ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

การเปลี่ยนองศาเป็นเรเดียนคือคูณด้วย π/180 จึงได้ 60×π/180 = π/3 ส่วน π/6 คือ 30° และ π/4 คือ 45° และ 2π/3 คือ 120° ถ้าใช้ 180°=π เป็นหลัก แล้วคิดว่า 60° เป็นหนึ่งในสามของ 180° จึงเป็น π/3 ก็จะเร็ว

การเปลี่ยนเรเดียนเป็นองศาคือคูณด้วย 180/π จึงได้ (5π/6)×(180/π) = 5×30 = 150° หรือจะคิดว่าเป็น 5 เท่าของ π/6=30° ก็ได้ ข้อ 210° เกิดจากสับสนกับ 7π/6 และ 30° เป็นค่าของ π/6 เพียงอย่างเดียว

ในหน่วยเรเดียน ความยาวส่วนโค้ง l = rθ = 6×π/3 = 2π ข้อ 6π เกิดจากไปคำนวณพื้นที่ (1/2)r²θ และ 12π คือค่าของ r²θ ที่ลืมคูณ 1/2 อย่าสับสนระหว่างสูตรความยาวส่วนโค้งกับสูตรพื้นที่

S = (1/2)r²θ = (1/2)×36×(π/3) = 6π ข้อ 12π เกิดจากลืมคูณ 1/2 และ 2π เกิดจากสับสนกับความยาวส่วนโค้ง rθ ถ้าใช้รูป S=(1/2)rl ที่ใช้ความยาวส่วนโค้ง ก็ได้ (1/2)×6×2π=6π เช่นกัน

7π/6 = π+π/6 ด้านสิ้นสุดของมุมอยู่ในจตุภาคที่สาม ค่า sin ซึ่งเป็นพิกัด y จึงเป็นลบ ขนาดเท่ากับ sin(π/6)=1/2 จึงได้ −1/2 ข้อ −√3/2 เกิดจากสับสนกับค่าทางฝั่ง cos และ 1/2 เกิดจากละเลยการตัดสินเครื่องหมาย

4π/3 = π+π/3 อยู่ในจตุภาคที่สาม ค่า tan ในจตุภาคที่สามเป็นบวก เพราะ sin กับ cos เป็นลบทั้งคู่ทำให้อัตราส่วนเป็นบวก จึงเท่ากับ tan(π/3) = √3 ข้อ −√3 เกิดจากตัดสินเครื่องหมายผิด และ 1/√3 เกิดจากสับสนกับ tan(π/6)

คาบของ y=sin kθ เท่ากับ 2π/k เมื่อ k=2 จึงได้ 2π/2 = π เพราะหมุนเร็วขึ้นสองเท่า คลื่นจึงหดลงครึ่งหนึ่ง ข้อ 2π คือคาบของ sinθ ตามเดิม และ 4π เกิดจากคูณเป็น 2π×k

คาบเท่ากับ 2π/k และ k=1/2 จึงได้ 2π÷(1/2) = 4π เพราะหมุนช้าลงครึ่งหนึ่ง คลื่นจึงยืดออกเป็นสองเท่า ข้อ π เกิดจากคูณเป็น 2π×(1/2)

จาก sin²θ+cos²θ=1 ได้ cos²θ = 1−9/25 = 16/25 นั่นคือ cosθ = ±4/5 ในจตุภาคที่สอง cos เป็นลบ จึงได้ −4/5 ข้อ 4/5 เกิดจากละเลยการตัดสินเครื่องหมายตามจตุภาค และ −3/4 เกิดจากสับสนกับ tan

sinθcosθ = sinθcosθ/(sin²θ+cos²θ) = tanθ/(1+tan²θ) = 2/(1+4) = 2/5 ในจตุภาคที่สาม sin กับ cos เป็นลบทั้งคู่ ผลคูณจึงเป็นบวก ซึ่งสอดคล้องกับเครื่องหมายที่ได้ ข้อ −2/5 เกิดจากเห็นจตุภาคแล้วสรุปว่าเป็นลบโดยอัตโนมัติ

sin75° = sin(45°+30°) = sin45°cos30°+cos45°sin30° = (√2/2)(√3/2)+(√2/2)(1/2) = (√6+√2)/4 ข้อ (√6−√2)/4 คือ sin15° ซึ่งเท่ากับ cos75° และเกิดจากใช้เครื่องหมายลบในสูตรผลบวกมุม

cos105° = cos(60°+45°) = cos60°cos45°−sin60°sin45° = (√2/4)−(√6/4) = (√2−√6)/4 ซึ่งเป็นค่าติดลบ สูตรผลบวกมุมของ cos คือ คอสคูณคอส ลบด้วย ไซน์คูณไซน์ ข้อ (√6−√2)/4 เกิดจากใส่เครื่องหมายกลับกัน ตรวจได้ว่า 105° เป็นมุมป้าน ค่า cos จึงต้องเป็นลบ

tan(α+β) = (tanα+tanβ)/(1−tanαtanβ) = (2+3)/(1−6) = 5/(−5) = −1 ข้อ 5/7 เกิดจากใส่ตัวส่วนเป็น 1+tanαtanβ ซึ่งเครื่องหมายผิด ตัวส่วนต้องเป็น 1 ลบด้วยผลคูณ

จากสูตรมุมสองเท่า sin2α = 2sinαcosα = 2×(3/5)×(4/5) = 24/25 ข้อ 12/25 เป็นความผิดพลาดยอดนิยมที่ลืมสัมประสิทธิ์ 2 และ 7/25 คือค่าของ cos2α = cos²α−sin²α

cos2α = 1−2sin²α = 1−2×(1/9) = 7/9 เคล็ดลับคือเมื่อรู้เพียงค่า sin ให้เลือกใช้รูป 1−2sin²α ข้อ −7/9 เกิดจากใส่กลับเป็น 2sin²α−1 และ 8/9 เกิดจากลืมคูณด้วย 2 แล้วคิดเป็น 1−1/9

แทน α=π/4 ในสูตร sin²(α/2) = (1−cosα)/2 ได้ sin²(π/8) = (1−cos(π/4))/2 = (1−√2/2)/2 = (2−√2)/4 ข้อ (2+√2)/4 คือค่าของ cos²(π/8) ซึ่งเกิดจากสลับความสอดคล้องของเครื่องหมาย โดยที่ sin² ต้องคู่กับฝั่ง 1−cos

√(1²+(√3)²) = √4 = 2 และมุมของจุด (1,√3) คือ π/3 จึงได้ 2sin(θ+π/3) เมื่อแทน θ=0 ข้างซ้ายได้ √3 และข้างขวาได้ 2sin(π/3)=√3 ซึ่งตรงกัน ข้อ 2sin(θ+π/6) เกิดจากสลับไปใช้จุด (√3,1) และ 4sin(…) เกิดจากลืมถอดรากของ a²+b²=4

เนื่องจาก a=1 และ b=−1 จึงได้ √(1+1)=√2 และมุมของจุด (1,−1) คือ −π/4 ผลจึงเป็น √2 sin(θ−π/4) ข้อ √2 sin(θ+π/4) เป็นผลของการรวม sinθ+cosθ ซึ่งเกิดจากมองข้ามเครื่องหมายของ b ตรวจได้ที่ θ=0 โดยข้างซ้ายได้ −1 และข้างขวาได้ √2 sin(−π/4)=−1

เมื่อรวมเป็นฟังก์ชันเดียวจะได้ y = √(3²+4²) sin(θ+α) = 5sin(θ+α) ค่าสูงสุดของ sin คือ 1 ค่าสูงสุดจึงเป็น 5 ข้อ 7 เกิดจากบวกสัมประสิทธิ์เป็น 3+4 และ 25 เกิดจากลืมถอดรากของ a²+b²

เนื่องจากเป็นมุมแหลม จึงได้ cosα = 3/5 และ sinβ = 12/13 ดังนั้น cos(α+β) = cosαcosβ−sinαsinβ = 15/65−48/65 = −33/65 ข้อ 63/65 เกิดจากใช้เครื่องหมายบวก และ 56/65 คือค่าของ sin(α+β) ที่ค่าออกมาติดลบก็เพราะ α+β กลายเป็นมุมป้าน

บนวงกลมหนึ่งหน่วย มุมที่มีพิกัด y เท่ากับ 1/2 มีอยู่ในจตุภาคที่หนึ่งและที่สองอย่างละหนึ่งมุม คือ θ = π/6 และ π−π/6 = 5π/6 ข้อ π/3, 2π/3 เกิดจากสับสนกับคำตอบของ sinθ=√3/2 และ 7π/6 คือจุดที่ y=−1/2

บนวงกลมหนึ่งหน่วย จุดที่มีพิกัด x เท่ากับ −1/2 อยู่ในจตุภาคที่สองและที่สาม คือ θ = π−π/3 = 2π/3 และ π+π/3 = 4π/3 ข้อ π/3, 5π/3 คือคำตอบของ cosθ=+1/2 ซึ่งเกิดจากมองข้ามเครื่องหมาย และ 5π/6, 7π/6 คือคำตอบของ cosθ=−√3/2

ค่า tan คือความชัน เส้นตรงที่มีความชัน 1 จึงตัดวงกลมหนึ่งหน่วยที่จุดสองจุดซึ่งสมมาตรกันผ่านจุดกำเนิด ได้ θ = π/4 และ π/4+π = 5π/4 คำตอบของ tan ห่างกันครั้งละ π ส่วน 3π/4 กับ 7π/4 เป็นคำตอบของ tanθ=−1

เส้นแบ่งคือคำตอบของ sinθ=1/2 ได้แก่ π/6 กับ 5π/6 พิกัด y จะมากกว่า 1/2 บนส่วนโค้งด้านบนที่อยู่ระหว่างคำตอบทั้งสอง จึงได้ π/6 < θ < 5π/6 เนื่องจากไม่มีเครื่องหมายเท่ากับ จึงไม่รวมจุดปลาย ให้อ่านจากวงกลมหนึ่งหน่วยว่าเป็นส่วนที่อยู่เหนือเส้นแนวนอน y=1/2

เส้นแบ่งคือคำตอบของ cosθ=1/2 ได้แก่ π/3 กับ 5π/3 พิกัด x จะไม่เกิน 1/2 บนส่วนโค้งที่อยู่ทางซ้ายของเส้นแนวตั้ง x=1/2 จึงได้ π/3 ≦ θ ≦ 5π/3 เนื่องจากมีเครื่องหมายเท่ากับ จึงรวมทั้งสองจุดปลาย ให้สังเกตว่าช่วงคำตอบคร่อม π และต่อเนื่องเป็นผืนเดียว

ให้ sinθ=t จะได้ 2t²−t−1 = (2t+1)(t−1) = 0 นั่นคือ t = 1, −1/2 จาก sinθ=1 ได้ θ=π/2 และจาก sinθ=−1/2 ได้ θ=7π/6, 11π/6 ต้องยกมาให้ครบทั้งสามค่า ข้อที่มีเพียง π/2 เกิดจากทำฝั่ง t=−1/2 ตกหล่น

ให้ t=sinθ โดยที่ −1≦t≦1 จะได้ y = t²+t = (t+1/2)²−1/4 จุดยอด t=−1/2 อยู่ในช่วง ค่าต่ำสุดจึงเป็น −1/4 ข้อ 0 คือค่าที่ปลายช่วง t=−1 และที่ t=0 ส่วน 2 คือค่าสูงสุดที่ t=1 หัวใจของการแทนด้วยตัวแปรใหม่คือตรวจว่าจุดยอดอยู่ในช่วงหรือไม่

เนื่องจาก −1 ≦ sinθ ≦ 1 ค่า 2sinθ จึงอยู่ระหว่าง −2 กับ 2 เมื่อบวก 1 จะได้ −1 ≦ y ≦ 3 ค่าสูงสุดคือ 3 และค่าต่ำสุดคือ −1 ข้อที่ให้ค่าสูงสุด 2 กับค่าต่ำสุด −2 เกิดจากลืมการเลื่อนขึ้นด้วย +1

เมื่อรวมเป็นฟังก์ชันเดียวจะได้ √2 sin(θ+π/4) = 1 นั่นคือ sin(θ+π/4) = 1/√2 ในช่วง π/4 ≦ θ+π/4 < 9π/4 จะได้ θ+π/4 = π/4, 3π/4 นั่นคือ θ = 0, π/2 ตรวจได้ว่าที่ θ=0 ได้ 0+1=1 และที่ θ=π/2 ได้ 1+0=1

รวมเป็นฟังก์ชันเดียวได้ y = 2sin(θ+π/3) ค่า θ+π/3 เคลื่อนจาก π/3 ไปถึง 5π/6 ในช่วงนี้ sin มีค่ามากที่สุดคือ 1 ที่ θ+π/3=π/2 และน้อยที่สุดคือ 1/2 ที่ θ+π/3=5π/6 จึงได้ค่าสูงสุด 2 และค่าต่ำสุด 1 ข้อที่ให้ค่าต่ำสุด −2 เกิดจากละเลยการจำกัดช่วง และค่าต่ำสุด √3 เกิดจากด่วนสรุปว่าค่าที่ปลาย θ=0 ซึ่งเท่ากับ 2sin(π/3)=√3 เป็นค่าต่ำสุด ทั้งที่ค่าทางฝั่ง θ=π/2 ซึ่งเท่ากับ 1 นั้นน้อยกว่า