتا ہے۔
اگر sinα = 3/5 اور cosα = 4/5 ہوں تو sin2α کی قیمت کیا ہے؟
دُگنے زاویے کے فارمولے سے sin2α = 2sinαcosα = 2×(3/5)×(4/5) = 24/25 ملتا ہے۔ آپشن 12/25 جزو ضربی 2 بھول جانے کی روایتی غلطی ہے، اور 7/25 دراصل cos2α = cos²α−sin²α کی قیمت ہے۔
اگر sinα = 1/3 ہو تو cos2α کی قیمت کیا ہے؟
cos2α = 1−2sin²α = 1−2×(1/9) = 7/9۔ جب صرف sin معلوم ہو تو شکل 1−2sin²α منتخب کریں۔ آپشن −7/9 علامت کو 2sin²α−1 کی طرح الٹ دیتا ہے، اور 8/9 جزو ضربی 2 بھول کر 1−1/9 نکالتا ہے۔
نصف زاویے کے فارمولے سے حاصل ہونے والی sin²(π/8) کی قیمت کیا ہے؟
sin²(α/2) = (1−cosα)/2 میں α=π/4 رکھیں: sin²(π/8) = (1−cos(π/4))/2 = (1−√2/2)/2 = (2−√2)/4۔ آپشن (2+√2)/4 دراصل cos²(π/8) ہے اور یہ اس الجھن سے آتا ہے کہ sin² اور cos² میں سے کون 1−cos والی شکل لیتا ہے؛ وہ sin² ہے۔
sinθ + √3cosθ کو ایک واحد سائن رکن کی صورت میں یکجا کرنے کا نتیجہ کیا ہے؟
√(1²+(√3)²) = √4 = 2، اور نقطہ (1,√3) کا زاویۂ دلیل (argument) π/3 ہے، اس لیے نتیجہ 2sin(θ+π/3) ہے۔ θ=0 رکھنے سے بائیں طرف √3 اور دائیں طرف 2sin(π/3)=√3 ملتا ہے، جو برابر ہیں۔ آپشن 2sin(θ+π/6) نقطے کو (√3,1) سے گڈمڈ کر دیتا ہے، اور 4sin(…) میں a²+b²=4 کا جذرِ مربع لینا بھول گئے ہیں۔
sinθ − cosθ کو ایک واحد سائن رکن کی صورت میں یکجا کرنے کا نتیجہ کیا ہے؟
یہاں a=1 اور b=−1 ہیں، اس لیے √(1+1)=√2 اور نقطہ (1,−1) کا زاویۂ دلیل −π/4 ہے، جس سے √2 sin(θ−π/4) ملتا ہے۔ آپشن √2 sin(θ+π/4) دراصل sinθ+cosθ کو یکجا کرنے کا نتیجہ ہے اور b کی علامت نظر انداز کرنے سے پیدا ہوتا ہے۔ θ=0 پر جانچنے سے بائیں طرف −1 اور دائیں طرف √2 sin(−π/4)=−1 ملتا ہے۔
تفاعل y = 3sinθ + 4cosθ کی اعظم قیمت کیا ہے، جہاں θ کوئی بھی زاویہ ہے؟
یکجا کرنے سے y = √(3²+4²) sin(θ+α) = 5sin(θ+α) ملتا ہے۔ چونکہ sin کی اعظم قیمت 1 ہے، اعظم قیمت 5 ہے۔ آپشن 7 عددی سروں کو 3+4 کی طرح جمع کر دیتا ہے، اور 25 میں a²+b² کا جذرِ مربع لینا بھول گئے ہیں۔
اگر α اور β حادہ زاویے ہوں اور sinα = 4/5 اور cosβ = 5/13 ہو تو cos(α+β) کی قیمت کیا ہے؟
چونکہ زاویے حادہ ہیں، cosα = 3/5 اور sinβ = 12/13۔ پھر cos(α+β) = cosαcosβ−sinαsinβ = 15/65−48/65 = −33/65۔ آپشن 63/65 جمع کی علامت استعمال کرتا ہے، اور 56/65 دراصل sin(α+β) کی قیمت ہے۔ نتیجہ منفی ہے کیونکہ α+β منفرجہ زاویہ نکلتا ہے۔
0≦θ<2π کے لیے مساوات sinθ = 1/2 کا حل کیا ہے؟
اکائی دائرے پر y-محدد پہلے ربع کے ایک زاویے اور دوسرے ربع کے ایک زاویے پر 1/2 کے برابر ہوتا ہے، یعنی θ = π/6 اور π−π/6 = 5π/6۔ قیمتیں π/3, 2π/3 دراصل sinθ=√3/2 کی ہیں، اور 7π/6 وہ نقطہ ہے جہاں y=−1/2 ہے۔
0≦θ<2π کے لیے مساوات cosθ = −1/2 کا حل کیا ہے؟
اکائی دائرے پر x-محدد دوسرے اور تیسرے ربع میں −1/2 کے برابر ہوتا ہے، یعنی θ = π−π/3 = 2π/3 اور π+π/3 = 4π/3 پر۔ قیمتیں π/3, 5π/3 علامت چھوڑ کر cosθ=+1/2 کو حل کرتی ہیں، اور 5π/6, 7π/6 مساوات cosθ=−√3/2 کو حل کرتی ہیں۔
0≦θ<2π کے لیے مساوات tanθ = 1 کا حل کیا ہے؟
چونکہ tan ایک ڈھلوان ہے، ڈھلوان 1 والا خط اکائی دائرے کو مبدا کے لحاظ سے متشاکل دو نقاط پر ملتا ہے: θ = π/4 اور π/4+π = 5π/4۔ ٹینجنٹ کی مساوات کے حل ایک دوسرے سے π کے فاصلے پر ہوتے ہیں۔ قیمتیں 3π/4 اور 7π/4 مساوات tanθ=−1 کو حل کرتی ہیں۔
0≦θ<2π کے لیے نامساوات sinθ > 1/2 کا حل کیا ہے؟
سرحدیں sinθ=1/2 کے حل، یعنی π/6 اور 5π/6 ہیں۔ ان دونوں حلوں کے درمیان اوپر والی قوس پر y-محدد 1/2 سے بڑا ہوتا ہے، اس لیے جواب π/6 < θ < 5π/6 ہے۔ برابری نہ ہونے کی وجہ سے سرے شامل نہیں۔ اسے اکائی دائرے پر افقی خط y=1/2 سے اوپر والے حصے کے طور پر پڑھیں۔
0≦θ<2π کے لیے نامساوات cosθ ≦ 1/2 کا حل کیا ہے؟
سرحدیں cosθ=1/2 کے حل، یعنی π/3 اور 5π/3 ہیں۔ عمودی خط x=1/2 کے بائیں طرف والی قوس پر x-محدد زیادہ سے زیادہ 1/2 ہوتا ہے، اس لیے جواب π/3 ≦ θ ≦ 5π/3 ہے۔ چونکہ برابری کی اجازت ہے، دونوں سرے شامل ہیں۔ دھیان رہے کہ یہ حد ایک ہی قوس ہے جو π کے دونوں طرف پھیلی ہوئی ہے۔
0≦θ<2π کے لیے مساوات 2sin²θ − sinθ − 1 = 0 کا حل کیا ہے؟
sinθ=t رکھنے سے 2t²−t−1 = (2t+1)(t−1) = 0 ملتا ہے، اس لیے t = 1 یا −1/2۔ sinθ=1 سے θ=π/2 ملتا ہے، اور sinθ=−1/2 سے θ=7π/6 اور 11π/6 ملتے ہیں۔ تینوں کو لکھیں۔ صرف π/2 جواب دینے سے t=−1/2 والی شاخ چھوٹ جاتی ہے۔
0≦θ<2π کے لیے y = sin²θ + sinθ کی اقل قیمت کیا ہے؟
t=sinθ رکھیں، جہاں −1≦t≦1، تو y = t²+t = (t+1/2)²−1/4 ملتا ہے۔ راس t=−1/2 حد کے اندر ہے، اس لیے اقل قیمت −1/4 ہے۔ قیمت 0، t=−1 (حد کے سرے) اور t=0 پر آتی ہے، اور 2 دراصل t=1 پر اعظم قیمت ہے۔ بدل کر رکھنے کے بعد اہم قدم یہ جانچنا ہے کہ راس حد کے اندر ہے یا نہیں۔
تفاعل y = 2sinθ + 1 کی اعظم اور اقل قیمتیں کیا ہیں، جہاں θ کوئی بھی زاویہ ہے؟
چونکہ −1 ≦ sinθ ≦ 1 ہے، رکن 2sinθ کی قیمت −2 سے 2 تک جاتی ہے، اور 1 جمع کرنے سے −1 ≦ y ≦ 3 ملتا ہے۔ لہٰذا اعظم قیمت 3 اور اقل قیمت −1 ہے۔ جوڑا 'اعظم قیمت 2، اقل قیمت −2' میں +1 کا کھسکاؤ بھول گئے ہیں۔
0≦θ<2π کے لیے مساوات sinθ + cosθ = 1 کا حل کیا ہے؟
یکجا کرنے سے √2 sin(θ+π/4) = 1 ملتا ہے، اس لیے sin(θ+π/4) = 1/√2۔ حد π/4 ≦ θ+π/4 < 9π/4 میں θ+π/4 = π/4 یا 3π/4 ملتا ہے، یعنی θ = 0 یا π/2۔ جانچ: θ=0 سے 0+1=1 اور θ=π/2 سے 1+0=1 ملتا ہے۔
0≦θ≦π/2 کے لیے y = sinθ + √3cosθ کی اعظم اور اقل قیمتیں کیا ہیں؟
یکجا کرنے سے y = 2sin(θ+π/3) ملتا ہے۔ جب θ+π/3 کی قیمت π/3 سے 5π/6 تک جاتی ہے تو سائن θ+π/3=π/2 پر اپنی سب سے بڑی قیمت 1 تک اور θ+π/3=5π/6 پر اپنی سب سے چھوٹی قیمت 1/2 تک پہنچتا ہے، اس لیے اعظم قیمت 2 اور اقل قیمت 1 ہے۔ اقل قیمت −2 محدود حد کو نظر انداز کرتی ہے، اور اقل قیمت √3 سرے θ=0 والی قیمت 2sin(π/3)=√3 پر چلی جاتی ہے، حالانکہ θ=π/2 والے سرے پر قیمت 1 اس سے چھوٹی ہے۔
یہ بے ترتیب سوالات والا مشق کا ٹول ہے (JavaScript فعال ہونے پر کام کرتا ہے)۔ اوپر دیے گئے تمام سوالات اور وضاحتیں اس کے بغیر بھی پڑھی جا سکتی ہیں۔
* یہ ہائی اسکول کے تعلیمی مواد کی دہرائی کے لیے ہے۔ اگر علامات یا طریقۂ کار آپ کی درسی کتاب یا آپ کے اسکول کی تدریس سے مختلف ہو تو اپنی درسی کتاب اور اپنے استاد کی وضاحت پر عمل کریں۔
یہ صفحہ جاپانی اصل متن کا ترجمہ ہے۔ اگر ترجمے اور اصل متن میں فرق ہو تو جاپانی ورژن کو ترجیح دی جائے گی۔ یہ ترجمہ AI کی مدد سے کیا گیا ہے اور اس میں غلطیاں ہو سکتی ہیں۔ ترجمے کی غلطی کی اطلاع دیں جاپانی اصل متن دیکھیں