Funciones trigonométricas (Matemáticas II)

Para convertir grados a radianes, multiplique por π/180: 60×π/180 = π/3. El valor π/6 es 30°, π/4 es 45° y 2π/3 es 120°. Tomando 180°=π como referencia, es más rápido notar que 60° es un tercio de 180°, por lo tanto π/3.

Para convertir radianes a grados, multiplique por 180/π: (5π/6)×(180/π) = 5×30 = 150°. También puede verlo como cinco veces π/6=30°. El valor 210° lo confunde con 7π/6, y 30° es solo π/6.

En radianes, la longitud del arco es l = rθ = 6×π/3 = 2π. La opción 6π calcula en cambio el área (1/2)r²θ, y 12π es r²θ sin el factor un medio. No confunda las fórmulas de la longitud del arco y del área.

S = (1/2)r²θ = (1/2)×36×(π/3) = 6π. La opción 12π olvida el factor un medio, y 2π lo confunde con la longitud del arco rθ. La forma S=(1/2)rl, que usa la longitud del arco, también da (1/2)×6×2π=6π.

Como 7π/6 = π+π/6, el lado terminal está en el tercer cuadrante, donde sin, la coordenada y, es negativo. Su valor absoluto es sin(π/6)=1/2, así que el valor es −1/2. La opción −√3/2 lo confunde con el coseno, y 1/2 omite el signo.

Como 4π/3 = π+π/3, está en el tercer cuadrante, donde tan es positiva porque sin y cos son ambos negativos y su cociente es positivo. Así que el valor es tan(π/3) = √3. La opción −√3 se equivoca de signo, y 1/√3 lo confunde con tan(π/6).

El período de y=sin kθ es 2π/k. Con k=2 es 2π/2 = π. La rotación es dos veces más rápida, así que la onda se comprime a la mitad de su longitud. El valor 2π es el período del propio sinθ, y 4π sale de multiplicar 2π por k.

El período es 2π/k con k=1/2, así que es 2π÷(1/2) = 4π. La rotación es la mitad de rápida, así que la onda se estira al doble de su longitud. El valor π sale de multiplicar en cambio 2π por 1/2.

De sin²θ+cos²θ=1 se obtiene cos²θ = 1−9/25 = 16/25, así que cosθ = ±4/5. En el segundo cuadrante cos es negativo, así que cosθ = −4/5. La opción 4/5 omite el signo del cuadrante, y −3/4 lo confunde con tan.

sinθcosθ = sinθcosθ/(sin²θ+cos²θ) = tanθ/(1+tan²θ) = 2/(1+4) = 2/5. En el tercer cuadrante sin y cos son ambos negativos, así que su producto es positivo, lo que concuerda con el signo. La opción −2/5 lo hace negativo mecánicamente por el cuadrante.

sin75° = sin(45°+30°) = sin45°cos30°+cos45°sin30° = (√2/2)(√3/2)+(√2/2)(1/2) = (√6+√2)/4. La opción (√6−√2)/4 es sin15°, igual a cos75°, y sale de usar un signo menos en la fórmula de adición.

cos105° = cos(60°+45°) = cos60°cos45°−sin60°sin45° = (√2/4)−(√6/4) = (√2−√6)/4, un valor negativo. La fórmula de adición del coseno es cos cos menos sin sin. La opción (√6−√2)/4 invierte el signo, y puede comprobar la respuesta notando que 105° es obtuso, así que su coseno debe ser negativo.

tan(α+β) = (tanα+tanβ)/(1−tanαtanβ) = (2+3)/(1−6) = 5/(−5) = −1. La opción 5/7 tiene el error de signo de escribir el denominador como 1+tanαtanβ. En el denominador se resta el producto de 1.

La fórmula del ángulo doble da sin2α = 2sinαcosα = 2×(3/5)×(4/5) = 24/25. La opción 12/25 es el error clásico de olvidar el factor 2, y 7/25 es el valor de cos2α = cos²α−sin²α.

cos2α = 1−2sin²α = 1−2×(1/9) = 7/9. Cuando solo se conoce sin, elija la forma 1−2sin²α. La opción −7/9 invierte el signo, como 2sin²α−1, y 8/9 olvida el factor 2 y calcula 1−1/9.

Sustituya α=π/4 en sin²(α/2) = (1−cosα)/2: sin²(π/8) = (1−cos(π/4))/2 = (1−√2/2)/2 = (2−√2)/4. La opción (2+√2)/4 es cos²(π/8) y sale de confundir cuál de sin² y cos² lleva la forma 1−cos; es sin².

√(1²+(√3)²) = √4 = 2, y el punto (1,√3) tiene argumento π/3, así que el resultado es 2sin(θ+π/3). Al sustituir θ=0 se obtiene √3 en el lado izquierdo y 2sin(π/3)=√3 en el derecho, que coinciden. La opción 2sin(θ+π/6) confunde el punto con (√3,1), y 4sin(…) olvida la raíz cuadrada de a²+b²=4.

Aquí a=1 y b=−1, así que √(1+1)=√2 y el punto (1,−1) tiene argumento −π/4, lo que da √2 sin(θ−π/4). La opción √2 sin(θ+π/4) es la composición de sinθ+cosθ y surge de pasar por alto el signo de b. Al comprobar en θ=0 se obtiene −1 en el lado izquierdo y √2 sin(−π/4)=−1 en el derecho.

La composición da y = √(3²+4²) sin(θ+α) = 5sin(θ+α). Como el máximo de sin es 1, el valor máximo es 5. La opción 7 suma los coeficientes, como 3+4, y 25 olvida la raíz cuadrada de a²+b².

Como los ángulos son agudos, cosα = 3/5 y sinβ = 12/13. Entonces cos(α+β) = cosαcosβ−sinαsinβ = 15/65−48/65 = −33/65. La opción 63/65 usa un signo más, y 56/65 es el valor de sin(α+β). El resultado es negativo porque α+β resulta ser obtuso.

En la circunferencia unitaria, la coordenada y es igual a 1/2 en un ángulo del primer cuadrante y en otro del segundo, es decir, θ = π/6 y π−π/6 = 5π/6. Los valores π/3, 2π/3 corresponden a sinθ=√3/2, y 7π/6 es un punto con y=−1/2.

En la circunferencia unitaria, la coordenada x es igual a −1/2 en el segundo y el tercer cuadrante, en θ = π−π/3 = 2π/3 y π+π/3 = 4π/3. Los valores π/3, 5π/3 resuelven cosθ=+1/2, al omitir el signo, y 5π/6, 7π/6 resuelven cosθ=−√3/2.

Como tan es una pendiente, una recta de pendiente 1 corta la circunferencia unitaria en dos puntos simétricos respecto al origen: θ = π/4 y π/4+π = 5π/4. Las soluciones de una ecuación con tangente están separadas por π. Los valores 3π/4 y 7π/4 resuelven tanθ=−1.

Los extremos son las soluciones de sinθ=1/2, es decir, π/6 y 5π/6. La coordenada y supera 1/2 en el arco superior entre esas dos soluciones, así que la respuesta es π/6 < θ < 5π/6. Sin igualdad, los extremos se excluyen. Léalo en la circunferencia unitaria como la parte por encima de la recta horizontal y=1/2.

Los extremos son las soluciones de cosθ=1/2, es decir, π/3 y 5π/3. La coordenada x es como máximo 1/2 en el arco a la izquierda de la recta vertical x=1/2, así que la respuesta es π/3 ≦ θ ≦ 5π/3. Como se permite la igualdad, se incluyen ambos extremos. Observe que el rango es un solo arco que abarca π.

Al poner sinθ=t se obtiene 2t²−t−1 = (2t+1)(t−1) = 0, así que t = 1 o −1/2. De sinθ=1 se obtiene θ=π/2, y de sinθ=−1/2 se obtiene θ=7π/6 y 11π/6. Indique las tres. Responder solo π/2 omite la rama t=−1/2.

Al poner t=sinθ con −1≦t≦1 se obtiene y = t²+t = (t+1/2)²−1/4. El vértice t=−1/2 está dentro del rango, así que el mínimo es −1/4. El valor 0 se da en t=−1 (un extremo del rango) y en t=0, y 2 es el máximo en t=1. Comprobar si el vértice está dentro del rango es el paso clave después de una sustitución.

Como −1 ≦ sinθ ≦ 1, el término 2sinθ va de −2 a 2, y al sumar 1 se obtiene −1 ≦ y ≦ 3. Así que el máximo es 3 y el mínimo es −1. El par máximo 2, mínimo −2 olvida el desplazamiento de +1.

La composición da √2 sin(θ+π/4) = 1, así que sin(θ+π/4) = 1/√2. En el rango π/4 ≦ θ+π/4 < 9π/4 se obtiene θ+π/4 = π/4 o 3π/4, es decir, θ = 0 o π/2. Comprobación: θ=0 da 0+1=1 y θ=π/2 da 1+0=1.

La composición da y = 2sin(θ+π/3). Cuando θ+π/3 va de π/3 a 5π/6, el seno alcanza su mayor valor 1 en θ+π/3=π/2 y su menor valor 1/2 en θ+π/3=5π/6, así que el máximo es 2 y el mínimo es 1. El mínimo −2 ignora el rango restringido, y el mínimo √3 salta al valor del extremo 2sin(π/3)=√3 en θ=0, mientras que el valor 1 en el extremo θ=π/2 es menor.