ڈیٹا کا تجزیہ (ریاضی I)

اوسط = کل مجموعہ ÷ تعداد: (2+4+6+8+10)/5=30/5=6۔ یکساں وقفوں والے ڈیٹا میں درمیانی قیمت اوسط کے برابر ہوتی ہے۔ تعداد 5 سے تقسیم کرنا نہ بھولیں۔

صعودی ترتیب میں ڈیٹا 2، 3، 4، 7، 9 ہے۔ 5 قیمتوں (طاق تعداد) میں وسطانیہ تیسری قیمت، یعنی 4، ہے۔ اوسط 25/5=5 ہے، اور عام طور پر وسطانیہ اور اوسط برابر نہیں ہوتے۔ پہلے ترتیب دینا نہ بھولیں۔

صعودی ترتیب میں ڈیٹا 2، 3، 5، 7، 8، 9 ہے۔ 6 قیمتوں (جفت تعداد) میں وسطانیہ درمیان کی دو قیمتوں، تیسری اور چوتھی، کا اوسط ہے: (5+7)/2=6۔ درمیان کی صرف ایک قیمت لے کر 5 یا 7 جواب دینا غلط ہے۔

عادہ وہ قیمت ہے جو سب سے زیادہ بار آئے۔ قیمت 9 کل 3 بار آتی ہے اور باقی ہر قیمت زیادہ سے زیادہ دو بار، اس لیے عادہ 9 ہے۔ قیمت 8 اوسط ہے اور 8.5 وسطانیہ؛ مرکزی رجحان کے یہ تینوں پیمانے الگ الگ چیزیں ہیں۔

وسعت، اعظم قیمت منفی اقل قیمت ہوتی ہے: 10−2=8۔ جواب میں صرف اعظم قیمت 10 نہ دیں، اور وسعت کو بین الربعی وسعت سے گڈمڈ نہ کریں۔ ایک ہی غیر معمولی قیمت (outlier) وسعت کو بہت بدل سکتی ہے۔

وسطانیہ 4 ہے۔ نچلے نصف 1، 2، 3 کا وسطانیہ Q1=2 ہے، اور اوپری نصف 5، 6، 7 کا وسطانیہ Q3=6 ہے۔ بین الربعی وسعت Q3−Q1=6−2=4 ہے۔ اسے وسعت سے گڈمڈ نہ کریں، جو 7−1=6 ہے۔

8 قیمتوں میں نچلا نصف 1، 3، 4، 5 اور اوپری نصف 6، 8، 9، 10 ہے۔ Q3 اوپری نصف کا وسطانیہ ہے: (8+9)/2=8.5۔ قیمت 5.5 پورے ڈیٹا کا وسطانیہ Q2 ہے۔ اوپری نصف کی درمیانی دو قیمتوں کا اوسط لینا نہ بھولیں۔

باکس کا بایاں سرا Q1 اور دایاں سرا Q3 ہے، اس لیے باکس کی لمبائی Q3−Q1، یعنی بین الربعی وسعت ہے۔ وسعت ایک whisker (باہر نکلی لکیر) کے سرے سے دوسری کے سرے تک ہوتی ہے، یعنی اعظم قیمت منفی اقل قیمت۔ معیاری انحراف باکس پلاٹ سے نہیں پڑھا جا سکتا۔

IQR=16−10=6، اس لیے حد 16+1.5×6=16+9=25 ہے۔ قیمت 26 اس سے بڑھ جاتی ہے، اس لیے یہ غیر معمولی قیمت ہے۔ قیمتیں 24 اور 20 حد 25 سے زیادہ نہیں، اس لیے یہ غیر معمولی نہیں۔ 1.5×IQR کو Q3 میں جمع کرنا یاد رکھیں۔

کل مجموعہ 98+102+101+99+100=500 ہے، اور 500/5=100۔ آپ اسے عارضی اوسط 100 سے فرقوں کے ذریعے بھی دیکھ سکتے ہیں: −2، +2، +1، −1، 0، جن کا اوسط 0 ہے، اس لیے اوسط 100 ہے۔ چونکہ کل مجموعہ 500 ہے، اوسط 100.5 نہیں ہو سکتا۔

اصل کل مجموعہ 10×5=50 تھا۔ غلطی درست کرنے سے کل مجموعہ 50−8+13=55 ہو جاتا ہے، اس لیے اوسط 55/5=11 ہے۔ آپ اضافے 5 کو تعداد 5 سے تقسیم کر کے بھی دیکھ سکتے ہیں کہ اوسط 1 بڑھ جاتا ہے۔

اوسط 3 ہے۔ انحرافات −2، −1، 0، 1، 2 ہیں، اس لیے تغیر (4+1+0+1+4)/5=10/5=2 ہے۔ انحرافات کے مربعوں کے مجموعے 10 کو تعداد سے تقسیم کرنا نہ بھولیں۔ قیمت √2 معیاری انحراف ہے۔

اوسط 5 ہے۔ تغیر (9+1+1+9)/4=20/4=5 ہے، اور معیاری انحراف اس کا مثبت جذرِ مربع √5 ہے۔ تغیر 5 کو معیاری انحراف کے طور پر نہ بتائیں۔

اوسط 4 ہے اور مربعوں کا اوسط (1+9+25+49)/4=84/4=21 ہے۔ تغیر 21−4²=21−16=5 ہے۔ قیمت 21 مربعوں کے اوسط پر رک جاتی ہے اور 16 اوسط کے مربع پر؛ دونوں میں تفریق بھول گئی ہے۔ تعریفی فارمولا بھی 5 ہی دیتا ہے۔

معیاری انحراف = √(تغیر)=√9=3۔ قیمت 81 میں تغیر کا دوبارہ مربع لیا گیا ہے، اور √3 میں ایک بار زیادہ جذرِ مربع لیا گیا ہے۔ رشتہ ٹھیک ٹھیک یاد رکھیں: معیاری انحراف تغیر کا مثبت جذرِ مربع ہے۔

y=bx+a کے لیے معیاری انحراف |b| سے ضرب ہو جاتا ہے، اس لیے یہ 2×4=8 ہے۔ +3 صرف سب کچھ کھسکاتا ہے اور پھیلاؤ نہیں بدلتا۔ قیمت 11 میں مستقل بھی جمع کر کے 2×4+3 کا حساب کیا گیا ہے، اور 16 اسے تغیر کے جزو b²=4 سے گڈمڈ کرنے سے آتا ہے۔

y=bx+a کے لیے تغیر b² سے ضرب ہو جاتا ہے، اس لیے یہ 3²×2=18 ہے۔ قیمت 6 میں صرف 3 سے ضرب دی گئی ہے، جو معیاری انحراف کا جزو ہے۔ −2 کا تغیر پر کوئی اثر نہیں۔ دونوں کو الگ رکھیں: معیاری انحراف |b| سے اور تغیر b² سے بدلتا ہے۔

کل مجموعہ 4×5+6×10=20+60=80 نمبر ہے، اس لیے اوسط 80/10=8 نمبر ہے۔ عام غلطی یہ ہے کہ گروہوں کے حجم کو نظر انداز کر کے (5+10)/2=7.5 نکالا جائے۔ حجم کے مطابق وزن دیں اور کل مجموعے سے حساب کریں۔

معیاری انحراف |b| سے ضرب ہو جاتا ہے، اس لیے یہ |−2|×2=4 ہے۔ معیاری انحراف پھیلاؤ کا پیمانہ ہے اور کبھی منفی نہیں ہو سکتا، اس لیے −4 غلط ہے۔ علامت بدلنے سے پھیلاؤ کی چوڑائی وہی رہتی ہے۔ قیمت 8 اسے تغیر کے جزو b²=4 سے گڈمڈ کرنے سے آتی ہے۔

ہر قیمت میں ایک ہی مقدار جمع کرنے سے اوسط اتنا ہی بڑھ جاتا ہے، مگر اوسط سے ہر انحراف وہی رہتا ہے، اس لیے تغیر اور معیاری انحراف نہیں بدلتے۔ یہ تصور کرنا مفید ہے کہ پھیلاؤ کی پوری شکل بس ایک طرف کھسک جاتی ہے۔

تغیر = مربعوں کا اوسط − اوسط کا مربع سے مربعوں کا اوسط 6+4²=22 ملتا ہے۔ چنانچہ مربعوں کا مجموعہ 22×5=110 ہے۔ قیمت 50 دراصل (6+4)×5 کے حساب سے آتی ہے۔ فارمولا الٹا استعمال کریں: مربعوں کا اوسط = تغیر + اوسط کا مربع۔

دائیں جانب اوپر کی طرف جانا، یعنی x بڑھنے کے ساتھ y کا بڑھنے کا رجحان، مثبت باہمی تعلق ہے، جبکہ دائیں جانب نیچے کی طرف جانا منفی باہمی تعلق ہے۔ دھیان رکھیں کہ صرف انتشاری خاکے کی شکل سے علت و معلول کے بارے میں کچھ معلوم نہیں ہوتا۔

باہمی تعلق کا عددی سر باہمی تغیر (covariance) کو معیاری انحرافات کے حاصل ضرب سے تقسیم کرنے سے ملتا ہے، اور یہ ہمیشہ −1≦r≦1 میں ہوتا ہے۔ سرے کی قیمتیں ±1 بھی واقعی آتی ہیں، جب تمام نقاط ایک ہی سیدھے خط پر ہوں، اس لیے برابری شامل ہے۔ منفی قیمتیں بھی آتی ہیں۔

چونکہ r کی قیمت −1 کے قریب ہے، باہمی تعلق مضبوط طور پر منفی ہے، اس لیے نقاط دائیں جانب نیچے کی طرف جانے والے خط کے قریب جمع ہوتے ہیں۔ اگر وہ اوپر کی طرف جاتے تو r مثبت ہوتا۔ چونکہ r خطی تعلق کو ناپتا ہے، اس لیے قطع مکافی کی شکل والی ترتیب −0.9 جیسی قیمت نہیں دیتی۔

جب تمام نقاط ایک سیدھے خط پر ہوں تو باہمی تعلق کا عددی سر ±1 ہوتا ہے، اور نیچے کی طرف ڈھلوان کے لیے r=−1۔ قیمت r=−1 سب سے مضبوط ممکنہ منفی باہمی تعلق ہے، 0 کا مطلب کوئی باہمی تعلق نہیں، اور 1 اوپر کی طرف جانے والے خط پر واقع نقاط کے مطابق ہے۔

r=sxy/(sx·sy)=1.6/(√2×√2)=1.6/2=0.8۔ معیاری انحرافات (√2) کے بجائے تغیرات (2) کے حاصل ضرب سے تقسیم کرنے پر غلط جواب 0.4 آتا ہے۔ باہمی تغیر 1.6 کو ہی جواب نہ بنا دیں۔

باہمی تعلق علت و معلول کا ثبوت نہیں۔ اس مثال میں یہ سوچنا فطری ہے کہ ایک تیسرا متغیر، درجۂ حرارت، دونوں کو بڑھا رہا ہے۔ باہمی تعلق کی مضبوطی، یعنی r کی مقدار، اس بات سے الگ معاملہ ہے کہ آیا علت و معلول کا رشتہ موجود ہے۔

توقع کی جاتی ہے کہ درجۂ حرارت بڑھنے کے ساتھ گرم کافی کی فروخت گھٹے گی، جو نیچے کی طرف ڈھلوان، یعنی منفی باہمی تعلق ہے۔ قد اور وزن، مطالعے کا وقت اور نمبر، اور آبادی اور دکانوں کی تعداد سب مثبت باہمی تعلق کی طرف اشارہ کرتے ہیں، جہاں ایک کے بڑھنے پر دوسرا بھی بڑھتا ہے۔

منصفانہ ہونے کے مفروضے کے تحت مشاہدہ شدہ نتیجے کا احتمال، 1/256≒0.4%، حد 5% سے کم ہے۔ یہ ماننے کے بجائے کہ کوئی بہت نایاب واقعہ پیش آ گیا ہے، مفروضے پر شک کرنا زیادہ فطری ہے، اس لیے ہم مفروضہ مسترد کرتے ہیں اور فیصلہ کرتے ہیں کہ چت کی طرف جھکاؤ ہے۔ موازنہ 5% کی حد سے کیا جاتا ہے، 50% سے نہیں۔

6% کا احتمال 5% کی حد کے برابر یا اس سے زیادہ ہے، اس لیے نتیجے کو نایاب نہیں کہا جا سکتا اور مفروضہ مسترد نہیں کیا جا سکتا۔ تاہم مسترد نہ کر پانا اس بات کا ثبوت نہیں کہ مفروضہ درست ہے۔ نتیجہ دیکھنے کے بعد حد بدل دینا غلط رویہ ہے۔