三角函数

角度化弧度要乘 (π/180)。60×π/180 = π/3。π/6 是 30°，π/4 是 45°，2π/3 是 120°。以 180°=π 为基准，想成“60° 是 180° 的 1/3，所以是 π/3”会更快。

弧度化角度要乘 (180/π)。(5π/6)×(180/π) = 5×30 = 150°。也可以想成 π/6=30° 的 5 倍。210° 是与 7π/6 混淆的错误，30° 只是 π/6 的值。

在弧度制下弧长 l = rθ = 6×π/3 = 2π。6π 是算成面积 (1/2)r²θ 的错误，12π 是按 r²θ、漏掉 1/2 的值。不要把弧长与面积的公式混淆。

S = (1/2)r²θ = (1/2)×36×(π/3) = 6π。12π 是漏掉 1/2 的错误，2π 是与弧长 rθ 混淆的错误。用 S=(1/2)rl（含弧长的形式）也可以验证：(1/2)×6×2π=6π。

7π/6 = π+π/6，终边在第三象限，sin（纵坐标）为负。其大小是 sin(π/6)=1/2，所以是 −1/2。−√3/2 是与 cos 一侧的值混淆的错误，1/2 是漏掉符号判断的错误。

4π/3 = π+π/3，在第三象限。tan 在第三象限为正（sin, cos 同为负，比为正），所以等于 tan(π/3) = √3。−√3 是符号判断错误，1/√3 是与 tan(π/6) 混淆的错误。

y=sin kθ 的周期是 2π/k。k=2，所以是 2π/2 = π。转得快了 2 倍，波形就压缩为一半。2π 是 sinθ 本身的周期，4π 是错误地按 2π×k 相乘。

周期是 2π/k，k=1/2，所以 2π÷(1/2) = 4π。转速减半，波形就拉长为 2 倍。π 是错误地按 2π×(1/2) 相乘。

由 sin²θ+cos²θ=1 得 cos²θ = 1−9/25 = 16/25，cosθ = ±4/5。第二象限中 cos 为负，所以是 −4/5。4/5 是漏掉按象限判断符号的错误，−3/4 是与 tan 混淆的错误。

sinθcosθ = sinθcosθ/(sin²θ+cos²θ) = tanθ/(1+tan²θ) = 2/(1+4) = 2/5。第三象限中 sin, cos 都为负，乘积为正，符号也吻合。−2/5 是看到第三象限就机械地取负号的错误。

sin75° = sin(45°+30°) = sin45°cos30°+cos45°sin30° = (√2/2)(√3/2)+(√2/2)(1/2) = (√6+√2)/4。(√6−√2)/4 是 sin15°（也等于 cos75°），是把公式中的加号误作减号的错误。

cos105° = cos(60°+45°) = cos60°cos45°−sin60°sin45° = (√2/4)−(√6/4) = (√2−√6)/4（是负值）。cos 的和角公式是“余余减正正”。(√6−√2)/4 是把符号弄反的错误；105° 是钝角，cos 本应为负，可据此验算。

tan(α+β) = (tanα+tanβ)/(1−tanαtanβ) = (2+3)/(1−6) = 5/(−5) = −1。5/7 是把分母写成 1+tanαtanβ 的符号错误。分母是用 1 减去乘积。

由二倍角公式 sin2α = 2sinαcosα = 2×(3/5)×(4/5) = 24/25。12/25 是忘了系数 2 的常见错误，7/25 是 cos2α = cos²α−sin²α 的值。

cos2α = 1−2sin²α = 1−2×(1/9) = 7/9。只知道 sin 时，选用 1−2sin²α 这一形式是诀窍。−7/9 是写成 2sin²α−1、把符号弄反的错误，8/9 是忘了乘 2、算成 1−1/9 的错误。

在 sin²(α/2) = (1−cosα)/2 中代入 α=π/4。sin²(π/8) = (1−cos(π/4))/2 = (1−√2/2)/2 = (2−√2)/4。(2+√2)/4 是 cos²(π/8) 的值，是把 sin² 与 cos² 的符号对应（sin² 对应 1−cos 一侧）弄反的错误。

√(1²+(√3)²) = √4 = 2。点 (1,√3) 的辐角是 π/3，所以是 2sin(θ+π/3)。代入 θ=0，左边是 √3，右边是 2sin(π/3)=√3，一致。2sin(θ+π/6) 是把点误当成 (√3,1) 的错误，4sin(…) 是忘了对 a²+b²=4 开方的错误。

a=1, b=−1，所以 √(1+1)=√2，点 (1,−1) 的辐角是 −π/4。于是得 √2 sin(θ−π/4)。√2 sin(θ+π/4) 是 sinθ+cosθ 的合成结果，源于忽略 b 的符号。取 θ=0 验算：左边是 −1，右边是 √2 sin(−π/4)=−1。

合成得 y = √(3²+4²) sin(θ+α) = 5sin(θ+α)。sin 的最大值是 1，所以最大值是 5。7 是把系数相加算成 3+4 的错误，25 是忘了对 a²+b² 开方的错误。

因为是锐角，所以 cosα = 3/5, sinβ = 12/13。cos(α+β) = cosαcosβ−sinαsinβ = 15/65−48/65 = −33/65。63/65 是把符号取成加号的错误，56/65 是 sin(α+β) 的值。结果为负，是因为 α+β 是钝角。

在单位圆上纵坐标为 1/2 的角在第一象限与第二象限各有一个，即 θ = π/6 与 π−π/6 = 5π/6。π/3, 2π/3 是与 sinθ=√3/2 的解混淆的错误，7π/6 对应的是 y=−1/2 的点。

在单位圆上横坐标为 −1/2 的角在第二、第三象限，即 θ = π−π/3 = 2π/3 与 π+π/3 = 4π/3。π/3, 5π/3 是 cosθ=+1/2 的解（漏看了符号），5π/6, 7π/6 是 cosθ=−√3/2 的解。

tan 就是斜率，斜率为 1 的直线与单位圆的交点关于原点对称，共 2 个，即 θ = π/4 与 π/4+π = 5π/4。tan 的解彼此相差 π。3π/4 与 7π/4 是 tanθ=−1 的解。

分界点是 sinθ=1/2 的解 π/6, 5π/6。纵坐标超过 1/2 的部分是两解之间上方的那段弧，所以是 π/6 < θ < 5π/6。不带等号，所以不含端点。就是在单位圆上读出“水平线 y=1/2 以上”的部分。

分界点是 cosθ=1/2 的解 π/3, 5π/3。横坐标不超过 1/2 的部分是竖线 x=1/2 左侧的那段弧，即 π/3 ≦ θ ≦ 5π/3。带等号，所以两端都包含。要注意这个范围跨过 π 且是连成一段的。

令 sinθ=t，由 2t²−t−1 = (2t+1)(t−1) = 0 得 t = 1, −1/2。由 sinθ=1 得 θ=π/2，由 sinθ=−1/2 得 θ=7π/6, 11π/6。三个解都要写出。只答 π/2 是漏掉了 t=−1/2 一侧。

令 t=sinθ（−1≦t≦1），则 y = t²+t = (t+1/2)²−1/4。顶点 t=−1/2 在范围内，所以最小值是 −1/4。0 是端点 t=−1, 0 处的值，2 是 t=1 处的最大值。换元的要点是确认顶点是否落在范围内。

由 −1 ≦ sinθ ≦ 1 得 2sinθ 从 −2 到 2，再加上 1，得 −1 ≦ y ≦ 3。所以最大 3、最小 −1。最大 2、最小 −2 是忘了 +1 这一平移的错误。

合成得 √2 sin(θ+π/4) = 1，即 sin(θ+π/4) = 1/√2。在 π/4 ≦ θ+π/4 < 9π/4 的范围内，θ+π/4 = π/4, 3π/4，即 θ = 0, π/2。实际验算：θ=0 时 0+1=1，θ=π/2 时 1+0=1。

合成得 y = 2sin(θ+π/3)。θ+π/3 从 π/3 变到 5π/6，sin 在此范围内最大为 1（θ+π/3=π/2），最小为 1/2（θ+π/3=5π/6）。所以最大 2、最小 1。最小 −2 是忽略范围限制的错误，最小 √3 是把 θ=0 端点的值 2sin(π/3)=√3 草率当成最小的错误（θ=π/2 一侧的 1 更小）。