Funcții trigonometrice (matematică Ⅱ, programa japoneză)

Trecerea din grade în radiani se face înmulțind cu (π/180): 60×π/180 = π/3. Valoarea π/6 corespunde lui 30°, π/4 lui 45°, iar 2π/3 lui 120°. Se ajunge mai repede pornind de la 180°=π: 60° este a treia parte din 180°, deci π/3.

Trecerea din radiani în grade se face înmulțind cu (180/π): (5π/6)×(180/π) = 5×30 = 150°. Se poate raționa și ca de 5 ori π/6=30°. Valoarea 210° provine din confuzia cu 7π/6, iar 30° este doar valoarea lui π/6.

În radiani, lungimea arcului este l = rθ = 6×π/3 = 2π. Varianta 6π apare când se calculează aria, (1/2)r²θ, iar 12π este valoarea r²θ, fără factorul 1/2. Formulele pentru lungimea arcului și pentru arie nu trebuie confundate.

Avem S = (1/2)r²θ = (1/2)×36×(π/3) = 6π. Varianta 12π apare când se uită factorul 1/2, iar 2π din confuzia cu lungimea arcului, rθ. Se poate verifica și cu forma care folosește lungimea arcului, S=(1/2)rl: (1/2)×6×2π=6π.

Cum 7π/6 = π+π/6, raza vectoare se află în cadranul al treilea, unde sinusul, adică ordonata, este negativ. Mărimea este sin(π/6)=1/2, deci valoarea este −1/2. Varianta −√3/2 provine din confuzia cu valoarea corespunzătoare cosinusului, iar 1/2 din omiterea analizei semnului.

Cum 4π/3 = π+π/3, unghiul este în cadranul al treilea, unde tangenta este pozitivă, fiindcă sinusul și cosinusul sunt ambele negative, iar raportul lor este pozitiv. Deci valoarea este tan(π/3) = √3. Varianta −√3 provine dintr-o greșeală la semn, iar 1/√3 din confuzia cu tan(π/6).

Perioada funcției y=sin kθ este 2π/k, iar pentru k=2 avem 2π/2 = π. Rotația fiind de două ori mai rapidă, unda se comprimă la jumătate. Valoarea 2π este perioada lui sinθ, iar 4π provine din înmulțirea 2π×k.

Perioada este 2π/k, iar pentru k=1/2 avem 2π÷(1/2) = 4π. Rotația fiind de două ori mai lentă, unda se întinde de două ori. Valoarea π provine din înmulțirea 2π×(1/2).

Din sin²θ+cos²θ=1 rezultă cos²θ = 1−9/25 = 16/25, deci cosθ = ±4/5. În cadranul al doilea cosinusul este negativ, deci cosθ=−4/5. Varianta 4/5 apare când se omite analiza semnului după cadran, iar −3/4 din confuzia cu tangenta.

Avem sinθcosθ = sinθcosθ/(sin²θ+cos²θ) = tanθ/(1+tan²θ) = 2/(1+4) = 2/5. În cadranul al treilea sinusul și cosinusul sunt ambele negative, deci produsul lor este pozitiv, ceea ce se potrivește cu semnul obținut. Varianta −2/5 apare când se pune mecanic semnul minus doar din cauza cadranului.

Avem sin75° = sin(45°+30°) = sin45°cos30°+cos45°sin30° = (√2/2)(√3/2)+(√2/2)(1/2) = (√6+√2)/4. Varianta (√6−√2)/4 este sin15°, adică tot cos75°, și apare când în formula de adunare se pune scădere în loc de adunare.

Avem cos105° = cos(60°+45°) = cos60°cos45°−sin60°sin45° = (√2/4)−(√6/4) = (√2−√6)/4, o valoare negativă. Formula de adunare pentru cosinus este cosinus ori cosinus minus sinus ori sinus. Varianta (√6−√2)/4 provine din inversarea semnului; se poate verifica observând că 105° este obtuz, deci cosinusul trebuie să fie negativ.

Avem tan(α+β) = (tanα+tanβ)/(1−tanαtanβ) = (2+3)/(1−6) = 5/(−5) = −1. Varianta 5/7 provine dintr-o greșeală de semn, luând numitorul 1+tanαtanβ. La numitor se scade produsul din 1.

Din formula unghiului dublu, sin2α = 2sinαcosα = 2×(3/5)×(4/5) = 24/25. Varianta 12/25 este greșeala clasică de a uita coeficientul 2, iar 7/25 este valoarea lui cos2α = cos²α−sin²α.

Avem cos2α = 1−2sin²α = 1−2×(1/9) = 7/9. Când se cunoaște numai sinusul, este avantajos să se aleagă forma 1−2sin²α. Varianta −7/9 provine din inversarea semnelor, folosind 2sin²α−1, iar 8/9 din uitarea înmulțirii cu 2 și calculul 1−1/9.

Se înlocuiește α=π/4 în sin²(α/2) = (1−cosα)/2: sin²(π/8) = (1−cos(π/4))/2 = (1−√2/2)/2 = (2−√2)/4. Varianta (2+√2)/4 este valoarea lui cos²(π/8) și apare când se confundă corespondența semnelor, deși pentru sin² în formulă apare 1−cos.

Avem √(1²+(√3)²) = √4 = 2, iar argumentul punctului (1,√3) este π/3, deci expresia devine 2sin(θ+π/3). Înlocuind θ=0, membrul stâng dă √3 și membrul drept 2sin(π/3)=√3, deci coincid. Varianta 2sin(θ+π/6) provine din confuzia cu punctul (√3,1), iar 4sin(…) din uitarea radicalului din a²+b²=4.

Avem a=1 și b=−1, deci √(1+1)=√2, iar argumentul punctului (1,−1) este −π/4. Prin urmare expresia devine √2 sin(θ−π/4). Varianta √2 sin(θ+π/4) este forma restrânsă a lui sinθ+cosθ și apare când se pierde semnul lui b. Pentru θ=0, membrul stâng dă −1, iar membrul drept √2 sin(−π/4)=−1.

Restrângând obținem y = √(3²+4²) sin(θ+α) = 5sin(θ+α). Cum valoarea maximă a sinusului este 1, valoarea maximă este 5. Varianta 7 provine din adunarea coeficienților, 3+4, iar 25 din uitarea radicalului din a²+b².

Unghiurile fiind ascuțite, cosα = 3/5 și sinβ = 12/13. Atunci cos(α+β) = cosαcosβ−sinαsinβ = 15/65−48/65 = −33/65. Varianta 63/65 provine din luarea semnului plus, iar 56/65 este valoarea lui sin(α+β). Rezultatul este negativ fiindcă α+β este un unghi obtuz.

Pe cercul unitate există câte un unghi cu ordonata 1/2 în cadranul întâi și în cadranul al doilea, anume θ = π/6 și π−π/6 = 5π/6. Varianta π/3, 2π/3 provine din confuzia cu soluțiile ecuației sinθ=√3/2, iar 7π/6 corespunde punctului cu ordonata −1/2.

Pe cercul unitate abscisa este −1/2 în cadranele al doilea și al treilea, anume pentru θ = π−π/3 = 2π/3 și π+π/3 = 4π/3. Varianta π/3, 5π/3 conține soluțiile ecuației cosθ=+1/2, adică pierde semnul, iar 5π/6, 7π/6 sunt soluțiile ecuației cosθ=−√3/2.

Tangenta fiind o pantă, dreapta de pantă 1 taie cercul unitate în două puncte simetrice față de origine, anume pentru θ = π/4 și π/4+π = 5π/4. Soluțiile unei ecuații cu tangentă sunt distanțate cu π. Valorile 3π/4 și 7π/4 sunt soluțiile ecuației tanθ=−1.

Limitele sunt soluțiile ecuației sinθ=1/2, adică π/6 și 5π/6. Ordonata depășește 1/2 pe arcul superior dintre cele două soluții, deci π/6 < θ < 5π/6. Neexistând egalitate, capetele nu se includ. Pe cercul unitate se citește partea aflată deasupra dreptei orizontale y=1/2.

Limitele sunt soluțiile ecuației cosθ=1/2, adică π/3 și 5π/3. Abscisa este cel mult 1/2 pe arcul aflat la stânga dreptei verticale x=1/2, deci π/3 ≦ θ ≦ 5π/3. Existând egalitate, ambele capete se includ. Trebuie observat că intervalul este unul singur și conține pe π.

Notând sinθ=t obținem 2t²−t−1 = (2t+1)(t−1) = 0, deci t = 1, −1/2. Din sinθ=1 rezultă θ=π/2, iar din sinθ=−1/2 rezultă θ=7π/6, 11π/6. Trebuie date toate cele trei soluții; răspunsul cu π/2 singur pierde cazul t=−1/2.

Notând t=sinθ, cu −1≦t≦1, avem y = t²+t = (t+1/2)²−1/4. Vârful, t=−1/2, se află în interval, deci valoarea minimă este −1/4. Valoarea 0 se obține la capetele t=−1 și t=0, iar 2 este valoarea maximă, atinsă pentru t=1. Esențialul după o substituție este verificarea faptului că vârful se află în interval.

Din −1 ≦ sinθ ≦ 1 rezultă că 2sinθ ia valori de la −2 la 2, iar adunând 1 obținem −1 ≦ y ≦ 3, deci maximul este 3 și minimul −1. Varianta cu maximul 2 și minimul −2 apare când se uită translația cu +1.

Restrângând obținem √2 sin(θ+π/4) = 1, deci sin(θ+π/4) = 1/√2. În intervalul π/4 ≦ θ+π/4 < 9π/4 avem θ+π/4 = π/4, 3π/4, adică θ = 0, π/2. Verificare: pentru θ=0 avem 0+1=1, iar pentru θ=π/2 avem 1+0=1.

Restrângând obținem y = 2sin(θ+π/3). Argumentul θ+π/3 parcurge intervalul de la π/3 la 5π/6, iar pe acest interval sinusul are maximul 1, pentru θ+π/3=π/2, și minimul 1/2, pentru θ+π/3=5π/6. Deci maximul este 2, iar minimul 1. Minimul −2 apare când se ignoră restricția intervalului, iar minimul √3 când se ia pripit valoarea de la capătul θ=0, adică 2sin(π/3)=√3, deși valoarea 1 din capătul θ=π/2 este mai mică.