การวิเคราะห์ข้อมูล

ค่าเฉลี่ยเท่ากับผลรวมหารด้วยจำนวนข้อมูล คือ (2+4+6+8+10)/5=30/5=6 สำหรับข้อมูลที่เรียงห่างเท่า ๆ กัน ค่าที่อยู่ตรงกลางจะตรงกับค่าเฉลี่ยพอดี อย่าลืมหารด้วยจำนวนข้อมูลซึ่งเท่ากับ 5

เรียงจากน้อยไปมากได้ 2, 3, 4, 7, 9 มีข้อมูล 5 ค่าซึ่งเป็นจำนวนคี่ มัธยฐานจึงเป็นค่าที่อยู่ตรงกลางคือค่าที่ 3 ได้แก่ 4 ส่วนค่าเฉลี่ยเท่ากับ 25/5=5 แสดงว่าโดยทั่วไปมัธยฐานกับค่าเฉลี่ยไม่จำเป็นต้องเท่ากัน อย่าลืมเรียงข้อมูลก่อน

เรียงจากน้อยไปมากได้ 2, 3, 5, 7, 8, 9 มีข้อมูล 6 ค่าซึ่งเป็นจำนวนคู่ มัธยฐานจึงเป็นค่าเฉลี่ยของสองค่าที่อยู่ตรงกลาง คือค่าที่ 3 กับค่าที่ 4 ได้ (5+7)/2=6 การหยิบค่ากลางมาเพียงค่าเดียวแล้วตอบ 5 หรือ 7 นั้นผิด

ฐานนิยมคือค่าที่ปรากฏบ่อยที่สุด ค่า 9 ปรากฏ 3 ครั้ง ส่วนค่าอื่นปรากฏไม่เกิน 2 ครั้ง ฐานนิยมจึงเป็น 9 ส่วน 8 คือค่าเฉลี่ย และ 8.5 คือมัธยฐาน ค่ากลางทั้งสามชนิดนี้เป็นคนละอย่างกัน

พิสัยเท่ากับค่าสูงสุดลบด้วยค่าต่ำสุด คือ 10−2=8 อย่าตอบค่าสูงสุด 10 ไปเลย และอย่าสับสนกับพิสัยระหว่างควอร์ไทล์ พิสัยเปลี่ยนแปลงได้มากเพียงเพราะมีค่านอกเกณฑ์เพียงค่าเดียว

มัธยฐานคือ 4 ครึ่งล่างคือ 1, 2, 3 มีมัธยฐาน Q1=2 และครึ่งบนคือ 5, 6, 7 มีมัธยฐาน Q3=6 พิสัยระหว่างควอร์ไทล์เท่ากับ Q3−Q1=6−2=4 อย่าสับสนกับพิสัยซึ่งเท่ากับ 7−1=6

มีข้อมูล 8 ค่า ครึ่งล่างคือ 1, 3, 4, 5 และครึ่งบนคือ 6, 8, 9, 10 ค่า Q3 คือมัธยฐานของครึ่งบน ได้ (8+9)/2=8.5 ส่วน 5.5 คือมัธยฐานของทั้งชุดซึ่งก็คือ Q2 อย่าลืมหาค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางในครึ่งบน

ขอบซ้ายของกล่องคือ Q1 และขอบขวาคือ Q3 ความยาวของกล่องจึงแสดง Q3−Q1 ซึ่งก็คือพิสัยระหว่างควอร์ไทล์ ส่วนพิสัยคือระยะจากปลายหนวดข้างหนึ่งถึงปลายหนวดอีกข้างหนึ่ง นั่นคือค่าสูงสุดลบค่าต่ำสุด และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานอ่านจากแผนภาพกล่องไม่ได้

IQR=16−10=6 เส้นแบ่งคือ 16+1.5×6=16+9=25 ค่าที่เกินเส้นนี้คือ 26 จึงเป็นค่านอกเกณฑ์ ส่วน 24 กับ 20 ไม่เกิน 25 จึงไม่ใช่ค่านอกเกณฑ์ อย่าลืมบวก 1.5×IQR เข้ากับ Q3

ผลรวมคือ 98+102+101+99+100=500 และ 500/5=100 อีกวิธีคือใช้ค่าเฉลี่ยสมมติ 100 แล้วดูผลต่าง −2, +2, +1, −1, 0 ซึ่งมีค่าเฉลี่ยเป็น 0 จึงรู้ว่าค่าเฉลี่ยคือ 100 ส่วนค่าอย่าง 100.5 หรือ 101 จะเกิดขึ้นเมื่อบวกผลรวมผิดพลาด

ผลรวมเดิมคือ 10×5=50 เมื่อแก้ไขแล้วผลรวมกลายเป็น 50−8+13=55 ค่าเฉลี่ยจึงเป็น 55/5=11 หรือจะคิดว่าผลรวมเพิ่มขึ้น 5 แล้วหารด้วยจำนวนข้อมูล 5 ทำให้ค่าเฉลี่ยเพิ่มขึ้น 1 ก็ได้

ค่าเฉลี่ยคือ 3 ส่วนเบี่ยงเบนคือ −2, −1, 0, 1, 2 ความแปรปรวนเท่ากับ (4+1+0+1+4)/5=10/5=2 อย่าลืมหารผลรวมของกำลังสองของส่วนเบี่ยงเบนซึ่งเท่ากับ 10 ด้วยจำนวนข้อมูล ส่วน √2 คือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ค่าเฉลี่ยคือ 5 ความแปรปรวนเท่ากับ (9+1+1+9)/4=20/4=5 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคือรากที่สองที่เป็นบวกของค่านี้ นั่นคือ √5 อย่าตอบความแปรปรวน 5 เป็นส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ค่าเฉลี่ยคือ 4 และค่าเฉลี่ยของกำลังสองคือ (1+9+25+49)/4=84/4=21 ความแปรปรวนจึงเท่ากับ 21−4²=21−16=5 ข้อ 21 คือค่าเฉลี่ยของกำลังสองที่ยังไม่ได้ลบ และ 16 คือกำลังสองของค่าเฉลี่ย ทั้งสองเกิดจากลืมทำการลบ ถ้าใช้สูตรตามนิยามก็จะได้ 5 เช่นกัน

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับรากที่สองของความแปรปรวน คือ √9=3 ข้อ 81 เกิดจากยกกำลังสองความแปรปรวนซ้ำอีกครั้ง และ √3 เกิดจากถอดรากเกินไปหนึ่งครั้ง ให้จำความสัมพันธ์ให้แม่นว่ารากที่สองที่เป็นบวกของความแปรปรวนคือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

เมื่อ y=bx+a ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจะกลายเป็น |b| เท่า จึงได้ 2×4=8 ส่วน +3 เพียงเลื่อนข้อมูลทั้งชุดและไม่เปลี่ยนการกระจาย ข้อ 11 เกิดจากบวกค่าคงที่เข้าไปด้วยเป็น 2×4+3 และ 16 เกิดจากสับสนกับตัวคูณของความแปรปรวนซึ่งเท่ากับ b²=4

เมื่อ y=bx+a ความแปรปรวนจะกลายเป็น b² เท่า จึงได้ 3²×2=18 ข้อ 6 เกิดจากคูณเพียง 3 เท่า ซึ่งเป็นตัวคูณของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ส่วน −2 ไม่มีผลต่อความแปรปรวน ให้แยกให้ชัดว่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น |b| เท่า และความแปรปรวนเป็น b² เท่า

ผลรวมทั้งหมดคือ 4×5+6×10=20+60=80 คะแนน ค่าเฉลี่ยจึงเป็น 80/10=8 คะแนน ความผิดพลาดแบบฉบับคือไม่สนใจจำนวนคนแล้วคิดเป็น (5+10)/2=7.5 ต้องถ่วงน้ำหนักด้วยจำนวนคนแล้วหาจากผลรวม

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น |b| เท่า จึงได้ |−2|×2=4 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็นขนาดของการกระจายจึงไม่มีค่าติดลบ ข้อ −4 จึงผิด แม้เครื่องหมายจะเปลี่ยน ความกว้างของการกระจายก็เท่าเดิม ส่วน 8 เกิดจากสับสนกับตัวคูณ b²=4 ของความแปรปรวน

เมื่อบวกค่าเท่ากันให้ทุกคน ค่าเฉลี่ยจะเพิ่มขึ้นเท่ากับค่านั้น แต่ผลต่างระหว่างแต่ละค่ากับค่าเฉลี่ยซึ่งก็คือส่วนเบี่ยงเบนยังคงเดิม ความแปรปรวนและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจึงไม่เปลี่ยน ให้นึกภาพว่ารูปร่างของการกระจายเพียงเลื่อนขนานไปทั้งชุด

จากความสัมพันธ์ที่ว่า ความแปรปรวน เท่ากับ ค่าเฉลี่ยของกำลังสอง ลบ กำลังสองของค่าเฉลี่ย จะได้ ค่าเฉลี่ยของกำลังสอง เท่ากับ 6+4²=22 ผลรวมของกำลังสองจึงเท่ากับ 22×5=110 ข้อ 50 เกิดจากคิดผิดเป็น (6+4)×5 ให้ใช้สูตรย้อนทางว่า ค่าเฉลี่ยของกำลังสอง เท่ากับ ความแปรปรวน บวก กำลังสองของค่าเฉลี่ย

การเฉียงขึ้นไปทางขวาคือแนวโน้มที่เมื่อ x เพิ่มขึ้น y ก็เพิ่มขึ้นด้วย เรียกว่าสหสัมพันธ์เชิงบวก ส่วนการเฉียงลงไปทางขวาคือสหสัมพันธ์เชิงลบ ให้ระวังว่ารูปร่างของแผนภาพการกระจายเพียงอย่างเดียวยังบอกถึงความสัมพันธ์เชิงเหตุและผลไม่ได้

สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์คือความแปรปรวนร่วมหารด้วยผลคูณของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ซึ่งอยู่ในช่วง −1≦r≦1 เสมอ ค่าที่ปลายคือ ±1 ก็เกิดขึ้นได้จริงเมื่อจุดทุกจุดเรียงอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน จึงรวมกรณีเท่ากับด้วย และค่า r ยังเป็นลบได้ด้วย

ค่า r ใกล้ −1 แสดงถึงสหสัมพันธ์เชิงลบที่แรง นั่นคือจุดจะเกาะกลุ่มอยู่ใกล้เส้นตรงที่เฉียงลงไปทางขวา ถ้าเฉียงขึ้นไปทางขวา ค่า r จะเป็นบวก และเนื่องจาก r เป็นดัชนีของความสัมพันธ์เชิงเส้น การเรียงตัวเป็นรูปพาราโบลาจึงไม่ให้ค่าอย่าง −0.9

เมื่อจุดทุกจุดเรียงอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์จะเป็น ±1 และถ้าเฉียงลงไปทางขวาจะได้ r=−1 ค่า r=−1 คือสหสัมพันธ์เชิงลบที่แรงที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ ส่วน 0 คือกรณีที่ไม่มีสหสัมพันธ์ และ 1 คือกรณีที่จุดอยู่บนเส้นตรงที่เฉียงขึ้นไปทางขวา

r=sxy/(sx·sy)=1.6/(√2×√2)=1.6/2=0.8 ถ้าหารด้วยผลคูณของความแปรปรวนซึ่งเท่ากับ 2 แทนที่จะเป็นส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานซึ่งเท่ากับ √2 จะได้ 0.4 ซึ่งผิด และอย่าตอบความแปรปรวนร่วม 1.6 ไปเลย

สหสัมพันธ์ไม่ใช่หลักฐานของความสัมพันธ์เชิงเหตุและผล ในตัวอย่างนี้ การคิดว่าตัวแปรที่สามคืออุณหภูมิทำให้ทั้งสองอย่างเพิ่มขึ้นย่อมเป็นธรรมชาติกว่า ความแรงของสหสัมพันธ์ซึ่งดูจากขนาดของ r เป็นคนละเรื่องกับการมีหรือไม่มีเหตุและผล

ยิ่งอุณหภูมิสูงขึ้น ยอดขายกาแฟร้อนก็มีแนวโน้มลดลง จึงเป็นการเฉียงลงไปทางขวา นั่นคือสหสัมพันธ์เชิงลบ ส่วนส่วนสูงกับน้ำหนัก เวลาที่ใช้เรียนกับคะแนน และจำนวนประชากรกับจำนวนร้านค้า ล้วนเป็นคู่ที่เมื่อสิ่งหนึ่งเพิ่มขึ้น อีกสิ่งก็เพิ่มขึ้นตาม ซึ่งเป็นสหสัมพันธ์เชิงบวก

ภายใต้ข้อสมมติว่าเหรียญเที่ยงตรง ความน่าจะเป็นของผลที่สังเกตได้คือ 1/256 ซึ่งประมาณ 0.4% และน้อยกว่าเกณฑ์ 5% แทนที่จะคิดว่าเหตุการณ์ที่แทบไม่เกิดขึ้นได้เกิดขึ้นแล้ว การสงสัยข้อสมมติย่อมเป็นธรรมชาติกว่า จึงปฏิเสธสมมติฐานและตัดสินว่าเหรียญออกหัวง่าย สิ่งที่นำมาเทียบคือเกณฑ์ 5% ไม่ใช่ 50%

ความน่าจะเป็น 6% ไม่น้อยกว่าเกณฑ์ 5% จึงยังบอกไม่ได้ว่าเป็นเหตุการณ์ที่แทบไม่เกิดขึ้น และปฏิเสธสมมติฐานไม่ได้ อย่างไรก็ตาม การที่ปฏิเสธไม่ได้ก็ไม่ใช่การพิสูจน์ว่าสมมติฐานถูกต้อง การเห็นผลลัพธ์แล้วค่อยขยับเกณฑ์เป็นท่าทีที่ผิด