삼각함수 (수학Ⅱ: 일본 고교 수학 II)

도에서 라디안으로는 ×(π/180) 이다. 60×π/180 = π/3 이다. π/6 은 30°, π/4 는 45°, 2π/3 은 120° 이다. 180°=π 를 기준으로 '60° 는 180° 의 1/3 이므로 π/3' 이라고 생각하면 빠르다.

라디안에서 도로는 ×(180/π) 이다. (5π/6)×(180/π) = 5×30 = 150° 이다. π/6=30° 의 5 배로 생각해도 좋다. 210° 는 7π/6 과 혼동한 실수, 30° 는 π/6 만의 값이다.

호도법에서는 호의 길이 l = rθ = 6×π/3 = 2π 이다. 6π 는 넓이 (1/2)r²θ 를 계산한 실수, 12π 는 r²θ 에서 1/2 을 잊은 값이다. 호의 길이와 넓이의 공식을 혼동하지 않는다.

S = (1/2)r²θ = (1/2)×36×(π/3) = 6π 이다. 12π 는 1/2 을 잊은 실수, 2π 는 호의 길이 rθ 와 혼동한 실수이다. S=(1/2)rl(호의 길이를 쓰는 꼴)로도 (1/2)×6×2π=6π 로 확인할 수 있다.

7π/6 = π+π/6 이므로 동경은 제3사분면에 있고 sin(y 좌표)은 음수이다. 크기는 sin(π/6)=1/2 이므로 −1/2 이다. −√3/2 는 cos 쪽 값과 혼동한 실수, 1/2 은 부호 판단을 빠뜨린 실수이다.

4π/3 = π+π/3 이므로 제3사분면이다. tan 은 제3사분면에서 양수이므로(sin, cos 이 모두 음수여서 비가 양수) tan(π/3) = √3 이다. −√3 은 부호 판단 실수, 1/√3 은 tan(π/6) 과 혼동한 실수이다.

y=sin kθ 의 주기는 2π/k 이다. k=2 이므로 2π/2 = π 이다. 2 배로 빠르게 돌므로 파동은 절반으로 줄어든다. 2π 는 sinθ 그대로의 주기, 4π 는 2π×k 로 곱해 버린 실수이다.

주기는 2π/k 이고 k=1/2 이므로 2π÷(1/2) = 4π 이다. 절반의 속도로 돌므로 파동은 2 배로 늘어난다. π 는 2π×(1/2) 로 곱해 버린 실수이다.

sin²θ+cos²θ=1 에서 cos²θ = 1−9/25 = 16/25 이므로 cosθ = ±4/5 이다. 제2사분면에서는 cos 이 음수이므로 −4/5 이다. 4/5 는 사분면에 따른 부호 판단을 빠뜨린 실수, −3/4 는 tan 과 혼동한 실수이다.

sinθcosθ = sinθcosθ/(sin²θ+cos²θ) = tanθ/(1+tan²θ) = 2/(1+4) = 2/5 이다. 제3사분면에서는 sin, cos 이 모두 음수이므로 곱은 양수가 되어 부호도 맞는다. −2/5 는 사분면만 보고 기계적으로 음수라고 한 실수이다.

sin75° = sin(45°+30°) = sin45°cos30°+cos45°sin30° = (√2/2)(√3/2)+(√2/2)(1/2) = (√6+√2)/4 이다. (√6−√2)/4 는 sin15°(cos75°)이며 덧셈정리의 부호를 뺄셈으로 한 실수이다.

cos105° = cos(60°+45°) = cos60°cos45°−sin60°sin45° = (√2/4)−(√6/4) = (√2−√6)/4 로 음수이다. cos 의 덧셈정리는 '코스코스−사인사인'이다. (√6−√2)/4 는 부호를 반대로 한 실수이며, 105° 는 둔각이므로 cos 은 음수여야 한다는 점으로 검산할 수 있다.

tan(α+β) = (tanα+tanβ)/(1−tanαtanβ) = (2+3)/(1−6) = 5/(−5) = −1 이다. 5/7 은 분모를 1+tanαtanβ 로 한 부호 실수이다. 분모는 '1 에서 곱을 뺀다'.

배각 공식 sin2α = 2sinαcosα = 2×(3/5)×(4/5) = 24/25 이다. 12/25 는 계수 2 를 잊은 흔한 실수, 7/25 는 cos2α = cos²α−sin²α 의 값이다.

cos2α = 1−2sin²α = 1−2×(1/9) = 7/9 이다. sin 만 알고 있을 때는 1−2sin²α 꼴을 고르는 것이 요령이다. −7/9 는 2sin²α−1 로 부호를 반대로 한 실수, 8/9 는 2 를 곱하지 않고 1−1/9 로 한 실수이다.

sin²(α/2) = (1−cosα)/2 에 α=π/4 를 대입한다. sin²(π/8) = (1−cos(π/4))/2 = (1−√2/2)/2 = (2−√2)/4 이다. (2+√2)/4 는 cos²(π/8) 의 값으로, sin² 과 cos² 의 부호 대응(sin² 이 1−cos 쪽)을 뒤바꾼 실수이다.

√(1²+(√3)²) = √4 = 2 이다. 점 (1,√3) 의 편각은 π/3 이므로 2sin(θ+π/3) 이다. θ=0 을 대입하면 좌변은 √3, 우변은 2sin(π/3)=√3 으로 일치한다. 2sin(θ+π/6) 은 점 (√3,1) 로 뒤바꾼 실수, 4sin(…) 은 a²+b²=4 의 제곱근을 잊은 실수이다.

a=1, b=−1 이므로 √(1+1)=√2 이고, 점 (1,−1) 의 편각은 −π/4 이다. 따라서 √2 sin(θ−π/4) 이다. √2 sin(θ+π/4) 는 sinθ+cosθ 의 합성이며 b 의 부호를 놓쳐서 생긴다. θ=0 에서 좌변은 −1, 우변은 √2 sin(−π/4)=−1 로 검산할 수 있다.

합성하면 y = √(3²+4²) sin(θ+α) = 5sin(θ+α) 이다. sin 의 최댓값은 1 이므로 최댓값은 5 이다. 7 은 3+4 처럼 계수를 더한 실수, 25 는 a²+b² 의 제곱근을 잊은 실수이다.

예각이므로 cosα = 3/5, sinβ = 12/13 이다. cos(α+β) = cosαcosβ−sinαsinβ = 15/65−48/65 = −33/65 이다. 63/65 는 부호를 + 로 한 실수, 56/65 는 sin(α+β) 의 값이다. 음수가 되는 것은 α+β 가 둔각이 되기 때문이다.

단위원에서 y 좌표가 1/2 이 되는 각은 제1사분면과 제2사분면에 하나씩 있으며, θ = π/6 과 π−π/6 = 5π/6 이다. π/3, 2π/3 은 sinθ=√3/2 의 해와 혼동한 실수, 7π/6 은 y=−1/2 인 점이다.

단위원에서 x 좌표가 −1/2 이 되는 것은 제2사분면과 제3사분면이며, θ = π−π/3 = 2π/3 과 π+π/3 = 4π/3 이다. π/3, 5π/3 은 cosθ=+1/2 의 해(부호를 놓친 것)이고, 5π/6, 7π/6 은 cosθ=−√3/2 의 해이다.

tan 은 기울기이므로 기울기 1 인 직선과 단위원의 교점은 원점 대칭으로 2 개이다. θ = π/4 와 π/4+π = 5π/4 이다. tan 의 해는 π 씩 떨어진다. 3π/4 나 7π/4 는 tanθ=−1 의 해이다.

경계는 sinθ=1/2 의 해인 π/6, 5π/6 이다. y 좌표가 1/2 을 넘는 것은 두 해 사이의 위쪽 호이므로 π/6 < θ < 5π/6 이다. 등호가 없으므로 끝점은 포함하지 않는다. 단위원에서 '수평선 y=1/2 보다 위'를 읽는다.

경계는 cosθ=1/2 의 해인 π/3, 5π/3 이다. x 좌표가 1/2 이하가 되는 것은 세로선 x=1/2 보다 왼쪽 호이므로 π/3 ≦ θ ≦ 5π/3 이다. 등호가 붙어 있으므로 양 끝을 포함한다. 범위가 π 를 사이에 두고 하나로 이어진다는 점에 주의한다.

sinθ=t 로 놓으면 2t²−t−1 = (2t+1)(t−1) = 0 에서 t = 1, −1/2 이다. sinθ=1 에서 θ=π/2, sinθ=−1/2 에서 θ=7π/6, 11π/6 이다. 세 개를 모두 든다. π/2 뿐이라고 하는 것은 t=−1/2 쪽을 빠뜨린 실수이다.

t=sinθ(−1≦t≦1)로 놓으면 y = t²+t = (t+1/2)²−1/4 이다. 꼭짓점 t=−1/2 은 범위 안에 있으므로 최솟값은 −1/4 이다. 0 은 끝 t=−1, 0 에서의 값이고, 2 는 t=1 에서의 최댓값이다. 꼭짓점이 범위 안인지 확인하는 것이 치환의 요점이다.

−1 ≦ sinθ ≦ 1 이므로 2sinθ 는 −2 에서 2 까지이고, 여기에 1 을 더하면 −1 ≦ y ≦ 3 이다. 최대는 3, 최소는 −1 이다. 최대 2, 최소 −2 는 +1 의 평행이동을 잊은 실수이다.

합성하면 √2 sin(θ+π/4) = 1 이므로 sin(θ+π/4) = 1/√2 이다. π/4 ≦ θ+π/4 < 9π/4 의 범위에서 θ+π/4 = π/4, 3π/4 이므로 θ = 0, π/2 이다. 실제로 θ=0 에서 0+1=1, θ=π/2 에서 1+0=1 로 검산할 수 있다.

합성하면 y = 2sin(θ+π/3) 이다. θ+π/3 은 π/3 에서 5π/6 까지 움직이고, sin 은 이 범위에서 최대 1(θ+π/3=π/2), 최소 1/2(θ+π/3=5π/6)이다. 따라서 최대는 2, 최소는 1 이다. 최소 −2 는 범위 제한을 무시한 실수이고, 최소 √3 은 θ=0 인 끝의 값 2sin(π/3)=√3 을 최소라고 성급히 판단한 실수이다(θ=π/2 쪽의 1 이 더 작다).