Karinoya 学习室

高中 · 高中数学 定期考试实验室

数据的分析

可以用简体中文阅读题目和解说。讲义（解说文章）仅有日文版。

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第1题 | 平均值

数据 2, 4, 6, 8, 10 的平均值是哪一个。

  1. 6
  2. 7
  3. 8
  4. 5
正确答案A. 6

平均值=总和÷个数=(2+4+6+8+10)/5=30/5=6。数据等间隔排列时，正中间的值与平均值一致。不要忘记除以个数 5。

第2题 | 奇数个时的中位数

数据 2, 9, 4, 7, 3 的中位数是哪一个。

  1. 5
  2. 3
  3. 4
  4. 7
正确答案C. 4

从小到大排列为 2, 3, 4, 7, 9。共 5 个（奇数），所以取正中间的第 3 个，中位数是 4。平均值是 25/5=5，中位数与平均值一般并不相同。不要忘记先排序。

第3题 | 偶数个时的中位数

数据 2, 5, 3, 8, 9, 7 的中位数是哪一个。

  1. 7
  2. 5
  3. 5.5
  4. 6
正确答案D. 6

从小到大排列为 2, 3, 5, 7, 8, 9。共 6 个（偶数），所以取中间 2 个（第 3 个与第 4 个）的平均，(5+7)/2=6。只取中间的其中一个而答 5 或 7 是错误的。

第4题 | 众数

数据 5, 7, 7, 8, 9, 9, 9, 10 的众数是哪一个。

  1. 8
  2. 9
  3. 8.5
  4. 7
正确答案B. 9

众数是出现次数最多的值。9 出现了 3 次，其余都不超过 2 次，所以众数是 9。8 是平均值，8.5 是中位数，这三个代表值是不同的量。

第5题 | 极差

数据 3, 8, 2, 10, 7 的极差是哪一个。

  1. 7
  2. 10
  3. 5
  4. 8
正确答案D. 8

极差=最大值−最小值=10−2=8。不要直接答最大值 10，也不要与四分位距混淆。只要有 1 个异常值，极差就会大幅改变。

第6题 | 四分位距

数据 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 的四分位距是哪一个。

  1. 6
  2. 2
  3. 3
  4. 4
正确答案D. 4

中位数是 4。下半部分 1, 2, 3 的中位数 Q1=2，上半部分 5, 6, 7 的中位数 Q3=6。四分位距=Q3−Q1=6−2=4。不要与极差（7−1=6）混淆。

第7题 | 第3四分位数

数据 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10（由小到大、共8个）的第3四分位数 Q3 是哪一个。

  1. 5.5
  2. 9
  3. 8
  4. 8.5
正确答案D. 8.5

共 8 个，所以下半部分是 1, 3, 4, 5，上半部分是 6, 8, 9, 10。Q3 是上半部分的中位数，为 (8+9)/2=8.5。5.5 是整体的中位数 Q2。不要忘记取上半部分中间 2 个数的平均。

第8题 | 箱线图

箱线图中“箱的长度”表示的是哪一个。

  1. 标准差
  2. 与平均值的偏差
  3. 极差
  4. 四分位距
正确答案D. 四分位距

箱的左端是 Q1、右端是 Q3，所以箱的长度表示 Q3−Q1，即四分位距。极差是从一端的须到另一端的须（最大值−最小值）。标准差无法从箱线图上读出。

第9题 | 异常值

某组数据的第1四分位数是 10、第3四分位数是 16。按照“超过 Q3+1.5×IQR 的值视为异常值”的标准，属于异常值的是哪一个。

  1. 24
  2. 20
  3. 12
  4. 26
正确答案D. 26

IQR=16−10=6。分界线是 16+1.5×6=16+9=25。超过它的 26 就是异常值。24 与 20 都不超过分界线 25，所以不是异常值。不要忘记把 1.5×IQR 加到 Q3 上。

第10题 | 平均的计算

数据 98, 102, 101, 99, 100 的平均值是哪一个。

  1. 100.5
  2. 100
  3. 99
  4. 101
正确答案B. 100

总和是 98+102+101+99+100=500，500/5=100。与假定平均数 100 的差为 −2, +2, +1, −1, 0，其平均为 0，也可看出平均值是 100。选项 100.5 相当于总和为 502.5，与实际的 500 不符。

第11题 | 修正后的平均

5 个数据的平均值原为 10，但其中 1 个数值 8 是错的，正确的值是 13。正确的平均值是哪一个。

  1. 11.5
  2. 12
  3. 10.5
  4. 11
正确答案D. 11

原来的总和是 10×5=50。改正后总和变为 50−8+13=55，平均值是 55/5=11。也可以这样想：总和增加了 5，除以个数 5，平均值增加 1。

第12题 | 方差的定义

数据 1, 2, 3, 4, 5 的方差是哪一个。

  1. 10
  2. 2
  3. 4
  4. √2
正确答案B. 2

平均值是 3。偏差为 −2, −1, 0, 1, 2，方差=(4+1+0+1+4)/5=10/5=2。不要忘记把偏差平方和 10 除以个数。√2 是标准差。

第13题 | 标准差

数据 2, 4, 6, 8 的标准差是哪一个。

  1. 5
  2. √5
  3. √10
  4. 25
正确答案B. √5

平均值是 5。方差=(9+1+1+9)/4=20/4=5。标准差是它的正平方根 √5。不要把方差 5 直接当成标准差。

第14题 | 计算公式

对数据 1, 3, 5, 7，利用“方差=(平方的平均)−(平均的平方)”求方差，结果是哪一个。

  1. √5
  2. 16
  3. 5
  4. 21
正确答案C. 5

平均值是 4，平方的平均是 (1+9+25+49)/4=84/4=21。方差=21−4²=21−16=5。21 是停在平方的平均，16 是停在平均的平方，都是忘了做减法的错误。用定义式算也是 5。

第15题 | 由方差求标准差

某组数据的方差为 9 时，标准差是哪一个。

  1. 9
  2. 81
  3. √3
  4. 3
正确答案D. 3

标准差=√(方差)=√9=3。81 是又把方差平方了的错误，√3 是多开了一次平方根的错误。要准确记住：方差的正平方根就是标准差。

第16题 | 变换与标准差

变量 x 的标准差为 4 时，由 y=2x+3 确定的变量 y 的标准差是哪一个。

  1. 8
  2. 16
  3. 11
  4. 4
正确答案A. 8

当 y=bx+a 时标准差变为 |b| 倍，所以是 2×4=8。+3 只是把整体平移，不改变离散程度。11 是连常数也加上、算成 2×4+3 的错误，16 是与方差的倍率 b²=4 混淆的错误。

第17题 | 变换与方差

变量 x 的方差为 2 时，由 y=3x−2 确定的变量 y 的方差是哪一个。

  1. 18
  2. 仍为 2
  3. 6
  4. 4
正确答案A. 18

当 y=bx+a 时方差变为 b² 倍，所以是 3²×2=18。6 是只乘了 3 倍的错误（那是标准差的倍率）。−2 对方差没有影响。要区分：标准差是 |b| 倍，方差是 b² 倍。

第18题 | 合并后的平均

A 组 4 人的平均分是 5 分，B 组 6 人的平均分是 10 分。10 人整体的平均分是哪一个。

  1. 7.5
  2. 8.5
  3. 7
  4. 8
正确答案D. 8

总分是 4×5+6×10=20+60=80 分，平均分是 80/10=8 分。无视人数、算成 (5+10)/2=7.5 是典型错误。要按人数加权，从总和求平均。

第19题 | 系数为负

变量 x 的标准差为 2 时，由 y=−2x+1 确定的变量 y 的标准差是哪一个。

  1. 4
  2. −4
  3. 8
  4. 2
正确答案A. 4

标准差变为 |b| 倍，所以是 |−2|×2=4。标准差表示离散的大小，不会为负，因此 −4 是错的。符号改变，离散的幅度并不改变。8 是与 b²=4 倍（方差的倍率）混淆。

第20题 | 统一加分

给全体考生的得分一律加 5 分时，平均值与方差分别会怎样变化。

  1. 平均值不变，方差增加 5
  2. 平均值和方差都增加 5
  3. 平均值增加 5，方差不变
  4. 平均值和方差都不变
正确答案C. 平均值增加 5，方差不变

给所有人加上同一个数值时，平均值会增加相应的量，但各数值与平均值之差（偏差）不变，所以方差和标准差保持原样。可以想象成离散的形状整体平移了一下。

第21题 | 平方和

5 个数据的平均值为 4、方差为 6 时，数据的平方和 x₁²+x₂²+…+x₅² 是哪一个。

  1. 30
  2. 50
  3. 80
  4. 110
正确答案D. 110

由方差=(平方的平均)−(平均的平方) 得平方的平均=6+4²=22。所以平方和是 22×5=110。50 是按 (6+4)×5 计算的错误。要把公式反过来用：平方的平均=方差+平均的平方。

第22题 | 正相关

散点图中，点的分布整体呈向右上升的趋势时，可以说这两个变量之间存在的是哪一个。

  1. 因果关系
  2. 没有相关性
  3. 负相关
  4. 正相关
正确答案D. 正相关

向右上升（x 增大时 y 也有增大的趋势）是正相关，向右下降是负相关。要注意，仅凭散点图的形状无法判断是否存在因果关系。

第23题 | r 的范围

相关系数 r 必定落在的取值范围是哪一个。

  1. −1 < r < 1
  2. −1 ≦ r ≦ 1
  3. r ≧ 0
  4. 0 ≦ r ≦ 1
正确答案B. −1 ≦ r ≦ 1

相关系数是协方差除以两个标准差之积所得的值，必定落在 −1≦r≦1 之内。端点值 ±1 在所有点都排在同一条直线上时确实可以取到，所以含等号。它也可以取负值。

第24题 | r=−0.9

两个变量的相关系数为 −0.9。关于散点图的样子，最恰当的是哪一个。

  1. 密集分布在一条向右下降的直线附近
  2. 整体上均匀地散布着
  3. 密集分布在一条向右上升的直线附近
  4. 排列成类似曲线 y=x² 的形状
正确答案A. 密集分布在一条向右下降的直线附近

r 接近 −1，说明是很强的负相关，即点集中在一条向右下降的直线附近。若是向右上升，r 就为正。r 是衡量直线关系的指标，抛物线状的排列不会给出 −0.9 这样的值。

第25题 | 点在直线上

散点图中所有的点都排在一条向右下降的直线上。此时的相关系数是哪一个。

  1. 0
  2. 1
  3. −1
  4. −0.5
正确答案C. −1

所有点排在同一条直线上时相关系数是 ±1，向右下降则 r=−1。r=−1 表示强到不能再强的负相关，0 表示没有相关性，1 则对应点在向右上升的直线上的情形。

第26题 | r 的计算

对 5 组数据 x: 1, 2, 3, 4, 5 与 y: 3, 5, 4, 7, 6，已知 x 的方差是 2、y 的方差是 2、协方差是 1.6。相关系数是哪一个。

  1. 1.6
  2. 0.4
  3. −0.8
  4. 0.8
正确答案D. 0.8

r=sxy/(sx·sy)=1.6/(√2×√2)=1.6/2=0.8。若不用标准差（√2）而用方差（2）相乘去除，就会得到 0.4 这个错误答案。也不要把协方差 1.6 直接当作答案。

第27题 | 相关与因果

人们发现“冰淇淋的销售额”与“中暑送医的人数”之间有很强的正相关。关于这一点，最恰当的解释是哪一个。

  1. 要减少送医人数，限制冰淇淋的销售即可
  2. 相关很强，所以可以说一方是另一方的原因
  3. 冰淇淋是中暑的原因
  4. 可能是气温这一共同因素同时影响了两者
正确答案D. 可能是气温这一共同因素同时影响了两者

相关关系不能作为因果关系的证据。在这个例子中，自然的想法是“气温”这个第三个变量同时使两者增加。相关的强弱（r 的大小）与有无因果是两回事。

第28题 | 负相关的例子

作为两个变量之间可以认为存在负相关的组合，最恰当的是哪一个。

  1. 城市人口与店铺数量
  2. 气温与热咖啡的销售额
  3. 身高与体重
  4. 学习时间与考试得分
正确答案B. 气温与热咖啡的销售额

气温越高，热咖啡的销售额越有下降的趋势，属于向右下降，即负相关。身高与体重、学习时间与得分、人口与店铺数量，都是一方增加另一方也增加的正相关。

第29题 | 假设检验

抛一枚硬币 8 次，8 次都出现正面。若提出“硬币是公正的（正面的概率为 1/2）”这一假设，则连续 8 次出现正面的概率是 (1/2)⁸=1/256（约 0.4%）。以 5% 为基准时，按假设检验的思路作出的判断是哪一个。

  1. 接受该假设，判断硬币是公正的
  2. 因为概率低于 50%，所以判断硬币不公正
  3. 只要概率不为 0，就判断硬币是公正的
  4. 拒绝该假设，判断这是容易出正面的硬币
正确答案D. 拒绝该假设，判断这是容易出正面的硬币

在公正这一假定之下，所观察到的结果的概率 1/256≒0.4% 小于基准 5%。与其认为发生了极罕见的事，不如怀疑这个假定更自然，所以拒绝该假设，判断这枚硬币容易出正面。用来比较的对象不是 50%，而是基准 5%。

第30题 | 无法拒绝

在假设检验中，算得在该假设之下观察结果发生的概率为 6%。以 5% 为基准时，最恰当的判断是哪一个。

  1. 已证明该假设是正确的
  2. 拒绝该假设
  3. 无法拒绝该假设，暂不作判断
  4. 概率与基准很接近，所以把基准改为 10%
正确答案C. 无法拒绝该假设，暂不作判断

概率 6% 不小于基准 5%，还谈不上“极少发生”，所以无法拒绝该假设。但无法拒绝并不等于证明了假设正确。看到结果之后再去改动基准，是错误的态度。

练习：做本页的题目

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