Funções trigonométricas (Matemática II)

Para converter graus em radianos, multiplique por π/180: 60×π/180 = π/3. O valor π/6 é 30°, π/4 é 45° e 2π/3 é 120°. Tomando 180°=π como referência, é mais rápido notar que 60° é um terço de 180°, portanto π/3.

Para converter radianos em graus, multiplique por 180/π: (5π/6)×(180/π) = 5×30 = 150°. Você também pode ver isso como cinco vezes π/6=30°. O valor 210° confunde com 7π/6, e 30° é apenas π/6.

Em radianos, o comprimento do arco é l = rθ = 6×π/3 = 2π. A alternativa 6π calcula, em vez disso, a área (1/2)r²θ, e 12π é r²θ sem o fator um meio. Não confunda as fórmulas do comprimento do arco e da área.

S = (1/2)r²θ = (1/2)×36×(π/3) = 6π. A alternativa 12π esquece o fator um meio, e 2π confunde com o comprimento do arco rθ. A forma S=(1/2)rl, que usa o comprimento do arco, também dá (1/2)×6×2π=6π.

Como 7π/6 = π+π/6, o lado terminal fica no terceiro quadrante, onde o sin, a coordenada y, é negativo. Seu módulo é sin(π/6)=1/2, então o valor é −1/2. A alternativa −√3/2 confunde com o lado do cosseno, e 1/2 omite o sinal.

Como 4π/3 = π+π/3, o ângulo está no terceiro quadrante, onde a tan é positiva, pois sin e cos são ambos negativos e sua razão é positiva. Então o valor é tan(π/3) = √3. A alternativa −√3 erra o sinal, e 1/√3 confunde com tan(π/6).

O período de y=sin kθ é 2π/k. Com k=2, ele é 2π/2 = π. A rotação é duas vezes mais rápida, então a onda é comprimida à metade do seu comprimento. O valor 2π é o período do próprio sinθ, e 4π vem de multiplicar 2π por k.

O período é 2π/k com k=1/2, então ele é 2π÷(1/2) = 4π. A rotação é duas vezes mais lenta, então a onda é esticada até o dobro do seu comprimento. O valor π vem de multiplicar 2π por 1/2.

De sin²θ+cos²θ=1, obtém-se cos²θ = 1−9/25 = 16/25, então cosθ = ±4/5. No segundo quadrante o cos é negativo, então cosθ = −4/5. A alternativa 4/5 omite o sinal do quadrante, e −3/4 confunde com a tan.

sinθcosθ = sinθcosθ/(sin²θ+cos²θ) = tanθ/(1+tan²θ) = 2/(1+4) = 2/5. No terceiro quadrante sin e cos são ambos negativos, então seu produto é positivo, o que confere com o sinal. A alternativa −2/5 torna o valor negativo de forma mecânica por causa do quadrante.

sin75° = sin(45°+30°) = sin45°cos30°+cos45°sin30° = (√2/2)(√3/2)+(√2/2)(1/2) = (√6+√2)/4. A alternativa (√6−√2)/4 é sin15°, igual a cos75°, e vem de usar um sinal de menos na fórmula de adição.

cos105° = cos(60°+45°) = cos60°cos45°−sin60°sin45° = (√2/4)−(√6/4) = (√2−√6)/4, um valor negativo. A fórmula de adição do cos é cos cos menos sin sin. A alternativa (√6−√2)/4 inverte o sinal, e você pode verificar a resposta notando que 105° é obtuso, então seu cosseno deve ser negativo.

tan(α+β) = (tanα+tanβ)/(1−tanαtanβ) = (2+3)/(1−6) = 5/(−5) = −1. A alternativa 5/7 tem o erro de sinal de escrever o denominador como 1+tanαtanβ. O denominador subtrai o produto de 1.

A fórmula do arco duplo dá sin2α = 2sinαcosα = 2×(3/5)×(4/5) = 24/25. A alternativa 12/25 é o erro clássico de esquecer o fator 2, e 7/25 é o valor de cos2α = cos²α−sin²α.

cos2α = 1−2sin²α = 1−2×(1/9) = 7/9. Quando só o sin é conhecido, escolha a forma 1−2sin²α. A alternativa −7/9 inverte o sinal, como 2sin²α−1, e 8/9 esquece o fator 2 e calcula 1−1/9.

Substitua α=π/4 em sin²(α/2) = (1−cosα)/2: sin²(π/8) = (1−cos(π/4))/2 = (1−√2/2)/2 = (2−√2)/4. A alternativa (2+√2)/4 é cos²(π/8) e vem de confundir qual entre sin² e cos² usa a forma 1−cos; é o sin².

√(1²+(√3)²) = √4 = 2, e o ponto (1,√3) tem argumento π/3, então o resultado é 2sin(θ+π/3). Substituindo θ=0, obtém-se √3 do lado esquerdo e 2sin(π/3)=√3 do lado direito, que coincidem. A alternativa 2sin(θ+π/6) confunde o ponto com (√3,1), e 4sin(…) esquece a raiz quadrada de a²+b²=4.

Aqui a=1 e b=−1, então √(1+1)=√2 e o ponto (1,−1) tem argumento −π/4, o que dá √2 sin(θ−π/4). A alternativa √2 sin(θ+π/4) é a combinação de sinθ+cosθ e surge de não perceber o sinal de b. A verificação em θ=0 dá −1 do lado esquerdo e √2 sin(−π/4)=−1 do lado direito.

Combinando, obtém-se y = √(3²+4²) sin(θ+α) = 5sin(θ+α). Como o máximo do sin é 1, o valor máximo é 5. A alternativa 7 soma os coeficientes, como 3+4, e 25 esquece a raiz quadrada de a²+b².

Como os ângulos são agudos, cosα = 3/5 e sinβ = 12/13. Então cos(α+β) = cosαcosβ−sinαsinβ = 15/65−48/65 = −33/65. A alternativa 63/65 usa um sinal de mais, e 56/65 é o valor de sin(α+β). O resultado é negativo porque α+β acaba sendo obtuso.

Na circunferência trigonométrica, a coordenada y é igual a 1/2 em um ângulo do primeiro quadrante e em um do segundo, a saber, θ = π/6 e π−π/6 = 5π/6. Os valores π/3, 2π/3 correspondem a sinθ=√3/2, e 7π/6 é um ponto com y=−1/2.

Na circunferência trigonométrica, a coordenada x é igual a −1/2 no segundo e no terceiro quadrantes, em θ = π−π/3 = 2π/3 e π+π/3 = 4π/3. Os valores π/3, 5π/3 resolvem cosθ=+1/2, por não perceberem o sinal, e 5π/6, 7π/6 resolvem cosθ=−√3/2.

Como a tan é um coeficiente angular, uma reta de coeficiente angular 1 intercepta a circunferência trigonométrica em dois pontos simétricos em relação à origem: θ = π/4 e π/4+π = 5π/4. As soluções de uma equação com tangente ficam espaçadas de π. Os valores 3π/4 e 7π/4 resolvem tanθ=−1.

As fronteiras são as soluções de sinθ=1/2, a saber, π/6 e 5π/6. A coordenada y é maior que 1/2 no arco superior entre essas duas soluções, então a resposta é π/6 < θ < 5π/6. Sem igualdade, as extremidades ficam excluídas. Leia isso na circunferência trigonométrica como a parte acima da reta horizontal y=1/2.

As fronteiras são as soluções de cosθ=1/2, a saber, π/3 e 5π/3. A coordenada x é no máximo 1/2 no arco à esquerda da reta vertical x=1/2, então a resposta é π/3 ≦ θ ≦ 5π/3. Como a igualdade é permitida, ambas as extremidades estão incluídas. Observe que o intervalo é um único arco que passa por π.

Fazendo sinθ=t, obtém-se 2t²−t−1 = (2t+1)(t−1) = 0, então t = 1 ou −1/2. De sinθ=1, obtém-se θ=π/2, e de sinθ=−1/2, obtém-se θ=7π/6 e 11π/6. Liste as três. Responder apenas π/2 descarta o ramo t=−1/2.

Fazendo t=sinθ, com −1≦t≦1, obtém-se y = t²+t = (t+1/2)²−1/4. O vértice t=−1/2 fica dentro do intervalo, então o mínimo é −1/4. O valor 0 ocorre em t=−1 (uma extremidade do intervalo) e em t=0, e 2 é o máximo, em t=1. Verificar se o vértice fica dentro do intervalo é o passo-chave depois de uma substituição.

Como −1 ≦ sinθ ≦ 1, o termo 2sinθ vai de −2 a 2, e somando 1, obtém-se −1 ≦ y ≦ 3. Então o máximo é 3 e o mínimo é −1. O par máximo 2, mínimo −2 esquece o deslocamento de +1.

Combinando, obtém-se √2 sin(θ+π/4) = 1, então sin(θ+π/4) = 1/√2. No intervalo π/4 ≦ θ+π/4 < 9π/4, obtém-se θ+π/4 = π/4 ou 3π/4, isto é, θ = 0 ou π/2. Verificando, θ=0 dá 0+1=1 e θ=π/2 dá 1+0=1.

Combinando, obtém-se y = 2sin(θ+π/3). Quando θ+π/3 vai de π/3 a 5π/6, o seno atinge seu maior valor, 1, em θ+π/3=π/2 e seu menor valor, 1/2, em θ+π/3=5π/6, então o máximo é 2 e o mínimo é 1. O mínimo −2 ignora a restrição do intervalo, e o mínimo √3 conclui precipitadamente que o mínimo é o valor na extremidade θ=0, 2sin(π/3)=√3, quando o valor 1 na extremidade θ=π/2 é menor.