Phân tích số liệu (数学Ⅰ, tức Toán I bậc trung học phổ thông Nhật Bản)

Số trung bình bằng tổng chia số phần tử: (2+4+6+8+10)/5=30/5=6. Với số liệu cách đều nhau thì giá trị ở giữa trùng với số trung bình. Đừng quên chia cho số phần tử là 5.

Sắp xếp tăng dần được 2, 3, 4, 7, 9. Vì có 5 phần tử, là số lẻ, nên trung vị là giá trị thứ ba, tức 4. Số trung bình là 25/5=5, cho thấy trung vị và số trung bình nói chung không bằng nhau. Đừng quên sắp xếp lại trước khi tìm.

Sắp xếp tăng dần được 2, 3, 5, 7, 8, 9. Vì có 6 phần tử, là số chẵn, nên trung vị là trung bình của hai giá trị ở giữa, tức giá trị thứ ba và thứ tư: (5+7)/2=6. Chỉ lấy một trong hai giá trị giữa rồi trả lời 5 hoặc 7 là sai.

Mốt là giá trị xuất hiện nhiều lần nhất. Số 9 xuất hiện 3 lần, các số khác đều xuất hiện không quá 2 lần, nên mốt là 9. Số 8 là số trung bình và 8.5 là trung vị, cho thấy ba số đặc trưng này là ba đại lượng khác nhau.

Khoảng biến thiên bằng giá trị lớn nhất trừ giá trị nhỏ nhất: 10−2=8. Đừng trả lời thẳng giá trị lớn nhất 10, cũng đừng lẫn với khoảng tứ phân vị. Chỉ cần một giá trị ngoại lệ là khoảng biến thiên đã thay đổi rất nhiều.

Trung vị là 4. Nửa dưới 1, 2, 3 có trung vị Q1=2, nửa trên 5, 6, 7 có trung vị Q3=6. Khoảng tứ phân vị bằng Q3−Q1=6−2=4. Đừng lẫn với khoảng biến thiên, ở đây bằng 7−1=6.

Vì có 8 phần tử nên nửa dưới là 1, 3, 4, 5 và nửa trên là 6, 8, 9, 10. Giá trị Q3 là trung vị của nửa trên: (8+9)/2=8.5. Số 5.5 là trung vị Q2 của cả dãy. Đừng quên lấy trung bình của hai giá trị giữa ở nửa trên.

Mép trái của hộp là Q1 và mép phải là Q3, nên chiều dài hộp bằng Q3−Q1, tức khoảng tứ phân vị. Khoảng biến thiên đo từ đầu râu này tới đầu râu kia, tức giá trị lớn nhất trừ giá trị nhỏ nhất. Không thể đọc được độ lệch chuẩn từ biểu đồ hộp.

Ta có IQR=16−10=6, nên ngưỡng là 16+1.5×6=16+9=25. Giá trị 26 vượt ngưỡng nên là giá trị ngoại lệ. Các giá trị 24 và 20 không vượt quá 25 nên không phải giá trị ngoại lệ. Đừng quên cộng 1.5×IQR vào Q3.

Tổng bằng 98+102+101+99+100=500, nên số trung bình là 500/5=100. Cũng có thể lấy 100 làm trung bình giả định: các độ lệch −2, +2, +1, −1, 0 có trung bình bằng 0, nên số trung bình đúng là 100.

Tổng ban đầu là 10×5=50. Sau khi sửa, tổng thành 50−8+13=55 và số trung bình là 55/5=11. Cũng có thể lập luận rằng tổng tăng thêm 5, chia cho 5 phần tử nên số trung bình tăng thêm 1.

Số trung bình là 3. Các độ lệch là −2, −1, 0, 1, 2, nên phương sai bằng (4+1+0+1+4)/5=10/5=2. Đừng quên chia tổng bình phương các độ lệch, ở đây bằng 10, cho số phần tử. Giá trị √2 là độ lệch chuẩn.

Số trung bình là 5 và phương sai bằng (9+1+1+9)/4=20/4=5. Độ lệch chuẩn là căn bậc hai dương của phương sai, tức √5. Đừng trả lời thẳng phương sai 5 thay cho độ lệch chuẩn.

Số trung bình là 4 và trung bình của bình phương là (1+9+25+49)/4=84/4=21. Phương sai bằng 21−4²=21−16=5. Kết quả 21 là dừng ở trung bình của bình phương, còn 16 là dừng ở bình phương của trung bình, đều là lỗi quên trừ. Tính theo định nghĩa cũng cho 5.

Độ lệch chuẩn bằng căn bậc hai của phương sai: √9=3. Kết quả 81 là lỗi bình phương thêm một lần nữa, còn √3 là lỗi lấy căn thêm một lần. Cần nhớ chính xác quan hệ: độ lệch chuẩn là căn bậc hai dương của phương sai.

Với y=bx+a thì độ lệch chuẩn nhân lên |b| lần, nên bằng 2×4=8. Số hạng +3 chỉ tịnh tiến toàn bộ số liệu chứ không làm thay đổi độ phân tán. Kết quả 11 là lỗi cộng luôn hằng số thành 2×4+3, còn 16 là lỗi nhầm với hệ số b²=4 của phương sai.

Với y=bx+a thì phương sai nhân lên b² lần, nên bằng 3²×2=18. Kết quả 6 là lỗi chỉ nhân 3 lần, mà đó là hệ số của độ lệch chuẩn. Số hạng −2 không ảnh hưởng tới phương sai. Cần phân biệt: độ lệch chuẩn nhân |b| lần, phương sai nhân b² lần.

Tổng điểm của cả nhóm là 4×5+6×10=20+60=80, nên điểm trung bình là 80/10=8. Lỗi điển hình là bỏ qua số người và lấy (5+10)/2=7.5. Phải tính theo tổng, tức lấy trọng số là số người.

Độ lệch chuẩn nhân lên |b| lần nên bằng |−2|×2=4. Độ lệch chuẩn đo độ phân tán nên không bao giờ âm, do đó −4 là sai. Đổi dấu thì bề rộng phân tán vẫn như cũ. Kết quả 8 là do nhầm với hệ số b²=4 của phương sai.

Cộng cùng một giá trị cho mọi số liệu thì số trung bình tăng đúng bằng giá trị đó, nhưng hiệu giữa mỗi số liệu với số trung bình, tức độ lệch, không đổi, nên phương sai và độ lệch chuẩn giữ nguyên. Hãy hình dung toàn bộ hình dạng phân tán chỉ trượt đi mà không co giãn.

Từ công thức phương sai bằng trung bình của bình phương trừ bình phương của trung bình, ta có trung bình của bình phương bằng 6+4²=22. Do đó tổng các bình phương bằng 22×5=110. Kết quả 50 là lỗi tính (6+4)×5. Ở đây ta dùng công thức theo chiều ngược lại: trung bình của bình phương bằng phương sai cộng bình phương của trung bình.

Hướng đi lên, tức x tăng thì y có xu hướng tăng, là tương quan thuận, còn hướng đi xuống là tương quan nghịch. Cần lưu ý rằng chỉ nhìn hình dạng của biểu đồ phân tán thì không thể kết luận được về quan hệ nhân quả.

Hệ số tương quan bằng hiệp phương sai chia cho tích hai độ lệch chuẩn và luôn nằm trong −1≦r≦1. Hai giá trị đầu mút ±1 thật sự đạt được khi mọi điểm nằm trên cùng một đường thẳng, nên phải lấy dấu bằng. Hệ số này cũng nhận giá trị âm.

Vì r gần −1 nên có tương quan nghịch mạnh, tức các điểm tụ lại gần một đường thẳng đi xuống. Nếu đường thẳng đi lên thì r dương. Hệ số r đo mối quan hệ tuyến tính, nên với các điểm xếp theo hình parabol thì không thể có giá trị như −0.9.

Khi mọi điểm nằm trên cùng một đường thẳng thì hệ số tương quan bằng ±1, và với đường thẳng đi xuống thì r=−1. Giá trị r=−1 là tương quan nghịch mạnh nhất có thể, còn 0 ứng với không có tương quan và 1 ứng với các điểm nằm trên một đường thẳng đi lên.

Ta có r=sxy/(sx·sy)=1.6/(√2×√2)=1.6/2=0.8. Nếu chia cho tích hai phương sai, tức 2 và 2, thay vì tích hai độ lệch chuẩn √2 thì sẽ ra kết quả sai 0.4. Cũng đừng trả lời thẳng hiệp phương sai 1.6.

Quan hệ tương quan không phải là bằng chứng của quan hệ nhân quả. Ở ví dụ này, cách hiểu tự nhiên là một biến lượng thứ ba, tức nhiệt độ, đã làm tăng cả hai đại lượng. Độ mạnh của tương quan, tức độ lớn của r, là chuyện khác với việc có hay không quan hệ nhân quả.

Nhiệt độ càng tăng thì doanh số cà phê nóng có xu hướng giảm, ứng với hướng đi xuống, tức tương quan nghịch. Còn chiều cao với cân nặng, thời gian học với điểm số, dân số với số cửa hàng đều là những cặp mà bên này tăng thì bên kia cũng tăng, tức tương quan thuận.

Với giả định đồng xu công bằng, xác suất của kết quả quan sát được là 1/256≒0,4%, nhỏ hơn mức chuẩn 5%. Thay vì cho rằng một điều cực hiếm vừa xảy ra, tự nhiên hơn là nghi ngờ chính giả định, nên ta bác bỏ giả thuyết và kết luận đồng xu dễ ra mặt ngửa. Mốc để so sánh là mức chuẩn 5% chứ không phải 50%.

Xác suất 6% không nhỏ hơn mức chuẩn 5% nên chưa thể coi là chuyện hiếm khi xảy ra, do đó không bác bỏ được giả thuyết. Tuy nhiên, không bác bỏ được không có nghĩa là đã chứng minh giả thuyết đúng. Xem kết quả rồi mới dịch chuyển mức chuẩn là thái độ sai.