Fonctions trigonométriques (mathématiques II, programme japonais)

Pour passer des degrés aux radians, on multiplie par π/180 : 60×π/180 = π/3. La valeur π/6 correspond à 30°, π/4 à 45° et 2π/3 à 120°. En partant de 180°=π, on va plus vite : 60° est le tiers de 180°, donc π/3.

Pour passer des radians aux degrés, on multiplie par 180/π : (5π/6)×(180/π) = 5×30 = 150°. On peut aussi voir 5 fois π/6=30°. La réponse 210° vient d'une confusion avec 7π/6, et 30° n'est que la valeur de π/6.

En radians, la longueur de l'arc vaut l = rθ = 6×π/3 = 2π. La réponse 6π correspond au calcul de l'aire (1/2)r²θ, et 12π à r²θ sans le facteur 1/2. Il ne faut pas confondre les formules de la longueur d'arc et de l'aire.

S = (1/2)r²θ = (1/2)×36×(π/3) = 6π. La réponse 12π vient de l'oubli du facteur 1/2, et 2π d'une confusion avec la longueur d'arc rθ. La forme S=(1/2)rl, qui utilise la longueur d'arc, confirme : (1/2)×6×2π=6π.

Comme 7π/6 = π+π/6, le rayon vecteur est dans le troisième quadrant et le sinus, qui est l'ordonnée, y est négatif. Sa valeur absolue est sin(π/6)=1/2, d'où −1/2. La réponse −√3/2 vient d'une confusion avec la valeur du cosinus, et 1/2 de l'oubli du signe.

Comme 4π/3 = π+π/3, on est dans le troisième quadrant, où la tangente est positive puisque sinus et cosinus y sont tous deux négatifs et que leur rapport est positif : tan(4π/3) = tan(π/3) = √3. La réponse −√3 vient d'une erreur de signe et 1/√3 d'une confusion avec tan(π/6).

La période de y=sin kθ vaut 2π/k. Avec k=2, elle vaut 2π/2 = π. Le mouvement étant deux fois plus rapide, l'onde est deux fois plus courte. La valeur 2π est la période de sinθ, et 4π vient d'avoir multiplié 2π par k.

La période vaut 2π/k avec k=1/2, soit 2π÷(1/2) = 4π. Le mouvement étant deux fois plus lent, l'onde est deux fois plus longue. La valeur π vient d'avoir multiplié 2π par 1/2.

De sin²θ+cos²θ=1 on tire cos²θ = 1−9/25 = 16/25, donc cosθ = ±4/5. Dans le deuxième quadrant le cosinus est négatif : cosθ=−4/5. La réponse 4/5 vient de l'oubli du signe lié au quadrant, et −3/4 d'une confusion avec la tangente.

sinθcosθ = sinθcosθ/(sin²θ+cos²θ) = tanθ/(1+tan²θ) = 2/(1+4) = 2/5. Dans le troisième quadrant, sinus et cosinus sont tous deux négatifs, donc leur produit est positif, ce qui confirme le signe. La réponse −2/5 vient d'avoir conclu mécaniquement au signe négatif à partir du quadrant.

sin75° = sin(45°+30°) = sin45°cos30°+cos45°sin30° = (√2/2)(√3/2)+(√2/2)(1/2) = (√6+√2)/4. La réponse (√6−√2)/4 est la valeur de sin15°, égale à cos75°, obtenue en mettant une soustraction dans la formule d'addition.

cos105° = cos(60°+45°) = cos60°cos45°−sin60°sin45° = (√2/4)−(√6/4) = (√2−√6)/4, valeur négative. La formule d'addition du cosinus s'énonce cosinus fois cosinus moins sinus fois sinus. La réponse (√6−√2)/4 inverse le signe ; on peut vérifier que 105° étant obtus, le cosinus doit être négatif.

tan(α+β) = (tanα+tanβ)/(1−tanαtanβ) = (2+3)/(1−6) = 5/(−5) = −1. La réponse 5/7 provient d'une erreur de signe au dénominateur, écrit 1+tanαtanβ. Au dénominateur, on retranche le produit à 1.

La formule de duplication donne sin2α = 2sinαcosα = 2×(3/5)×(4/5) = 24/25. La réponse 12/25 correspond à l'oubli classique du facteur 2, et 7/25 est la valeur de cos2α = cos²α−sin²α.

cos2α = 1−2sin²α = 1−2×(1/9) = 7/9. Lorsque seul le sinus est connu, il faut choisir la forme 1−2sin²α. La réponse −7/9 vient d'avoir écrit 2sin²α−1, et 8/9 d'avoir oublié le facteur 2 en calculant 1−1/9.

En reportant α=π/4 dans sin²(α/2) = (1−cosα)/2, on obtient sin²(π/8) = (1−cos(π/4))/2 = (1−√2/2)/2 = (2−√2)/4. La réponse (2+√2)/4 est la valeur de cos²(π/8) : elle provient d'une confusion sur le signe, le sinus au carré correspondant à la forme avec 1−cos.

L'amplitude vaut √(1²+(√3)²) = √4 = 2, et le point (1,√3) a pour argument π/3, d'où 2sin(θ+π/3). En prenant θ=0, le premier membre vaut √3 et le second 2sin(π/3)=√3 : les deux coïncident. La réponse 2sin(θ+π/6) confond avec le point (√3,1), et 4sin(…) oublie de prendre la racine de a²+b²=4.

Avec a=1 et b=−1, l'amplitude vaut √(1+1)=√2 et le point (1,−1) a pour argument −π/4, d'où √2 sin(θ−π/4). La réponse √2 sin(θ+π/4) est la transformation de sinθ+cosθ et provient d'une lecture fautive du signe de b. En θ=0, le premier membre vaut −1 et √2 sin(−π/4)=−1 également.

La transformation donne y = √(3²+4²) sin(θ+α) = 5sin(θ+α). Le maximum du sinus valant 1, le maximum est 5. La réponse 7 vient d'avoir additionné les coefficients 3+4, et 25 de l'oubli de la racine de a²+b².

Ces angles étant aigus, cosα = 3/5 et sinβ = 12/13. Alors cos(α+β) = cosαcosβ−sinαsinβ = 15/65−48/65 = −33/65. La réponse 63/65 vient d'avoir mis un signe +, et 56/65 est la valeur de sin(α+β). Le résultat est négatif parce que α+β est un angle obtus.

Sur le cercle trigonométrique, deux angles ont pour ordonnée 1/2, un dans le premier quadrant et un dans le deuxième : θ = π/6 et π−π/6 = 5π/6. La réponse π/3, 2π/3 confond avec les solutions de sinθ=√3/2, et 7π/6 correspond au point d'ordonnée −1/2.

Sur le cercle trigonométrique, l'abscisse vaut −1/2 dans le deuxième et le troisième quadrant : θ = π−π/3 = 2π/3 et π+π/3 = 4π/3. La réponse π/3, 5π/3 correspond à cosθ=+1/2, c'est-à-dire à un oubli de signe, et 5π/6, 7π/6 aux solutions de cosθ=−√3/2.

La tangente s'interprète comme un coefficient directeur : la droite de pente 1 coupe le cercle trigonométrique en deux points symétriques par rapport à l'origine, d'où θ = π/4 et π/4+π = 5π/4. Les solutions d'une équation en tangente sont espacées de π. Les valeurs 3π/4 et 7π/4 sont les solutions de tanθ=−1.

Les bornes sont les solutions de sinθ=1/2, à savoir π/6 et 5π/6. L'ordonnée dépasse 1/2 sur l'arc supérieur situé entre ces deux solutions, d'où π/6 < θ < 5π/6. L'inégalité étant stricte, les bornes sont exclues. Sur le cercle trigonométrique, on lit la partie située au-dessus de la droite horizontale y=1/2.

Les bornes sont les solutions de cosθ=1/2, à savoir π/3 et 5π/3. L'abscisse est inférieure ou égale à 1/2 sur l'arc situé à gauche de la droite verticale x=1/2, d'où π/3 ≦ θ ≦ 5π/3. L'inégalité étant large, les deux bornes sont incluses. À noter : l'intervalle est d'un seul tenant et contient π.

En posant sinθ=t, on a 2t²−t−1 = (2t+1)(t−1) = 0, donc t = 1 et t = −1/2. De sinθ=1 on tire θ=π/2, et de sinθ=−1/2 on tire θ=7π/6 et 11π/6. Il faut donner les trois solutions. Répondre π/2 seulement revient à perdre le cas t=−1/2.

En posant t=sinθ, avec −1≦t≦1, on a y = t²+t = (t+1/2)²−1/4. Le sommet t=−1/2 appartient au domaine, donc le minimum vaut −1/4. La valeur 0 est prise aux points t=−1 et t=0, et 2 est le maximum, atteint en t=1. Après un changement de variable, l'essentiel est de vérifier si le sommet appartient au domaine.

Comme −1 ≦ sinθ ≦ 1, le terme 2sinθ varie de −2 à 2 ; en ajoutant 1, on obtient −1 ≦ y ≦ 3. Le maximum vaut 3 et le minimum −1. La réponse maximum 2 et minimum −2 correspond à l'oubli de la translation de +1.

La transformation donne √2 sin(θ+π/4) = 1, donc sin(θ+π/4) = 1/√2. Sur l'intervalle π/4 ≦ θ+π/4 < 9π/4, on obtient θ+π/4 = π/4 et 3π/4, c'est-à-dire θ = 0 et π/2. On vérifie : pour θ=0, 0+1=1, et pour θ=π/2, 1+0=1.

La transformation donne y = 2sin(θ+π/3). L'angle θ+π/3 varie de π/3 à 5π/6 ; sur cet intervalle le sinus vaut au plus 1, pour θ+π/3=π/2, et au moins 1/2, pour θ+π/3=5π/6. Le maximum vaut donc 2 et le minimum 1. Le minimum −2 vient d'avoir ignoré la restriction de l'intervalle, et le minimum √3 d'avoir pris trop vite la valeur en θ=0, 2sin(π/3)=√3, alors que la valeur 1 obtenue du côté θ=π/2 est plus petite.