Hàm số lượng giác (数学Ⅱ, tức Toán II bậc trung học phổ thông Nhật Bản)

Đổi từ độ sang rađian thì nhân với π/180: 60×π/180 = π/3. Giá trị π/6 ứng với 30°, π/4 ứng với 45° và 2π/3 ứng với 120°. Lấy 180°=π làm mốc rồi lập luận 60° bằng một phần ba của 180° nên bằng π/3 thì nhanh hơn.

Đổi từ rađian sang độ thì nhân với 180/π: (5π/6)×(180/π) = 5×30 = 150°. Cũng có thể coi là 5 lần π/6=30°. Kết quả 210° là do nhầm với 7π/6, còn 30° chỉ là giá trị của π/6.

Theo hệ rađian, độ dài cung l = rθ = 6×π/3 = 2π. Kết quả 6π là do tính diện tích (1/2)r²θ, còn 12π là giá trị r²θ khi quên hệ số 1/2. Đừng lẫn công thức độ dài cung với công thức diện tích.

Ta có S = (1/2)r²θ = (1/2)×36×(π/3) = 6π. Kết quả 12π là lỗi quên hệ số 1/2, còn 2π là lỗi nhầm với độ dài cung rθ. Dùng dạng S=(1/2)rl theo độ dài cung cũng cho (1/2)×6×2π=6π.

Vì 7π/6 = π+π/6 nên tia cuối nằm ở góc phần tư thứ ba, ở đó sin, tức tung độ, mang dấu âm. Độ lớn bằng sin(π/6)=1/2, nên giá trị là −1/2. Kết quả −√3/2 là lỗi nhầm với giá trị bên cos, còn 1/2 là lỗi bỏ qua việc xét dấu.

Vì 4π/3 = π+π/3 nên góc thuộc góc phần tư thứ ba. Ở đó tan mang dấu dương, do sin và cos cùng âm nên thương của chúng dương, vậy giá trị bằng tan(π/3) = √3. Kết quả −√3 là lỗi xét dấu, còn 1/√3 là lỗi nhầm với tan(π/6).

Hàm y=sin kθ có chu kỳ 2π/k. Với k=2 thì chu kỳ bằng 2π/2 = π: quay nhanh gấp đôi nên sóng co lại một nửa. Giá trị 2π là chu kỳ của sinθ, còn 4π là lỗi nhân 2π với k.

Chu kỳ bằng 2π/k với k=1/2, nên bằng 2π÷(1/2) = 4π: quay chậm đi một nửa nên sóng giãn ra gấp đôi. Kết quả π là lỗi nhân 2π với 1/2.

Từ sin²θ+cos²θ=1 ta có cos²θ = 1−9/25 = 16/25, nên cosθ = ±4/5. Ở góc phần tư thứ hai thì cos âm, vậy cosθ=−4/5. Kết quả 4/5 là lỗi bỏ qua việc xét dấu theo góc phần tư, còn −3/4 là lỗi nhầm với tan.

Ta có sinθcosθ = sinθcosθ/(sin²θ+cos²θ) = tanθ/(1+tan²θ) = 2/(1+4) = 2/5. Ở góc phần tư thứ ba, sin và cos cùng âm nên tích của chúng dương, khớp với dấu vừa tìm. Kết quả −2/5 là lỗi máy móc gán dấu âm chỉ vì góc phần tư thứ ba.

Ta có sin75° = sin(45°+30°) = sin45°cos30°+cos45°sin30° = (√2/2)(√3/2)+(√2/2)(1/2) = (√6+√2)/4. Giá trị (√6−√2)/4 là sin15°, cũng bằng cos75°, sinh ra khi dùng nhầm dấu trừ trong công thức cộng.

Ta có cos105° = cos(60°+45°) = cos60°cos45°−sin60°sin45° = (√2/4)−(√6/4) = (√2−√6)/4, một giá trị âm. Công thức cộng của cos là cos nhân cos trừ sin nhân sin. Giá trị (√6−√2)/4 là lỗi đảo dấu, và có thể kiểm tra bằng nhận xét 105° là góc tù nên cos phải âm.

Ta có tan(α+β) = (tanα+tanβ)/(1−tanαtanβ) = (2+3)/(1−6) = 5/(−5) = −1. Kết quả 5/7 là lỗi sai dấu do viết mẫu thành 1+tanαtanβ. Mẫu số phải là 1 trừ đi tích.

Theo công thức nhân đôi, sin2α = 2sinαcosα = 2×(3/5)×(4/5) = 24/25. Kết quả 12/25 là lỗi quen thuộc do quên hệ số 2, còn 7/25 là giá trị của cos2α = cos²α−sin²α.

Ta có cos2α = 1−2sin²α = 1−2×(1/9) = 7/9. Khi chỉ biết sin thì nên chọn dạng 1−2sin²α. Kết quả −7/9 là lỗi đảo dấu thành 2sin²α−1, còn 8/9 là lỗi quên nhân 2 và viết 1−1/9.

Thay α=π/4 vào sin²(α/2) = (1−cosα)/2 được sin²(π/8) = (1−cos(π/4))/2 = (1−√2/2)/2 = (2−√2)/4. Giá trị (2+√2)/4 là cos²(π/8), sinh ra khi lẫn lộn dấu giữa sin² và cos², trong đó sin² đi với 1−cos.

Ta có √(1²+(√3)²) = √4 = 2, và điểm (1,√3) có góc lượng giác π/3, nên biểu thức bằng 2sin(θ+π/3). Thay θ=0 thì vế trái bằng √3 và vế phải bằng 2sin(π/3)=√3, khớp nhau. Kết quả 2sin(θ+π/6) là lỗi lấy nhầm điểm (√3,1), còn 4sin(…) là lỗi quên lấy căn của a²+b²=4.

Ở đây a=1 và b=−1 nên √(1+1)=√2, và điểm (1,−1) có góc lượng giác −π/4, do đó biểu thức bằng √2 sin(θ−π/4). Kết quả √2 sin(θ+π/4) là dạng tổng hợp của sinθ+cosθ, sinh ra khi bỏ sót dấu của b. Kiểm tra với θ=0: vế trái bằng −1 và vế phải bằng √2 sin(−π/4)=−1.

Tổng hợp lại được y = √(3²+4²) sin(θ+α) = 5sin(θ+α). Vì sin có giá trị lớn nhất bằng 1 nên giá trị lớn nhất của y bằng 5. Kết quả 7 là lỗi cộng hai hệ số 3+4, còn 25 là lỗi quên lấy căn của a²+b².

Vì là góc nhọn nên cosα = 3/5 và sinβ = 12/13. Do đó cos(α+β) = cosαcosβ−sinαsinβ = 15/65−48/65 = −33/65. Kết quả 63/65 là lỗi lấy dấu cộng, còn 56/65 là giá trị của sin(α+β). Giá trị âm cho biết α+β là góc tù.

Trên đường tròn đơn vị, các góc có tung độ bằng 1/2 nằm ở góc phần tư thứ nhất và thứ hai, mỗi nơi một góc: θ = π/6 và π−π/6 = 5π/6. Cặp π/3, 2π/3 là nghiệm của sinθ=√3/2, còn 7π/6 ứng với tung độ −1/2.

Trên đường tròn đơn vị, hoành độ bằng −1/2 ở góc phần tư thứ hai và thứ ba: θ = π−π/3 = 2π/3 và π+π/3 = 4π/3. Cặp π/3, 5π/3 là nghiệm của cosθ=+1/2, tức bỏ sót dấu, còn 5π/6, 7π/6 là nghiệm của cosθ=−√3/2.

Vì tan là hệ số góc nên đường thẳng hệ số góc 1 cắt đường tròn đơn vị tại hai điểm đối xứng qua gốc tọa độ: θ = π/4 và π/4+π = 5π/4. Các nghiệm của phương trình tan cách nhau đúng π. Các góc 3π/4 và 7π/4 là nghiệm của tanθ=−1.

Ranh giới là hai nghiệm π/6, 5π/6 của sinθ=1/2. Tung độ vượt quá 1/2 trên cung phía trên nằm giữa hai nghiệm đó, nên nghiệm là π/6 < θ < 5π/6. Vì không có dấu bằng nên không lấy hai đầu mút. Hãy đọc trên đường tròn đơn vị phần nằm phía trên đường ngang y=1/2.

Ranh giới là hai nghiệm π/3, 5π/3 của cosθ=1/2. Hoành độ không vượt quá 1/2 trên cung nằm bên trái đường dọc x=1/2, tức π/3 ≦ θ ≦ 5π/3. Vì có dấu bằng nên lấy cả hai đầu mút. Chú ý miền nghiệm là một cung liền, đi qua π.

Đặt sinθ=t thì 2t²−t−1 = (2t+1)(t−1) = 0, cho t = 1 hoặc t = −1/2. Từ sinθ=1 được θ=π/2, từ sinθ=−1/2 được θ=7π/6 và 11π/6. Phải nêu đủ cả ba nghiệm. Trả lời chỉ π/2 là bỏ sót nhánh t=−1/2.

Đặt t=sinθ với −1≦t≦1 thì y = t²+t = (t+1/2)²−1/4. Đỉnh t=−1/2 nằm trong miền giá trị nên giá trị nhỏ nhất là −1/4. Số 0 là giá trị tại các điểm t=−1 và t=0, còn 2 là giá trị lớn nhất tại t=1. Điểm mấu chốt khi đặt ẩn phụ là kiểm tra đỉnh có nằm trong miền hay không.

Vì −1 ≦ sinθ ≦ 1 nên 2sinθ chạy từ −2 tới 2, cộng thêm 1 được −1 ≦ y ≦ 3. Vậy giá trị lớn nhất là 3 và giá trị nhỏ nhất là −1. Đáp án lớn nhất 2, nhỏ nhất −2 là lỗi quên phép tịnh tiến +1.

Tổng hợp lại được √2 sin(θ+π/4) = 1, tức sin(θ+π/4) = 1/√2. Trong phạm vi π/4 ≦ θ+π/4 < 9π/4 ta có θ+π/4 = π/4 hoặc 3π/4, tức θ = 0 hoặc π/2. Kiểm tra lại: với θ=0 thì 0+1=1, với θ=π/2 thì 1+0=1.

Tổng hợp lại được y = 2sin(θ+π/3). Khi đó θ+π/3 chạy từ π/3 tới 5π/6, trên đoạn này sin đạt lớn nhất là 1 tại θ+π/3=π/2 và nhỏ nhất là 1/2 tại θ+π/3=5π/6. Vậy giá trị lớn nhất là 2 và nhỏ nhất là 1. Đáp án nhỏ nhất −2 là lỗi bỏ qua ràng buộc về miền, còn nhỏ nhất √3 là lỗi vội cho rằng giá trị tại đầu mút θ=0, tức 2sin(π/3)=√3, là nhỏ nhất, trong khi giá trị 1 ở phía θ=π/2 còn nhỏ hơn.