三角函數（數學Ⅱ，日本高中的第二階段數學）

度換弧度要乘 (π/180)，60×π/180 = π/3。π/6 是 30°、π/4 是 45°、2π/3 是 120°。以 180°=π 為基準，想成「60° 是 180° 的 1/3，所以是 π/3」會更快。

弧度換度要乘 (180/π)，(5π/6)×(180/π) = 5×30 = 150°。也可以想成 π/6=30° 的 5 倍。210° 是與 7π/6 混淆；30° 則只是 π/6 的值。

在弧度制下弧長 l = rθ = 6×π/3 = 2π。6π 是算成面積 (1/2)r²θ；12π 則是 r²θ、忘了 1/2 的值。別把弧長與面積的公式弄混。

S = (1/2)r²θ = (1/2)×36×(π/3) = 6π。12π 是忘了 1/2；2π 則是與弧長 rθ 混淆。用 S=(1/2)rl（以弧長表示的形式）也可以確認：(1/2)×6×2π=6π。

7π/6 = π+π/6，動徑落在第三象限，sin（也就是 y 坐標）為負。大小是 sin(π/6)=1/2，所以答案是 −1/2。−√3/2 是與 cos 那邊的值混淆；1/2 則是漏掉了符號判斷。

4π/3 = π+π/3，落在第三象限。tan 在第三象限為正（sin 與 cos 都是負，比值為正），所以等於 tan(π/3) = √3。−√3 是符號判斷錯誤；1/√3 則是與 tan(π/6) 混淆。

y=sin kθ 的週期是 2π/k。k=2，所以是 2π/2 = π。轉動快了 2 倍，波形就縮成一半。2π 是 sinθ 原本的週期；4π 則是誤乘成 2π×k。

週期是 2π/k，k=1/2，所以 2π÷(1/2) = 4π。轉動慢了一半，波形就拉長成 2 倍。π 是誤乘成 2π×(1/2)。

由 sin²θ+cos²θ=1 得 cos²θ = 1−9/25 = 16/25，cosθ = ±4/5。在第二象限 cos 為負，所以是 −4/5。4/5 是漏掉了依象限判斷符號；−3/4 則是與 tan 混淆。

sinθcosθ = sinθcosθ/(sin²θ+cos²θ) = tanθ/(1+tan²θ) = 2/(1+4) = 2/5。在第三象限 sin 與 cos 都是負的，乘積為正，符號也相符。−2/5 是看到第三象限就機械地判為負的錯誤。

sin75° = sin(45°+30°) = sin45°cos30°+cos45°sin30° = (√2/2)(√3/2)+(√2/2)(1/2) = (√6+√2)/4。(√6−√2)/4 是 sin15°（也就是 cos75°），來自把和角公式的符號寫成減號的錯誤。

cos105° = cos(60°+45°) = cos60°cos45°−sin60°sin45° = (√2/4)−(√6/4) = (√2−√6)/4（是負值）。cos 的和角公式是 cos cos 減 sin sin。(√6−√2)/4 是把符號弄反的錯誤；由於 105° 是鈍角，cos 應該是負的，可據此驗算。

tan(α+β) = (tanα+tanβ)/(1−tanαtanβ) = (2+3)/(1−6) = 5/(−5) = −1。5/7 是把分母寫成 1+tanαtanβ 的符號錯誤。分母是 1 減去乘積。

由二倍角公式 sin2α = 2sinαcosα = 2×(3/5)×(4/5) = 24/25。12/25 是忘了係數 2 的常見錯誤；7/25 則是 cos2α = cos²α−sin²α 的值。

cos2α = 1−2sin²α = 1−2×(1/9) = 7/9。只知道 sin 時，選用 1−2sin²α 這個形式是訣竅。−7/9 是寫成 2sin²α−1、符號弄反；8/9 則是漏乘 2、算成 1−1/9。

把 α=π/4 代入 sin²(α/2) = (1−cosα)/2，得 sin²(π/8) = (1−cos(π/4))/2 = (1−√2/2)/2 = (2−√2)/4。(2+√2)/4 是 cos²(π/8) 的值，來自弄錯 sin² 與 cos² 的符號對應（sin² 對應的是 1−cos 那一邊）。

√(1²+(√3)²) = √4 = 2，而點 (1,√3) 的輻角是 π/3，所以是 2sin(θ+π/3)。代入 θ=0，左邊為 √3，右邊為 2sin(π/3)=√3，兩者一致。2sin(θ+π/6) 是把點誤看成 (√3,1)；4sin(…) 則是忘了對 a²+b²=4 開根號。

a=1, b=−1，所以 √(1+1)=√2，而點 (1,−1) 的輻角是 −π/4，得 √2 sin(θ−π/4)。√2 sin(θ+π/4) 是 sinθ+cosθ 的疊合結果，來自漏看 b 的符號。用 θ=0 驗算：左邊 −1，右邊 √2 sin(−π/4)=−1。

疊合後 y = √(3²+4²) sin(θ+α) = 5sin(θ+α)。sin 的最大值是 1，所以最大值是 5。7 是把係數相加成 3+4；25 則是忘了對 a²+b² 開根號。

因為是銳角，所以 cosα = 3/5, sinβ = 12/13。cos(α+β) = cosαcosβ−sinαsinβ = 15/65−48/65 = −33/65。63/65 是把符號取成 +；56/65 則是 sin(α+β) 的值。結果為負，是因為 α+β 已經是鈍角。

在單位圓上 y 坐標為 1/2 的角，在第一與第二象限各有一個，即 θ = π/6 與 π−π/6 = 5π/6。π/3, 2π/3 是與 sinθ=√3/2 的解混淆；7π/6 則是 y=−1/2 的點。

在單位圓上 x 坐標為 −1/2 的角落在第二與第三象限，即 θ = π−π/3 = 2π/3 與 π+π/3 = 4π/3。π/3, 5π/3 是 cosθ=+1/2 的解（漏看符號）；5π/6, 7π/6 則是 cosθ=−√3/2 的解。

tan 代表斜率，斜率為 1 的直線與單位圓的交點有兩個且對原點對稱，即 θ = π/4 與 π/4+π = 5π/4。tan 的解彼此相差 π。3π/4 與 7π/4 是 tanθ=−1 的解。

分界是 sinθ=1/2 的解 π/6, 5π/6。y 坐標超過 1/2 的部分是兩解之間上方的弧，所以是 π/6 < θ < 5π/6。沒有等號，所以不含端點。在單位圓上讀出水平線 y=1/2 以上的部分即可。

分界是 cosθ=1/2 的解 π/3, 5π/3。x 坐標在 1/2 以下的部分是鉛直線 x=1/2 左側的弧，所以是 π/3 ≦ θ ≦ 5π/3。有等號，所以兩端都包含。要注意這個範圍跨過 π 且是連成一段的。

令 sinθ=t，則 2t²−t−1 = (2t+1)(t−1) = 0，得 t = 1, −1/2。由 sinθ=1 得 θ=π/2；由 sinθ=−1/2 得 θ=7π/6, 11π/6。三個都要列出。只答 π/2 是漏掉了 t=−1/2 那一邊。

令 t=sinθ（−1≦t≦1），則 y = t²+t = (t+1/2)²−1/4。頂點 t=−1/2 落在範圍內，所以最小值是 −1/4。0 是端點 t=−1, 0 處的值；2 是 t=1 時的最大值。代換之後確認頂點是否在範圍內，正是關鍵。

因為 −1 ≦ sinθ ≦ 1，所以 2sinθ 介於 −2 到 2 之間，再加 1 得 −1 ≦ y ≦ 3，最大 3、最小 −1。最大 2、最小 −2 是忘了 +1 這個平移。

疊合得 √2 sin(θ+π/4) = 1，即 sin(θ+π/4) = 1/√2。在 π/4 ≦ θ+π/4 < 9π/4 的範圍內，θ+π/4 = π/4, 3π/4，也就是 θ = 0, π/2。實際驗算：θ=0 時 0+1=1，θ=π/2 時 1+0=1。

疊合得 y = 2sin(θ+π/3)。θ+π/3 從 π/3 變動到 5π/6，sin 在此範圍內最大為 1（θ+π/3=π/2）、最小為 1/2（θ+π/3=5π/6），所以最大 2、最小 1。最小 −2 是忽略了範圍限制；最小 √3 則是把 θ=0 端點的值 2sin(π/3)=√3 誤當成最小（θ=π/2 那一側的 1 更小）。