Analisis Data

Rata-rata = jumlah ÷ banyak data = (2+4+6+8+10)/5=30/5=6. Pada data yang tersusun dengan jarak sama, nilai tengahnya sama dengan rata-ratanya. Jangan lupa membagi dengan banyak data, yaitu 5.

Setelah diurutkan dari terkecil: 2, 3, 4, 7, 9. Karena banyaknya 5 (ganjil), nilai tengahnya adalah datum ketiga, sehingga mediannya 4. Rata-ratanya 25/5=5, jadi median dan rata-rata pada umumnya tidak sama. Jangan lupa mengurutkan lebih dulu.

Setelah diurutkan dari terkecil: 2, 3, 5, 7, 8, 9. Karena banyaknya 6 (genap), mediannya adalah rata-rata dua datum tengah (ketiga dan keempat), yaitu (5+7)/2=6. Mengambil salah satu saja lalu menjawab 5 atau 7 adalah keliru.

Modus adalah nilai yang paling sering muncul. Nilai 9 muncul 3 kali sedangkan yang lain paling banyak 2 kali, sehingga modusnya 9. Nilai 8 adalah rata-rata dan 8.5 adalah median; ketiga ukuran pemusatan itu berbeda-beda.

Jangkauan = nilai terbesar − nilai terkecil = 10−2=8. Jangan menjawab nilai terbesar 10 begitu saja, dan jangan tertukar dengan jangkauan antarkuartil. Jangkauan dapat berubah besar hanya karena satu pencilan.

Mediannya 4. Median separuh bawah 1, 2, 3 adalah Q1=2, dan median separuh atas 5, 6, 7 adalah Q3=6. Jangkauan antarkuartil = Q3−Q1=6−2=4. Jangan tertukar dengan jangkauan (7−1=6).

Karena ada 8 datum, separuh bawahnya 1, 3, 4, 5 dan separuh atasnya 6, 8, 9, 10. Q3 adalah median separuh atas, yaitu (8+9)/2=8.5. Nilai 5.5 adalah median keseluruhan Q2. Jangan lupa mengambil rata-rata dua datum tengah pada separuh atas.

Ujung kiri kotak adalah Q1 dan ujung kanannya Q3, sehingga panjang kotak menyatakan Q3−Q1, yaitu jangkauan antarkuartil. Jangkauan diukur dari ujung garis yang satu ke ujung garis yang lain (nilai terbesar − nilai terkecil). Simpangan baku tidak dapat dibaca dari diagram kotak-garis.

IQR=16−10=6, sehingga batasnya 16+1.5×6=16+9=25. Nilai yang melebihi batas itu adalah 26, jadi itulah pencilannya. Nilai 24 dan 20 tidak melebihi batas 25 sehingga bukan pencilan. Jangan lupa menambahkan 1.5×IQR pada Q3.

Jumlahnya 98+102+101+99+100=500, sehingga 500/5=100. Dapat pula dilihat dari rerata sementara 100: selisihnya −2, +2, +1, −1, 0 dan rata-rata selisih itu 0, sehingga rata-ratanya 100.

Jumlah semula 10×5=50. Setelah kekeliruannya diperbaiki, jumlahnya menjadi 50−8+13=55, sehingga rata-ratanya 55/5=11. Bisa juga dipikirkan bahwa tambahan 5 dibagi banyak data 5, jadi rata-ratanya naik 1.

Rata-ratanya 3. Simpangannya −2, −1, 0, 1, 2, sehingga ragam=(4+1+0+1+4)/5=10/5=2. Jangan lupa membagi jumlah kuadrat simpangan 10 dengan banyak data. Nilai √2 adalah simpangan bakunya.

Rata-ratanya 5. Ragam=(9+1+1+9)/4=20/4=5. Simpangan bakunya adalah akar kuadrat positif dari ragam, yaitu √5. Jangan menjawab ragam 5 sebagai simpangan baku.

Rata-ratanya 4 dan rata-rata kuadratnya (1+9+25+49)/4=84/4=21. Maka ragam=21−4²=21−16=5. Nilai 21 berhenti pada rata-rata kuadrat dan 16 berhenti pada kuadrat rata-rata, yaitu kekeliruan karena pengurangannya terlupakan. Dengan rumus definisinya pun hasilnya 5.

Simpangan baku=√(ragam)=√9=3. Nilai 81 adalah kekeliruan karena ragam justru dikuadratkan lagi, sedangkan √3 adalah kekeliruan karena akar diambil sekali lagi dari 3. Ingat hubungannya dengan tepat: simpangan baku adalah akar kuadrat positif dari ragam.

Untuk y=bx+a, simpangan bakunya menjadi |b| kali, sehingga 2×4=8. Suku +3 hanya menggeser seluruh data dan tidak mengubah penyebarannya. Nilai 11 adalah kekeliruan karena konstantanya ikut ditambahkan sebagai 2×4+3, sedangkan 16 adalah kekeliruan karena tertukar dengan faktor pengali ragam b²=4.

Untuk y=bx+a, ragamnya menjadi b² kali, sehingga 3²×2=18. Nilai 6 adalah kekeliruan karena hanya dikalikan 3 (itu faktor pengali simpangan baku). Suku −2 tidak berpengaruh pada ragam. Bedakan dengan jelas: simpangan baku menjadi |b| kali, ragam menjadi b² kali.

Jumlah keseluruhannya 4×5+6×10=20+60=80, sehingga rata-ratanya 80/10=8. Kekeliruan yang khas adalah mengabaikan banyaknya orang lalu menghitung (5+10)/2=7.5. Hitunglah dari jumlah keseluruhan dengan memberi bobot sesuai banyaknya orang.

Simpangan baku menjadi |b| kali, sehingga |−2|×2=4. Karena simpangan baku menyatakan besarnya penyebaran, nilainya tidak mungkin negatif, jadi −4 keliru. Membalik tanda tidak mengubah lebar penyebarannya. Nilai 8 timbul dari tertukarnya dengan faktor b²=4 (faktor pengali ragam).

Bila setiap datum ditambah bilangan yang sama, rata-ratanya bertambah sebesar itu, tetapi selisih tiap nilai terhadap rata-rata (simpangannya) tidak berubah sehingga ragam dan simpangan bakunya tetap. Bayangkan saja bentuk penyebarannya hanya bergeser sejajar.

Dari ragam=(rata-rata kuadrat)−(kuadrat rata-rata) diperoleh rata-rata kuadrat=6+4²=22, sehingga jumlah kuadratnya 22×5=110. Nilai 50 adalah kekeliruan karena dihitung (6+4)×5. Gunakan rumusnya secara terbalik menjadi rata-rata kuadrat = ragam + kuadrat rata-rata.

Sebaran yang naik ke kanan (bila x bertambah, y cenderung ikut bertambah) menunjukkan korelasi positif, sedangkan yang turun ke kanan menunjukkan korelasi negatif. Perhatikan bahwa bentuk diagram pencar saja belum dapat menunjukkan adanya hubungan sebab-akibat.

Koefisien korelasi adalah kovarians dibagi hasil kali kedua simpangan baku, dan nilainya pasti berada pada −1≦r≦1. Nilai ujungnya, yaitu ±1, memang dapat tercapai ketika semua titik terletak pada satu garis lurus, sehingga tanda sama dengan disertakan. Nilainya juga bisa negatif.

Karena r dekat dengan −1, korelasinya negatif dan kuat, artinya titik-titiknya berkumpul di dekat sebuah garis yang turun ke kanan. Bila naik ke kanan, r bernilai positif. Karena r mengukur hubungan yang bersifat garis lurus, sebaran berbentuk parabola tidak akan memberi nilai seperti −0.9.

Bila semua titik terletak pada satu garis lurus, koefisien korelasinya ±1, dan karena garisnya turun ke kanan maka r=−1. Nilai r=−1 berarti korelasi negatif yang tidak mungkin lebih kuat lagi; nilai 0 untuk keadaan tanpa korelasi, dan 1 untuk titik-titik pada garis yang naik ke kanan.

r=sxy/(sx·sy)=1.6/(√2×√2)=1.6/2=0.8. Membagi dengan hasil kali ragam (2) alih-alih simpangan baku (√2) menghasilkan kekeliruan 0.4. Jangan pula menjawab kovarians 1.6 begitu saja.

Hubungan korelasi bukan bukti adanya hubungan sebab-akibat. Pada contoh ini wajar bila dianggap ada peubah ketiga, yaitu suhu udara, yang menambah keduanya sekaligus. Kuat atau lemahnya korelasi (besarnya r) adalah persoalan yang terpisah dari ada atau tidaknya sebab-akibat.

Makin tinggi suhu udara, penjualan kopi panas cenderung makin berkurang, dan itulah keadaan turun ke kanan alias korelasi negatif. Tinggi badan dan berat badan, lama belajar dan nilai ujian, serta jumlah penduduk dan jumlah toko sama-sama diperkirakan berkorelasi positif karena bila yang satu bertambah yang lain ikut bertambah.

Di bawah anggapan koin setimbang, peluang hasil yang teramati, yaitu 1/256≒0.4%, lebih kecil daripada patokan 5%. Daripada menganggap telah terjadi sesuatu yang sangat jarang, lebih wajar meragukan anggapannya; karena itu hipotesisnya ditolak dan koin dinilai lebih mudah memunculkan sisi gambar. Pembandingnya adalah patokan 5%, bukan 50%.

Peluang 6% tidak kurang dari patokan 5%, sehingga belum dapat dikatakan sangat jarang terjadi dan hipotesisnya tidak dapat ditolak. Namun, tidak dapat ditolak bukanlah bukti bahwa hipotesisnya benar. Menggeser patokannya setelah melihat hasil adalah sikap yang keliru.