Fungsi Trigonometri

Dari derajat ke radian dikalikan (π/180), sehingga 60×π/180 = π/3. Nilai π/6 adalah 30°, π/4 adalah 45°, dan 2π/3 adalah 120°. Lebih cepat bila berpatokan pada 180°=π: karena 60° adalah 1/3 dari 180°, hasilnya π/3.

Dari radian ke derajat dikalikan (180/π), sehingga (5π/6)×(180/π) = 5×30 = 150°. Bisa juga dipikirkan sebagai 5 kali π/6=30°. Jawaban 210° muncul karena tertukar dengan 7π/6, sedangkan 30° hanyalah nilai π/6 saja.

Dalam ukuran radian, panjang busur l = rθ = 6×π/3 = 2π. Nilai 6π muncul karena yang dihitung luasnya (1/2)r²θ, sedangkan 12π adalah nilai r²θ tanpa faktor 1/2. Jangan tertukar antara rumus panjang busur dan rumus luas.

S = (1/2)r²θ = (1/2)×36×(π/3) = 6π. Nilai 12π muncul karena faktor 1/2 terlupakan, sedangkan 2π karena tertukar dengan panjang busur rθ. Dengan bentuk S=(1/2)rl yang memakai panjang busur pun dapat diperiksa: (1/2)×6×2π=6π.

Karena 7π/6 = π+π/6, sinar putarnya berada di kuadran ketiga sehingga sin (yaitu ordinat) bernilai negatif. Besarnya sama dengan sin(π/6)=1/2, jadi hasilnya −1/2. Nilai −√3/2 muncul karena tertukar dengan nilai di sisi cos, sedangkan 1/2 karena penentuan tandanya terlewat.

Karena 4π/3 = π+π/3, sudutnya berada di kuadran ketiga. Nilai tan positif di kuadran ketiga (sin dan cos sama-sama negatif sehingga perbandingannya positif), jadi hasilnya tan(π/3) = √3. Nilai −√3 adalah kesalahan penentuan tanda, sedangkan 1/√3 karena tertukar dengan tan(π/6).

Periode y=sin kθ adalah 2π/k. Karena k=2, periodenya 2π/2 = π. Putarannya dua kali lebih cepat sehingga gelombangnya memendek menjadi separuh. Nilai 2π adalah periode sinθ apa adanya, sedangkan 4π muncul karena keliru dikalikan sebagai 2π×k.

Periodenya 2π/k dan k=1/2, sehingga 2π÷(1/2) = 4π. Putarannya setengah kali lebih lambat sehingga gelombangnya memanjang dua kali lipat. Nilai π muncul karena keliru dikalikan sebagai 2π×(1/2).

Dari sin²θ+cos²θ=1 diperoleh cos²θ = 1−9/25 = 16/25 sehingga cosθ = ±4/5. Di kuadran kedua cos bernilai negatif, jadi hasilnya −4/5. Nilai 4/5 muncul karena penentuan tanda menurut kuadrannya terlewat, sedangkan −3/4 karena tertukar dengan tan.

sinθcosθ = sinθcosθ/(sin²θ+cos²θ) = tanθ/(1+tan²θ) = 2/(1+4) = 2/5. Di kuadran ketiga sin dan cos sama-sama negatif sehingga hasil kalinya positif, jadi tandanya pun cocok. Nilai −2/5 adalah kesalahan karena langsung dianggap negatif hanya berdasarkan kuadrannya.

sin75° = sin(45°+30°) = sin45°cos30°+cos45°sin30° = (√2/2)(√3/2)+(√2/2)(1/2) = (√6+√2)/4. Bentuk (√6−√2)/4 adalah sin15° (yaitu cos75°), yang muncul karena tanda pada rumus penjumlahan keliru menjadi pengurangan.

cos105° = cos(60°+45°) = cos60°cos45°−sin60°sin45° = (√2/4)−(√6/4) = (√2−√6)/4, yaitu bernilai negatif. Rumus penjumlahan untuk cos berbentuk cos-cos dikurangi sin-sin. Bentuk (√6−√2)/4 adalah kesalahan karena tandanya dibalik; dapat diperiksa bahwa 105° sudut tumpul sehingga cos-nya seharusnya negatif.

tan(α+β) = (tanα+tanβ)/(1−tanαtanβ) = (2+3)/(1−6) = 5/(−5) = −1. Nilai 5/7 adalah kesalahan tanda karena penyebutnya ditulis 1+tanαtanβ. Penyebutnya adalah 1 dikurangi hasil kalinya.

Dengan rumus sudut rangkap sin2α = 2sinαcosα = 2×(3/5)×(4/5) = 24/25. Nilai 12/25 adalah kesalahan klasik karena koefisien 2 terlupakan, sedangkan 7/25 adalah nilai cos2α = cos²α−sin²α.

cos2α = 1−2sin²α = 1−2×(1/9) = 7/9. Kiatnya, bila hanya sin yang diketahui, pilihlah bentuk 1−2sin²α. Nilai −7/9 adalah kesalahan karena tandanya dibalik menjadi 2sin²α−1, sedangkan 8/9 karena lupa mengalikan 2 sehingga dihitung 1−1/9.

Substitusikan α=π/4 ke sin²(α/2) = (1−cosα)/2 sehingga sin²(π/8) = (1−cos(π/4))/2 = (1−√2/2)/2 = (2−√2)/4. Bentuk (2+√2)/4 adalah nilai cos²(π/8), yang muncul karena kesesuaian tanda antara sin² dan cos² tertukar (bentuk sin² memakai sisi 1−cos).

√(1²+(√3)²) = √4 = 2, dan argumen titik (1,√3) adalah π/3, sehingga hasilnya 2sin(θ+π/3). Substitusi θ=0 memberi ruas kiri √3 dan ruas kanan 2sin(π/3)=√3, jadi cocok. Bentuk 2sin(θ+π/6) muncul karena tertukar dengan titik (√3,1), sedangkan 4sin(…) karena lupa menarik akar dari a²+b²=4.

Karena a=1 dan b=−1, maka √(1+1)=√2 dan argumen titik (1,−1) adalah −π/4, sehingga hasilnya √2 sin(θ−π/4). Bentuk √2 sin(θ+π/4) adalah penggabungan sinθ+cosθ, yang timbul karena tanda pada b terlewat. Pemeriksaan dengan θ=0 memberi ruas kiri −1 dan ruas kanan √2 sin(−π/4)=−1.

Setelah digabungkan, y = √(3²+4²) sin(θ+α) = 5sin(θ+α). Karena nilai maksimum sin adalah 1, nilai maksimumnya 5. Nilai 7 adalah kesalahan karena koefisiennya dijumlahkan sebagai 3+4, sedangkan 25 karena lupa menarik akar dari a²+b².

Karena sudutnya lancip, cosα = 3/5 dan sinβ = 12/13. Maka cos(α+β) = cosαcosβ−sinαsinβ = 15/65−48/65 = −33/65. Nilai 63/65 adalah kesalahan karena tandanya dijadikan +, sedangkan 56/65 adalah nilai sin(α+β). Hasilnya negatif karena α+β ternyata sudut tumpul.

Pada lingkaran satuan, sudut yang ordinatnya 1/2 ada satu di kuadran pertama dan satu di kuadran kedua, yaitu θ = π/6 dan π−π/6 = 5π/6. Jawaban π/3, 2π/3 muncul karena tertukar dengan penyelesaian sinθ=√3/2, sedangkan 7π/6 adalah titik dengan y=−1/2.

Pada lingkaran satuan, absis bernilai −1/2 di kuadran kedua dan ketiga, yaitu θ = π−π/3 = 2π/3 dan π+π/3 = 4π/3. Jawaban π/3, 5π/3 adalah penyelesaian cosθ=+1/2 (tandanya terlewat), sedangkan 5π/6, 7π/6 adalah penyelesaian cosθ=−√3/2.

Karena tan menyatakan gradien, garis bergradien 1 memotong lingkaran satuan di dua titik yang simetris terhadap titik asal, yaitu θ = π/4 dan π/4+π = 5π/4. Penyelesaian tan selalu berjarak π satu sama lain. Adapun 3π/4 dan 7π/4 adalah penyelesaian tanθ=−1.

Batasnya adalah penyelesaian sinθ=1/2, yaitu π/6 dan 5π/6. Ordinat melebihi 1/2 pada busur di sisi atas di antara kedua penyelesaian itu, sehingga π/6 < θ < 5π/6. Karena tanpa tanda sama dengan, titik ujungnya tidak termasuk. Bacalah bagian yang berada di atas garis mendatar y=1/2 pada lingkaran satuan.

Batasnya adalah penyelesaian cosθ=1/2, yaitu π/3 dan 5π/3. Absis bernilai tidak lebih dari 1/2 pada busur di sebelah kiri garis tegak x=1/2, yaitu π/3 ≦ θ ≦ 5π/3. Karena disertai tanda sama dengan, kedua ujungnya termasuk. Perhatikan bahwa rentangnya menyambung melewati π.

Dengan pemisalan sinθ=t diperoleh 2t²−t−1 = (2t+1)(t−1) = 0 sehingga t = 1, −1/2. Dari sinθ=1 didapat θ=π/2, dan dari sinθ=−1/2 didapat θ=7π/6, 11π/6. Ketiganya harus disebutkan. Menjawab hanya π/2 berarti sisi t=−1/2 terlewat.

Dengan pemisalan t=sinθ (−1≦t≦1) diperoleh y = t²+t = (t+1/2)²−1/4. Karena titik puncak t=−1/2 berada dalam rentang, nilai minimumnya −1/4. Nilai 0 adalah nilai di ujung t=−1 dan t=0, sedangkan 2 adalah nilai maksimum di t=1. Inti dari pemisalan adalah memeriksa apakah titik puncaknya berada dalam rentang.

Karena −1 ≦ sinθ ≦ 1, maka 2sinθ berkisar dari −2 sampai 2, dan setelah ditambah 1 diperoleh −1 ≦ y ≦ 3. Jadi maksimumnya 3 dan minimumnya −1. Jawaban maksimum 2 dan minimum −2 adalah kesalahan karena pergeseran +1 terlupakan.

Setelah digabungkan, √2 sin(θ+π/4) = 1 sehingga sin(θ+π/4) = 1/√2. Dalam rentang π/4 ≦ θ+π/4 < 9π/4 diperoleh θ+π/4 = π/4, 3π/4, yaitu θ = 0, π/2. Pemeriksaannya: untuk θ=0 didapat 0+1=1, dan untuk θ=π/2 didapat 1+0=1.

Setelah digabungkan, y = 2sin(θ+π/3). Nilai θ+π/3 bergerak dari π/3 sampai 5π/6, dan pada rentang itu sin bernilai maksimum 1 (saat θ+π/3=π/2) dan minimum 1/2 (saat θ+π/3=5π/6). Jadi maksimumnya 2 dan minimumnya 1. Minimum −2 adalah kesalahan karena pembatasan rentangnya diabaikan, sedangkan minimum √3 adalah kesimpulan tergesa dari nilai di ujung θ=0, yaitu 2sin(π/3)=√3 (padahal nilai 1 di sisi θ=π/2 lebih kecil).